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第五、六章 抛体运动、圆周运动+讲义+2023-2024学年物理人教版（2019）必修第二册
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这是一份第五、六章 抛体运动、圆周运动+讲义+2023-2024学年物理人教版（2019）必修第二册，共26页。学案主要包含了知识体系，运动的合成和分解，特殊的曲线运动等内容，欢迎下载使用。
一、曲线运动
1、曲线运动中的速度方向：沿曲线的切线方向
2、物体做曲线运动的条件：合外力方向跟它的速度方向不在一直线上
说明：合外力与速度的夹角为锐角，速率增大，合外力与速度的夹角为钝角，速率减小。
3、曲线运动性质：变速运动
说明：1.合外力是恒力时，物体做匀变速的曲线运动，比如抛体运动；
2.合外力是变力时，物体做变加速的曲线运动。（变力指大小、方向任意变即可）。
二、运动的合成和分解
1、合运动与分运动的关系
①运动的独立性 一个物体同时参与几个运动，其中的任一运动都不会因其他运动的存在而有所改变，而合运动（即物体的实际运动）则是这些相对独立运动的叠加，这就是运动的独立性原理。或称为运动的叠加原理。
②运动的等时性 一个物体同时参与几个分运动，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，即经历的时间相同，这就是运动的等时性原理。
③运动的等效性 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以互相替代。因此，在对一个运动进行分解时，首先要看这个运动产生了哪几个运动效果。
2、运动的合成与分解的运算法则
运动和合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，因此合成与分解都遵守平行四边行定则。
在对一个具体的运动进行合成或分解时，应注意：
①两个分运动必须是同一质点在同一时间内相对于同一参考系的运动；
②两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
③两个分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则合成。
三、特殊的曲线运动
（一）平抛运动
水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动，是一种匀变速曲线运动。
速度公式： 位移公式：
说明：四个有用推论
(1) 运动时间 只由竖直高度决定，即
（2）落地速度
平抛运动在任何时刻的瞬时速度均与水平初速度构成直角矢量三角形。
（3）角度关系
①平抛运动中以抛出点O为坐标原点的坐标系中任一点P（x，y）的速度方向与水平方向的夹角为，则，或速度夹角的正切等于位移夹角正切的2倍。②其速度的反向延长线交于x轴的处。
（4）平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，故在连续相等的时间T内有：，△。
（二）匀速圆周运动：
1、匀速圆周运动的定义：
2、匀速圆周运动的描述：
线速度（v）：（m/s），方向：哪一点的速度方向，即哪一点沿圆弧的切线
角速度（ω）：（rad/s）
说明：同轴转动角速度相等，齿轮（皮带）传动线速度相等。
周期（T）：运动一周所用时间
转速
频率（f）：1秒内转过的圈数
3、向心力和向心加速度：
（1）向心力：匀速圆周运动：合外力指向圆心，其值为：，叫做向心力。变速圆周运动：半径方向的合外力提供向心力
（2）向心加速度：，方向指向圆心，描述质点运动方向改变的快慢。
4.离心运动和近心运动
（三）竖直平面内圆周运动：
绳、槽、杆、管、环、拱 筒
绳、槽、筒：恰好达到最高点速度为，绳子和槽的力为零
杆、管、环：恰好达到最高点速度为0；当速度时，支持力向下；当速度时，支持力向上。
拱：最高点的最大速度为，大于等于此速度时，会脱离拱，做平抛运动。
二、题型体系
第一类典型题：常见运动的合成与分解
A、小船渡河问题：水流速度、船相对水的速度（船在静水中的速度）、船的合速（船对地岸的速度，方向为船的航向）、渡河时间、航程、最短渡河时间、最短航程。
解题战术：如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为。
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定：当v1＜v2时，最短路程为d；当v1＞v2时，最短路程为（如右图所示）。
战术演示： 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞
（A）下落的时间越短 （B）下落的时间越长
（C）落地时速度越小 （D）落地时速度越大
热身实战：
1、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为：（ ）
A. B. 0 C. D.
2、船以5m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速度为3m/s，若河的宽度为100m，试分析和计算：
（1）船能否垂直达到对岸；
（2）船需要多少时间才能达到对岸；
（3）船登陆的地点离船出发点的距离是多少？
（4）设此船仍是这个速率，但是若此船要垂直达到对岸的话，船头需要向上游偏过一个角度，求sin和时间t.
3、船在400米宽的河中横渡，河水流速是4m/s，船在静水中的航速是2m/s，试求：
（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？
（2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少
B、“关联速度”问题：
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的。称之为“关联速度”，关联速度的关系——沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
4.如右图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
5.如右图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？
6．在地面上匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊起物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，v1=v,求
(1).两绳夹角为θ时，物体上升的速度？
(2).若汽车做匀速直线运动过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3).绳子对物体拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？
第一类典型题答案：
1．C
2解:(1)不能 (2) t=20s (3) s=112m (4) 0.6 25s
3、解：（1）船头垂直指向河岸 t=200s （2）船头指向上游300，最小位移为800m。
4.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度分解，从而得出错解v物=v1=vcsθ.
正解：
解法1:应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物进行分解.其中:v=v物csθ，使绳子收缩.v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.
所以v物=
5.VBCsα= v0Csβ。
6. (1).V2=vsinθ (2).加速上升， (3).F＞mg
第二类典型题：斜面上的平抛。
解题战术：当给角度关系或垂直条件时用速度公式。一般可以先求时间，然后求位移和末速度，运动途中距离斜面最高点或者沿斜面的末速度，还有末速度和斜面的夹角。
战术演示：如图所示的斜面，倾角为，斜面顶端一个小球以水平速度向左抛出，最终落到斜面上。求（1）飞行时间？（2）落点和出发点的距离？（3）飞行过程中小球和斜面的最远距离？（4）证明末速度和斜面的夹角是定值。（5）求末速度沿斜面的分量？
A
B
热身实战：
1、如图所示，由A点以水平速度V0抛出小球，落在倾角为的斜面上的B点时，速度方向与斜面垂直，不计空气阻力，则此时速度大小VB=
飞行时间t=
2.一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A． B．
C． D．
3、将一个物体又水平速度V0抛向一个倾角为α的斜面，物体与斜面碰撞时的交角β。求：
①飞行时间。
②到达斜面时的速度。
4、如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端水平抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足（）
A.tan＝sin B.tan＝cs
C.tan＝tan D.tan＝2tan
5、如图所示，两个倾角分别为30。、45。 的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球的直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达该水平面的时间分别为t1’、t2’、t3’.下列关于时间的关系正确的是（ ）。
A．t1﹥t3﹥t2 Ｂ. t1= t1’ t2= t2’ t3= t3’
C. t1’﹥ t3’ ﹥t2’ D. t1﹤t1’ t2﹤t2’ t3﹤t3’
6. 平抛一物体，当抛出1秒后，速度方向与水平成450角，落地时速度与水平成600角，求：
①初速度？②落地速度？③开始抛出距地面的高度？④水平射程？
7.排球场总长为18米，设球网高度为2米，运动员站在离网3米的线上正对网前跳起将球水平击出（球在飞行过程中所受空气阻力不计）
(1)设击球点的高度为2.5m，球被水平击出时的速度在什么范围才能使球既不触网又不出界？
(2)若击球点在3米线正上方的高度等于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？
第二类典型题答案：
1、V0 /sin、V0/gtan
2解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知BC∶BO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶
本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：
同样可求得vt∶v0=∶
3、V0tan（ -）/g V/cs（ -）
４.Ｄ 5. 略
6、10m/s 20m/s 15 m 10 m 7.略。
第三类典型题：平抛实验和平抛运动的应用。
解题战术：一般给于一段轨迹，给出水平距离相等L的三个点，给出相邻点垂直距离h1和h2。可以求初速度，中间点的速度，还有初位置。见到平抛运动就是列两个方向的方程。
战术演示：
图9
1、一个同学在《研究平抛物体的运动》实验中，只画出了如图9所示的一部分曲线，于是他在曲线上取水平距离相等的三点A、B、C，量得 = 0.2m。又量出它们之间的竖直距离分别为h1 = 0.1m，h2 = 0.2m，利用这些数据，可求得：
（1）物体抛出时的初速度为 m/s；
（2）物体经过B时竖直分速度为 m/s；
（3）抛出点在A点上方高度为 m处。
2、某同学做平抛运动实验时，在白纸上只画出了表示竖直向下方向的 Y轴和平抛物体运动轨迹的后一部分，而且漏标了抛出点的位置， 如图所示.这位同学希望据此图能测出物体的初速度，请你给他出出主意：
（1） 简要说明据此图测定该物初速度的方法________.
（2） 需要增加的测量工具有_____________.
（3） 用测量出的物理量表示测量的结果：v0=______
3、如图所示，为一平抛物体运动的闪光照片示意图，照片与实际大小相比缩小10倍.对照片中小球位置进行测量得：1与4闪光点竖直距离为1.5 cm，4与7闪光点竖直距离为2.5 cm，各闪光点之间水平距离均为0.5 cm.则
(1)小球抛出时的速度大小为多少?
(2)验证小球抛出点是否在闪光点1处，若不在，则抛出点距闪光点1的实际水平距离和竖直距离分别为多少?(空气阻力不计，g＝10 m/s2)
4．平抛小球的闪光照片如图，已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc。
〖变型〗条件同上，若A的坐标为（0，0），求出抛物点O的坐标。
5．在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车的速度，对于事故责任的认定具有重要的作用。《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式：，式中是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两物体沿公路方向的水平距离，h1，h2分别是散落物在车上时的离地高度，只要用米尺测量出事故现场的，h1，h2，三个量，根据上述公式就能够计算出碰撞瞬间车辆的速度，不计空气阻力，g取9.8m/s2，则下列叙述正确的有（ ）
A. A，B落地时间相同
B. A，B落地时间差与车辆速度无关
C. A，B落地时间差与车辆速度成正比
D. A，B落地时间差与车辆速度乘积等于
6. A、B两小球同时从距地面高为h=15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0=10m/s．A球竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g=l0m／s2．求：
(1)A球经多长时间落地? (2)A球落地时，A、B两球间的距离是多少?
A
h
v0
θ
7.如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5m/s的速度在平面上向右运动．求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）．某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则2，由此可求得落地时间t．问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意则说明理由并求出你认为正确的结果．
8．如图所示.一足够长的固定斜面与水平面的夹角为 370 ，物体 A以初速度v1 从斜面顶端水平抛出，物体 B 在斜面上距顶端 L＝15m 处同时以速度 v2 沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37。＝0.6，cs37。＝0.8，g＝10 m/s 2 ） （ ）
（A）v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s.
（B）v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
（C）v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3s.
（D）v1＝20m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
9．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度，水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1。(2)若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求的大小．(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
10．滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变.求：
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.
第三类典型题答案：
1、答： 2 1.5 0.0125
2、答： （l） 画出三条两两之间等距离 （△x）的与 Y轴平行的竖线，分别与轨迹曲线交于A、B、C三点，过这三点各作一条垂直于Y轴的线.测量A、B之间的竖直距离y1和A、C之闻的竖直距离y2,根据以上数据可算出初速.
（2） 刻度尺
(3)
3、解： (1)设1~4之间时间为T，
竖直方向有：(2.5-1.5)×10-2×10 m＝gT2
所以T = 0.1 s （3分）
水平方向:0.5×10-2×3×10 m＝v0T
所以v0=1.5 m/s
(2)设物体在1点的竖直分速度为v1y
1~4竖直方向：1.5×10-2×10 m=v1yT+gT2
解得v1y=1 m/s
因v1y≠0，所以1点不是抛出点
设抛出点为O点，距1水平位移为x m，竖直位移为y m，有:
水平方向 x=v0t
竖直方向：
解得t= 0.1 s x=0.15 m=15 cm y=0.05 m=5 cm
即抛出点距1点水平位移为15 cm，竖直位移为5 cm.
4解：水平方向：竖直方向：，∴
先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：
，，∴
〖变型〗解：
思路：求出抛物点O到A点的时间即可。由vC知：vCy=gtC，而，解得。故，则抛出点O的坐标为（-v0tA，-）。
5．BD
6．解：（1）A球做竖直下抛运动：将、代入，可得：
（2）B球做平抛运动： 将、代入，可得：
此时A球与B球的距离为： 将、、代入，得：
7.解：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确做法为：落地点与A点的水平距离 ①
斜面底宽 ②
小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。
∴ ③
8.C
9．解：⑴设发球时飞行时间为，根据平抛运动有 ① ② 解得 ③
⑵设发球高度为，飞行时间为，同理有
④ ⑤ 且 ⑥
⑦ 得 ⑧
⑶如图所示，发球高度为，飞行时间为，同理得
⑨ ⑩ 且 eq \\ac(○,11)
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有
eq \\ac(○,12) eq \\ac(○,13) 由几何关系知 eq \\ac(○,14) 联立解得
10．解：（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功
①
由动能定理 ②
离开B点时的速度 ③
（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上，可解得
④此时必须满足 ⑤，当 ⑥时，
滑雪者直接落到地面上， 可解得 ⑦
第四类典型题：匀速圆周运动的应用
解题战术：运用物体在圆周轨迹径向力合力为向心力列方程。极限情况出现在某些力突变时。
战术演示：
1.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则
A.球A的线速度一定大于球B的线速度
B.球A的角速度一定小于球B的角速度
C.球A的运动周期一定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
2．如图所示的粗糙杆绕竖直轴旋转，杆和轴夹角为，杆上穿一个小球，摩擦系数为，小球到支点的距离为L，求为了使小球和杆的相对位置不改变，轴旋转的角速度取值范围？
热身实战：
1．（1）为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法.在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少.假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1950 N，请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？
（2）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
2.用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的
3．如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m。若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。（取g=10m/s2）
4．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A的质量为2m，B、C的质量各为m。如果OA=OB=R，OC=2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动），下述结论中正确的是：
C物向心加速度最大
B物静摩擦力最小
C． 当圆台旋转转速增加时，C比B先开始滑动
D． 当圆台旋转转速增加时，A比B先开始滑动
5． 如图所示水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多大？
拓展：如点与物块连接一细线，求当①1=时，细线的拉力T ②2=时，细线的拉力T
r
6.如图所示的粗糙平面绕竖直轴旋转，平板的摩擦系数为，板上放质量为m1和m2的物块，用长为L的细线相连，m1距离轴为r，已知，此时物块恰好和平板无相对运动，求此时的绳子拉力？轴旋转的角速度？
参考答案：
1.答案：（1）解析：，由得
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② 故
（2）解析：设转盘转动角速度时，夹角θ夹角θ
座椅到中心轴的距离： = 1 \* GB3 ① 对座椅分析有： = 2 \* GB3 ②
联立两式 得
2.C
3.解：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B，T=mg 对于A，
解得； ； 故2.9rAd/s≤ω≤6.5rAd/s。
4. 答案：ABC
5．解： = 拓展: eq \\ac(○,1)T1 =0 eq \\ac(○,2)T=
第六类典型题：竖直面内的圆周运动（绳连接与杆连接模型）
解题战术：凡是做圆周运动物体对它进行受力分析之后，按沿半径方向和垂直于半径方向分解以后，沿半径方向的力叫做向心力，因为做圆周运动，所以必然满足向心力公式。以上这句话在高考的圆周运动问题涉及的比较简单，只需要高中生记住竖直面内的圆周运动两个特殊的位置（因为高考只会考这两个位置）：一个是竖直最高点，一个是竖直最低点，而在这两点合外力又必然只是沿半径方向的，所以不用分解，这样，上面说的话就成了，合外力一定指向圆心或者说合外力即向心力。之后是分清楚是绳的模型，还是杆的模型。最后是根据模型的特点，列相对应方程。
战术演练：
1.如图所示，小球由细线AB、AC拉住静止，AB保持水平，AC与竖直方向成α角，此时AC对球的拉力为T1.现将AB线烧断，小球开始摆动，当小球返同原处时，AC对小球拉力为T2，则T1与T2之比为( ).
(A)1:1 (B)1:cs2α (C)cs2α:1 (D)sin2α:cs2α
热身实战：
1．质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为（ ）
A.mg B.2mg
C.3mg D.4mg
２. AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为0.5R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
3．如图所示，竖直放置的光滑圆环上套有一质量为m的小球，小球经过最高点时的速度为，其中R为圆环的半径，g为重力加速度．求：
⑴小球经过圆环最高点时受到圆环的弹力的大小和方向；
O
m
R
⑵小球经过圆环最低点时对圆环的弹力大小和方向．
４.如图，质量为M的支架放在水平地面上，两侧有光滑螺栓限制，使支架不能在水平方向运动，一长为L的轻质线系住一个质量为m的小球，系于支架上的O点。
（1）当线与水平面平行且绷直（如图位置）无初速度释放，球到达最低点时，支架对地面的压力是多大？（2）若球在竖直面内作圆周运动，使球到达最高点时，支架对地面恰好无压力，此时球的速度多大？
5.如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：
(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?
(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?
6.如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
第六类典型题答案：
1.C
2．（1）根据机械能守恒
（2）根据机械能守恒 小球速度大小
速度方向沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点
解得： 在C点：
3．解：⑴小球经过圆环最高点时受到竖直向下的重力mg和圆环的弹力N的作用，根据牛顿第二定律，有：
解得小球受到圆环的弹力的大小为：
方向竖直向上．
⑵小球由最高点运动到最低点的过程，机械能定恒：
将代入解得小球经过圆环最低点时的速率为：设在圆环最低点时圆环对小球的弹力为，根据牛顿第二定律得：
解得：
根据牛顿第三定律可知，小球在圆环最低点时对圆环的弹力为．方向竖直向下．
４.解：（1）mgL=mv12, v1=,
球在最低点时，应用牛顿第二定律，得：T1－mg=m
T1=mg+m=mg+)2=3mg, 支架：N1=Mg+T1’=(M+3m)g
（2）支架：N2=0，T2=Mg. 对球在最高点应用牛顿第二定律，得：mg+T2=m, ∴v2==
5.解析：(1)小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有：
mgR＝
小球在B点时，根据向心力公式有；
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg
(2)小球由B→C过程，
水平方向有：s=vB·t竖直方向有： 解得
2.5R
物理跟踪考试试题1（必修二曲线运动）
1．如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为L，河水流速为u，划船速度均为v，出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点，则下列判断正确的是（ ）
A．甲船比乙船先到达对岸 B．两船可能在未到达对岸前相遇
C．甲船在A点左侧靠岸 D．甲船也在A点靠岸
60°
60°
甲
乙
A
2．甲、乙、丙三小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，水平面上的P点在丙的正下方，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平初速度v0做平抛运动，乙以水平速度v0沿光滑水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动．则( )．
A．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P点
B．若甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在P点
C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球还未着地
D．无论初速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在P点相遇
3．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一个小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上．当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面夹角为α1；当抛出的速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，下列说法中正确的是( )．
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，α1=α2
D．以上说法均不对
4．物体做平抛运动时，它的速度的方向和水平方向间的夹角α的正切tgα随时间t变化的图像是图1中的 （ ）
O
y
x
A
P(x,y)
V
5．如图1所示是物体做平抛运动的x-y图象,物体从O点抛出,x、y分别为其水平和竖直位移,在物体运动的过程中,经某一点P(x,y)时,其速度的反向延长线交于x轴上的A点,则OA的长为 （ ）
A．x B．0.5x
C．0.3x D．不能确定
图1
6．柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到落地为止这一过程可以看作平抛运动。记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片如图3所示。相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则 （ ）
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经达到的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾经达到的最大高度
D．根据实验测得的数据，从下边任一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
图3
7．从高H处以水平速度v1平抛一个小球1，同时从地面以速度V2竖直向上抛出一个小球2，两小球在空中相遇则：( )
A．从抛出到相遇所用时间为
B．从抛出到相遇所用时间为
C．抛出时两球的水平距离是
D．相遇时小球2上升高度是
8．有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸30 m时，其下游40 m处有一危险水域．假若水流速度为5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是_______．
9．倾角为θ=45°，高为1.8m的斜面如图所示，在其顶点水平抛出一石子，它刚好落在这个斜面底端的B点，则石子抛出后，经______s，石子的速度方向刚好与斜面平行。
10．物体从高处被水平抛出后，第3s末的速度方向与水平方向成45°角，那么平抛物体运动的初速度为______m/s，第4s末的速度大小为______m/s。（取g=10m/s2，设 4s末仍在空中）
11．如下图所示为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分，图中背景是边长为5cm的小方格，A．B．C是摄下的三个小球位置，则闪光的时间间隔为__________。小球抛出的初速度为___________。小球经过B点的竖直分速度为___________。（g取10m/s2）
12．如图所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，绳与竖直方向夹角α已知，则vx=_____v
13. 如图3，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度vˊ为多少？
14．小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4 m/s，两岸是平行的，求：
（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？
（2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？
（3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸？
15．如图9—25所示，一个小球从楼梯顶部以υ0=2m/s的水平速度抛出，所有楼梯台阶高0.2m，宽0.25m，
问小球从楼梯顶部滚下后首先撞到哪一级台阶上？
16．将物体由h高处以初速度V0水平抛出,因受跟V0同方向的风力使物体具有大小为a的水平方向的加速度。求: (1)物体的水平射程；(2)物体落地时的速度。
17.如图所示，M和N是两块相互平行的光滑竖直弹性板．两板之间的距离为L，高度为H．现从M板的顶端O以垂直板面的水平速度V0抛出一个小球．小球在飞行中与N板和M板，分别在A点和B点相碰，并最终在两板间的中点C处落地．求：
(1)小球抛出的速度v0与L和H之间满足的关系；
(2)OA、AB、BC在竖直方向上距离之比．
物理跟踪考试试题1（必修二曲线运动）
部分题目参考答案
4、B 5．B 6.AC 7.BCD
12．Vx=v/ COSα15．3级
16.解：(1)小球的运动可分解为两个分运动,水平方向的初速为v0的匀速直线运动,竖直方向的自由落体运动,
则小球水平方向的射程
竖直分速vy=gt
17. (1)分析可知运动的全过程中，小球始终保持其水平速度大小v0不变．设运动全过程飞行时间为t，水平全程长度为S，则
又 S＝2.5L，
(2)取小球由B到C为一个时间间隔Δt．小球从O抛出到C点落地共经过5个Δt．在此5个Δt中下落高度之比为：1∶3∶5∶7∶9．
由于tOA包括第1个Δt和第2个Δt；tAB包括第3个Δt和第4个Δt，故三段竖直距离之比为
hOA∶hAB∶hBC＝(1＋3)∶(5＋7)∶9＝4∶12∶9．
物理跟踪考试试题2（必修二曲线运动）
1.甲、乙两人从距地面h高处抛出两个小球,甲球的落地点距抛出点的水平距离是乙的2倍,不计空气阻力,为了使乙球的落地点与甲球相同,则乙抛出点的高度可能为（ ）
A．2h B.h C.4h D.3h翰林汇
2.如图所示.一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度V1从斜面顶端水平抛出，物体B
在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度V2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，
则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37O＝0.6，cs370＝0.8，g＝10 m/s2）
A.V1＝16 m/s，V2＝15 m/s，t＝3s.
B.V1＝16 m/s，V2＝16 m/s，t＝2s.
C.V1＝20 m/s，V2＝20 m/s，t＝3s.
D.V1＝20m/s，V2＝16 m/s， t＝2s.
3.图1为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（ ）
A．a点和b点的线速度大小相等
(B)a点和b点的角速度大小相等
(C)a点和c点的线速度大小相等
(D)a点和d点的向心加速度大小相等
图1
4．如图5—9，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周
运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A.a处为拉力，b处为拉力
B.a处为拉力，b处为推力
C.a处为推力，b处为拉力
D.a处为推力，b处为推力
5．小球m位于半径为R的半圆球顶端，给m一水平初速v时，m对球顶压力恰为零，则 ( )
A．m将立即离开球面作平抛运动
B．v的值应为
C．m落地时的水平位移为
D．m落地时速度方向与地面成450角
6．如图，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球，让它们在光滑的水平面上做匀速圆周运动，其中心为O，两段绳子在同一直线，此时，两段绳子受到的拉力之比为（ ）
A 1:1 B 2:1 C 3:2 D 3:1
7．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m）。它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l的轻绳连在一起，如图若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物与转盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两个物体均看作质点）（ ）
8．如下图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑圆形轨道，一质量为m的小球穿在圆形轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率是：v0＝，则下列论述正确的是（ ）
A.此小球的最大速率是v0
B.小球到达C点时对轨道的压力是mg
C.小球在任一直径的两端点上的动能之和相等
D.小球沿圆轨道绕行一周所用时间小于π
9．如图12所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s.
10.小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围？
11．如图，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点的速度都为V0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R、V0应满足的关系是什么？
12. 铁路转变处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h。
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）；
（3）随着人的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述计算原理和上表分析提速时应采取怎样的有效措施？
弯道半径r（m）
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h（m）
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
一、曲线运动
1、曲线运动中的速度方向：沿曲线的切线方向
2、物体做曲线运动的条件：合外力方向跟它的速度方向不在一直线上
说明：合外力与速度的夹角为锐角，速率增大，合外力与速度的夹角为钝角，速率减小。
3、曲线运动性质：变速运动
说明：1.合外力是恒力时，物体做匀变速的曲线运动，比如抛体运动；
2.合外力是变力时，物体做变加速的曲线运动。（变力指大小、方向任意变即可）。
二、运动的合成和分解
1、合运动与分运动的关系
①运动的独立性 一个物体同时参与几个运动，其中的任一运动都不会因其他运动的存在而有所改变，而合运动（即物体的实际运动）则是这些相对独立运动的叠加，这就是运动的独立性原理。或称为运动的叠加原理。
②运动的等时性 一个物体同时参与几个分运动，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，即经历的时间相同，这就是运动的等时性原理。
③运动的等效性 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以互相替代。因此，在对一个运动进行分解时，首先要看这个运动产生了哪几个运动效果。
2、运动的合成与分解的运算法则
运动和合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，因此合成与分解都遵守平行四边行定则。
在对一个具体的运动进行合成或分解时，应注意：
①两个分运动必须是同一质点在同一时间内相对于同一参考系的运动；
②两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
③两个分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则合成。
三、特殊的曲线运动
（一）平抛运动
水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动，是一种匀变速曲线运动。
速度公式： 位移公式：
说明：四个有用推论
(1) 运动时间 只由竖直高度决定，即
（2）落地速度
平抛运动在任何时刻的瞬时速度均与水平初速度构成直角矢量三角形。
（3）角度关系
①平抛运动中以抛出点O为坐标原点的坐标系中任一点P（x，y）的速度方向与水平方向的夹角为，则，或速度夹角的正切等于位移夹角正切的2倍。②其速度的反向延长线交于x轴的处。
（4）平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，故在连续相等的时间T内有：，△。
（二）匀速圆周运动：
1、匀速圆周运动的定义：
2、匀速圆周运动的描述：
线速度（v）：（m/s），方向：哪一点的速度方向，即哪一点沿圆弧的切线
角速度（ω）：（rad/s）
说明：同轴转动角速度相等，齿轮（皮带）传动线速度相等。
周期（T）：运动一周所用时间
转速
频率（f）：1秒内转过的圈数
3、向心力和向心加速度：
（1）向心力：匀速圆周运动：合外力指向圆心，其值为：，叫做向心力。变速圆周运动：半径方向的合外力提供向心力
（2）向心加速度：，方向指向圆心，描述质点运动方向改变的快慢。
4.离心运动和近心运动
（三）竖直平面内圆周运动：
绳、槽、杆、管、环、拱 筒
绳、槽、筒：恰好达到最高点速度为，绳子和槽的力为零
杆、管、环：恰好达到最高点速度为0；当速度时，支持力向下；当速度时，支持力向上。
拱：最高点的最大速度为，大于等于此速度时，会脱离拱，做平抛运动。
二、题型体系
第一类典型题：常见运动的合成与分解
A、小船渡河问题：水流速度、船相对水的速度（船在静水中的速度）、船的合速（船对地岸的速度，方向为船的航向）、渡河时间、航程、最短渡河时间、最短航程。
解题战术：如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为。
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定：当v1＜v2时，最短路程为d；当v1＞v2时，最短路程为（如右图所示）。
战术演示： 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞
（A）下落的时间越短 （B）下落的时间越长
（C）落地时速度越小 （D）落地时速度越大
热身实战：
1、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为：（ ）
A. B. 0 C. D.
2、船以5m/s垂直河岸的速度渡河，水流的速度为3m/s，若河的宽度为100m，试分析和计算：
（1）船能否垂直达到对岸；
（2）船需要多少时间才能达到对岸；
（3）船登陆的地点离船出发点的距离是多少？
（4）设此船仍是这个速率，但是若此船要垂直达到对岸的话，船头需要向上游偏过一个角度，求sin和时间t.
3、船在400米宽的河中横渡，河水流速是4m/s，船在静水中的航速是2m/s，试求：
（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？
（2）要使船航程最短，船头应指向何处？最短航程为多少
B、“关联速度”问题：
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的。称之为“关联速度”，关联速度的关系——沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
4.如右图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
5.如右图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？
6．在地面上匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊起物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，v1=v,求
(1).两绳夹角为θ时，物体上升的速度？
(2).若汽车做匀速直线运动过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3).绳子对物体拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？
第一类典型题答案：
1．C
2解:(1)不能 (2) t=20s (3) s=112m (4) 0.6 25s
3、解：（1）船头垂直指向河岸 t=200s （2）船头指向上游300，最小位移为800m。
4.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度分解，从而得出错解v物=v1=vcsθ.
正解：
解法1:应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物进行分解.其中:v=v物csθ，使绳子收缩.v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.
所以v物=
5.VBCsα= v0Csβ。
6. (1).V2=vsinθ (2).加速上升， (3).F＞mg
第二类典型题：斜面上的平抛。
解题战术：当给角度关系或垂直条件时用速度公式。一般可以先求时间，然后求位移和末速度，运动途中距离斜面最高点或者沿斜面的末速度，还有末速度和斜面的夹角。
战术演示：如图所示的斜面，倾角为，斜面顶端一个小球以水平速度向左抛出，最终落到斜面上。求（1）飞行时间？（2）落点和出发点的距离？（3）飞行过程中小球和斜面的最远距离？（4）证明末速度和斜面的夹角是定值。（5）求末速度沿斜面的分量？
A
B
热身实战：
1、如图所示，由A点以水平速度V0抛出小球，落在倾角为的斜面上的B点时，速度方向与斜面垂直，不计空气阻力，则此时速度大小VB=
飞行时间t=
2.一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为
A． B．
C． D．
3、将一个物体又水平速度V0抛向一个倾角为α的斜面，物体与斜面碰撞时的交角β。求：
①飞行时间。
②到达斜面时的速度。
4、如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端水平抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足（）
A.tan＝sin B.tan＝cs
C.tan＝tan D.tan＝2tan
5、如图所示，两个倾角分别为30。、45。 的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球的直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b小球在两斜面之间。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达该水平面的时间分别为t1’、t2’、t3’.下列关于时间的关系正确的是（ ）。
A．t1﹥t3﹥t2 Ｂ. t1= t1’ t2= t2’ t3= t3’
C. t1’﹥ t3’ ﹥t2’ D. t1﹤t1’ t2﹤t2’ t3﹤t3’
6. 平抛一物体，当抛出1秒后，速度方向与水平成450角，落地时速度与水平成600角，求：
①初速度？②落地速度？③开始抛出距地面的高度？④水平射程？
7.排球场总长为18米，设球网高度为2米，运动员站在离网3米的线上正对网前跳起将球水平击出（球在飞行过程中所受空气阻力不计）
(1)设击球点的高度为2.5m，球被水平击出时的速度在什么范围才能使球既不触网又不出界？
(2)若击球点在3米线正上方的高度等于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？
第二类典型题答案：
1、V0 /sin、V0/gtan
2解：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD，可以证明末速度vt的反向延长线必然交AB于其中点O，由图中可知BC∶BO=2∶，由相似形可知vt∶v0=∶
本题也能用解析法求解。列出竖直分运动和水平分运动的方程，注意到倾角和下落高度和射程的关系，有：
同样可求得vt∶v0=∶
3、V0tan（ -）/g V/cs（ -）
４.Ｄ 5. 略
6、10m/s 20m/s 15 m 10 m 7.略。
第三类典型题：平抛实验和平抛运动的应用。
解题战术：一般给于一段轨迹，给出水平距离相等L的三个点，给出相邻点垂直距离h1和h2。可以求初速度，中间点的速度，还有初位置。见到平抛运动就是列两个方向的方程。
战术演示：
图9
1、一个同学在《研究平抛物体的运动》实验中，只画出了如图9所示的一部分曲线，于是他在曲线上取水平距离相等的三点A、B、C，量得 = 0.2m。又量出它们之间的竖直距离分别为h1 = 0.1m，h2 = 0.2m，利用这些数据，可求得：
（1）物体抛出时的初速度为 m/s；
（2）物体经过B时竖直分速度为 m/s；
（3）抛出点在A点上方高度为 m处。
2、某同学做平抛运动实验时，在白纸上只画出了表示竖直向下方向的 Y轴和平抛物体运动轨迹的后一部分，而且漏标了抛出点的位置， 如图所示.这位同学希望据此图能测出物体的初速度，请你给他出出主意：
（1） 简要说明据此图测定该物初速度的方法________.
（2） 需要增加的测量工具有_____________.
（3） 用测量出的物理量表示测量的结果：v0=______
3、如图所示，为一平抛物体运动的闪光照片示意图，照片与实际大小相比缩小10倍.对照片中小球位置进行测量得：1与4闪光点竖直距离为1.5 cm，4与7闪光点竖直距离为2.5 cm，各闪光点之间水平距离均为0.5 cm.则
(1)小球抛出时的速度大小为多少?
(2)验证小球抛出点是否在闪光点1处，若不在，则抛出点距闪光点1的实际水平距离和竖直距离分别为多少?(空气阻力不计，g＝10 m/s2)
4．平抛小球的闪光照片如图，已知方格边长a和闪光照相的频闪间隔T，求：v0、g、vc。
〖变型〗条件同上，若A的坐标为（0，0），求出抛物点O的坐标。
5．在交通事故中，测定碰撞瞬间汽车的速度，对于事故责任的认定具有重要的作用。《中国汽车驾驶员》杂志曾给出一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式：，式中是被水平抛出的散落在事故现场路面上的两物体沿公路方向的水平距离，h1，h2分别是散落物在车上时的离地高度，只要用米尺测量出事故现场的，h1，h2，三个量，根据上述公式就能够计算出碰撞瞬间车辆的速度，不计空气阻力，g取9.8m/s2，则下列叙述正确的有（ ）
A. A，B落地时间相同
B. A，B落地时间差与车辆速度无关
C. A，B落地时间差与车辆速度成正比
D. A，B落地时间差与车辆速度乘积等于
6. A、B两小球同时从距地面高为h=15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0=10m/s．A球竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g=l0m／s2．求：
(1)A球经多长时间落地? (2)A球落地时，A、B两球间的距离是多少?
A
h
v0
θ
7.如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5m/s的速度在平面上向右运动．求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）．某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则2，由此可求得落地时间t．问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意则说明理由并求出你认为正确的结果．
8．如图所示.一足够长的固定斜面与水平面的夹角为 370 ，物体 A以初速度v1 从斜面顶端水平抛出，物体 B 在斜面上距顶端 L＝15m 处同时以速度 v2 沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37。＝0.6，cs37。＝0.8，g＝10 m/s 2 ） （ ）
（A）v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3s.
（B）v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
（C）v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3s.
（D）v1＝20m/s，v2＝16 m/s，t＝2s.
9．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度，水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1。(2)若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求的大小．(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
10．滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变.求：
（1）滑雪者离开B点时的速度大小；
（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.
第三类典型题答案：
1、答： 2 1.5 0.0125
2、答： （l） 画出三条两两之间等距离 （△x）的与 Y轴平行的竖线，分别与轨迹曲线交于A、B、C三点，过这三点各作一条垂直于Y轴的线.测量A、B之间的竖直距离y1和A、C之闻的竖直距离y2,根据以上数据可算出初速.
（2） 刻度尺
(3)
3、解： (1)设1~4之间时间为T，
竖直方向有：(2.5-1.5)×10-2×10 m＝gT2
所以T = 0.1 s （3分）
水平方向:0.5×10-2×3×10 m＝v0T
所以v0=1.5 m/s
(2)设物体在1点的竖直分速度为v1y
1~4竖直方向：1.5×10-2×10 m=v1yT+gT2
解得v1y=1 m/s
因v1y≠0，所以1点不是抛出点
设抛出点为O点，距1水平位移为x m，竖直位移为y m，有:
水平方向 x=v0t
竖直方向：
解得t= 0.1 s x=0.15 m=15 cm y=0.05 m=5 cm
即抛出点距1点水平位移为15 cm，竖直位移为5 cm.
4解：水平方向：竖直方向：，∴
先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：
，，∴
〖变型〗解：
思路：求出抛物点O到A点的时间即可。由vC知：vCy=gtC，而，解得。故，则抛出点O的坐标为（-v0tA，-）。
5．BD
6．解：（1）A球做竖直下抛运动：将、代入，可得：
（2）B球做平抛运动： 将、代入，可得：
此时A球与B球的距离为： 将、、代入，得：
7.解：不同意。小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。正确做法为：落地点与A点的水平距离 ①
斜面底宽 ②
小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。
∴ ③
8.C
9．解：⑴设发球时飞行时间为，根据平抛运动有 ① ② 解得 ③
⑵设发球高度为，飞行时间为，同理有
④ ⑤ 且 ⑥
⑦ 得 ⑧
⑶如图所示，发球高度为，飞行时间为，同理得
⑨ ⑩ 且 eq \\ac(○,11)
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有
eq \\ac(○,12) eq \\ac(○,13) 由几何关系知 eq \\ac(○,14) 联立解得
10．解：（1）设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功
①
由动能定理 ②
离开B点时的速度 ③
（2）设滑雪者离开B点后落在台阶上，可解得
④此时必须满足 ⑤，当 ⑥时，
滑雪者直接落到地面上， 可解得 ⑦
第四类典型题：匀速圆周运动的应用
解题战术：运用物体在圆周轨迹径向力合力为向心力列方程。极限情况出现在某些力突变时。
战术演示：
1.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则
A.球A的线速度一定大于球B的线速度
B.球A的角速度一定小于球B的角速度
C.球A的运动周期一定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
2．如图所示的粗糙杆绕竖直轴旋转，杆和轴夹角为，杆上穿一个小球，摩擦系数为，小球到支点的距离为L，求为了使小球和杆的相对位置不改变，轴旋转的角速度取值范围？
热身实战：
1．（1）为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法.在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少.假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1950 N，请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？
（2）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
2.用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的
3．如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m。若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。（取g=10m/s2）
4．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A的质量为2m，B、C的质量各为m。如果OA=OB=R，OC=2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动），下述结论中正确的是：
C物向心加速度最大
B物静摩擦力最小
C． 当圆台旋转转速增加时，C比B先开始滑动
D． 当圆台旋转转速增加时，A比B先开始滑动
5． 如图所示水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多大？
拓展：如点与物块连接一细线，求当①1=时，细线的拉力T ②2=时，细线的拉力T
r
6.如图所示的粗糙平面绕竖直轴旋转，平板的摩擦系数为，板上放质量为m1和m2的物块，用长为L的细线相连，m1距离轴为r，已知，此时物块恰好和平板无相对运动，求此时的绳子拉力？轴旋转的角速度？
参考答案：
1.答案：（1）解析：，由得
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② 故
（2）解析：设转盘转动角速度时，夹角θ夹角θ
座椅到中心轴的距离： = 1 \* GB3 ① 对座椅分析有： = 2 \* GB3 ②
联立两式 得
2.C
3.解：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。
对于B，T=mg 对于A，
解得； ； 故2.9rAd/s≤ω≤6.5rAd/s。
4. 答案：ABC
5．解： = 拓展: eq \\ac(○,1)T1 =0 eq \\ac(○,2)T=
第六类典型题：竖直面内的圆周运动（绳连接与杆连接模型）
解题战术：凡是做圆周运动物体对它进行受力分析之后，按沿半径方向和垂直于半径方向分解以后，沿半径方向的力叫做向心力，因为做圆周运动，所以必然满足向心力公式。以上这句话在高考的圆周运动问题涉及的比较简单，只需要高中生记住竖直面内的圆周运动两个特殊的位置（因为高考只会考这两个位置）：一个是竖直最高点，一个是竖直最低点，而在这两点合外力又必然只是沿半径方向的，所以不用分解，这样，上面说的话就成了，合外力一定指向圆心或者说合外力即向心力。之后是分清楚是绳的模型，还是杆的模型。最后是根据模型的特点，列相对应方程。
战术演练：
1.如图所示，小球由细线AB、AC拉住静止，AB保持水平，AC与竖直方向成α角，此时AC对球的拉力为T1.现将AB线烧断，小球开始摆动，当小球返同原处时，AC对小球拉力为T2，则T1与T2之比为( ).
(A)1:1 (B)1:cs2α (C)cs2α:1 (D)sin2α:cs2α
热身实战：
1．质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为（ ）
A.mg B.2mg
C.3mg D.4mg
２. AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为0.5R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
3．如图所示，竖直放置的光滑圆环上套有一质量为m的小球，小球经过最高点时的速度为，其中R为圆环的半径，g为重力加速度．求：
⑴小球经过圆环最高点时受到圆环的弹力的大小和方向；
O
m
R
⑵小球经过圆环最低点时对圆环的弹力大小和方向．
４.如图，质量为M的支架放在水平地面上，两侧有光滑螺栓限制，使支架不能在水平方向运动，一长为L的轻质线系住一个质量为m的小球，系于支架上的O点。
（1）当线与水平面平行且绷直（如图位置）无初速度释放，球到达最低点时，支架对地面的压力是多大？（2）若球在竖直面内作圆周运动，使球到达最高点时，支架对地面恰好无压力，此时球的速度多大？
5.如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：
(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?
(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?
6.如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
第六类典型题答案：
1.C
2．（1）根据机械能守恒
（2）根据机械能守恒 小球速度大小
速度方向沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点
解得： 在C点：
3．解：⑴小球经过圆环最高点时受到竖直向下的重力mg和圆环的弹力N的作用，根据牛顿第二定律，有：
解得小球受到圆环的弹力的大小为：
方向竖直向上．
⑵小球由最高点运动到最低点的过程，机械能定恒：
将代入解得小球经过圆环最低点时的速率为：设在圆环最低点时圆环对小球的弹力为，根据牛顿第二定律得：
解得：
根据牛顿第三定律可知，小球在圆环最低点时对圆环的弹力为．方向竖直向下．
４.解：（1）mgL=mv12, v1=,
球在最低点时，应用牛顿第二定律，得：T1－mg=m
T1=mg+m=mg+)2=3mg, 支架：N1=Mg+T1’=(M+3m)g
（2）支架：N2=0，T2=Mg. 对球在最高点应用牛顿第二定律，得：mg+T2=m, ∴v2==
5.解析：(1)小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有：
mgR＝
小球在B点时，根据向心力公式有；
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg
(2)小球由B→C过程，
水平方向有：s=vB·t竖直方向有： 解得
2.5R
物理跟踪考试试题1（必修二曲线运动）
1．如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为L，河水流速为u，划船速度均为v，出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点，则下列判断正确的是（ ）
A．甲船比乙船先到达对岸 B．两船可能在未到达对岸前相遇
C．甲船在A点左侧靠岸 D．甲船也在A点靠岸
60°
60°
甲
乙
A
2．甲、乙、丙三小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，水平面上的P点在丙的正下方，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平初速度v0做平抛运动，乙以水平速度v0沿光滑水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动．则( )．
A．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P点
B．若甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在P点
C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球还未着地
D．无论初速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在P点相遇
3．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一个小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上．当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面夹角为α1；当抛出的速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，下列说法中正确的是( )．
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，α1=α2
D．以上说法均不对
4．物体做平抛运动时，它的速度的方向和水平方向间的夹角α的正切tgα随时间t变化的图像是图1中的 （ ）
O
y
x
A
P(x,y)
V
5．如图1所示是物体做平抛运动的x-y图象,物体从O点抛出,x、y分别为其水平和竖直位移,在物体运动的过程中,经某一点P(x,y)时,其速度的反向延长线交于x轴上的A点,则OA的长为 （ ）
A．x B．0.5x
C．0.3x D．不能确定
图1
6．柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到落地为止这一过程可以看作平抛运动。记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片如图3所示。相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则 （ ）
A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经达到的最大高度
C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾经达到的最大高度
D．根据实验测得的数据，从下边任一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小
图3
7．从高H处以水平速度v1平抛一个小球1，同时从地面以速度V2竖直向上抛出一个小球2，两小球在空中相遇则：( )
A．从抛出到相遇所用时间为
B．从抛出到相遇所用时间为
C．抛出时两球的水平距离是
D．相遇时小球2上升高度是
8．有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸30 m时，其下游40 m处有一危险水域．假若水流速度为5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是_______．
9．倾角为θ=45°，高为1.8m的斜面如图所示，在其顶点水平抛出一石子，它刚好落在这个斜面底端的B点，则石子抛出后，经______s，石子的速度方向刚好与斜面平行。
10．物体从高处被水平抛出后，第3s末的速度方向与水平方向成45°角，那么平抛物体运动的初速度为______m/s，第4s末的速度大小为______m/s。（取g=10m/s2，设 4s末仍在空中）
11．如下图所示为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分，图中背景是边长为5cm的小方格，A．B．C是摄下的三个小球位置，则闪光的时间间隔为__________。小球抛出的初速度为___________。小球经过B点的竖直分速度为___________。（g取10m/s2）
12．如图所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，绳与竖直方向夹角α已知，则vx=_____v
13. 如图3，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度vˊ为多少？
14．小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4 m/s，两岸是平行的，求：
（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？
（2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？
（3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸？
15．如图9—25所示，一个小球从楼梯顶部以υ0=2m/s的水平速度抛出，所有楼梯台阶高0.2m，宽0.25m，
问小球从楼梯顶部滚下后首先撞到哪一级台阶上？
16．将物体由h高处以初速度V0水平抛出,因受跟V0同方向的风力使物体具有大小为a的水平方向的加速度。求: (1)物体的水平射程；(2)物体落地时的速度。
17.如图所示，M和N是两块相互平行的光滑竖直弹性板．两板之间的距离为L，高度为H．现从M板的顶端O以垂直板面的水平速度V0抛出一个小球．小球在飞行中与N板和M板，分别在A点和B点相碰，并最终在两板间的中点C处落地．求：
(1)小球抛出的速度v0与L和H之间满足的关系；
(2)OA、AB、BC在竖直方向上距离之比．
物理跟踪考试试题1（必修二曲线运动）
部分题目参考答案
4、B 5．B 6.AC 7.BCD
12．Vx=v/ COSα15．3级
16.解：(1)小球的运动可分解为两个分运动,水平方向的初速为v0的匀速直线运动,竖直方向的自由落体运动,
则小球水平方向的射程
竖直分速vy=gt
17. (1)分析可知运动的全过程中，小球始终保持其水平速度大小v0不变．设运动全过程飞行时间为t，水平全程长度为S，则
又 S＝2.5L，
(2)取小球由B到C为一个时间间隔Δt．小球从O抛出到C点落地共经过5个Δt．在此5个Δt中下落高度之比为：1∶3∶5∶7∶9．
由于tOA包括第1个Δt和第2个Δt；tAB包括第3个Δt和第4个Δt，故三段竖直距离之比为
hOA∶hAB∶hBC＝(1＋3)∶(5＋7)∶9＝4∶12∶9．
物理跟踪考试试题2（必修二曲线运动）
1.甲、乙两人从距地面h高处抛出两个小球,甲球的落地点距抛出点的水平距离是乙的2倍,不计空气阻力,为了使乙球的落地点与甲球相同,则乙抛出点的高度可能为（ ）
A．2h B.h C.4h D.3h翰林汇
2.如图所示.一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度V1从斜面顶端水平抛出，物体B
在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度V2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，
则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37O＝0.6，cs370＝0.8，g＝10 m/s2）
A.V1＝16 m/s，V2＝15 m/s，t＝3s.
B.V1＝16 m/s，V2＝16 m/s，t＝2s.
C.V1＝20 m/s，V2＝20 m/s，t＝3s.
D.V1＝20m/s，V2＝16 m/s， t＝2s.
3.图1为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（ ）
A．a点和b点的线速度大小相等
(B)a点和b点的角速度大小相等
(C)a点和c点的线速度大小相等
(D)a点和d点的向心加速度大小相等
图1
4．如图5—9，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动.现给小球一初速度，使它做圆周
运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是
A.a处为拉力，b处为拉力
B.a处为拉力，b处为推力
C.a处为推力，b处为拉力
D.a处为推力，b处为推力
5．小球m位于半径为R的半圆球顶端，给m一水平初速v时，m对球顶压力恰为零，则 ( )
A．m将立即离开球面作平抛运动
B．v的值应为
C．m落地时的水平位移为
D．m落地时速度方向与地面成450角
6．如图，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球，让它们在光滑的水平面上做匀速圆周运动，其中心为O，两段绳子在同一直线，此时，两段绳子受到的拉力之比为（ ）
A 1:1 B 2:1 C 3:2 D 3:1
7．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m（M＞m）。它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l的轻绳连在一起，如图若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物与转盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两个物体均看作质点）（ ）
8．如下图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑圆形轨道，一质量为m的小球穿在圆形轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率是：v0＝，则下列论述正确的是（ ）
A.此小球的最大速率是v0
B.小球到达C点时对轨道的压力是mg
C.小球在任一直径的两端点上的动能之和相等
D.小球沿圆轨道绕行一周所用时间小于π
9．如图12所示, 在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1g的小球, 试管的开口端加盖与水平轴O连接. 试管底与O相距5cm, 试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动. 求：(1) 转轴的角速度达到多大时, 试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.(2) 转轴的角速度满足什么条件时,会出现小球与试管底脱离接触的情况? g取10m/s.
10.小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围？
11．如图，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点的速度都为V0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R、V0应满足的关系是什么？
12. 铁路转变处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h。
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）；
（3）随着人的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述计算原理和上表分析提速时应采取怎样的有效措施？
弯道半径r（m）
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h（m）
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
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