【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题01 向量的概念（5大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

专题01 向量的概念 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的字母表示法：如等. 3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】 （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点3 向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点4 向量的共线或平行 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. （2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 考点剖析 考点1 向量的相关概念辨析 【例1】（2023·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A. 【变式1-1】（2023·贵州遵义·高一校考阶段练习）（多选）下列说法错误的是（ ） A．有向线段与表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．单位向量都相等 【答案】ABD 【解析】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误； 对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误； 对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确； 对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；故选:ABD. 【变式1-2】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A 【变式1-3】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【解析】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误；故选：D 【变式1-4】（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误； 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误； 对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确； 对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.故选：C. 考点2 向量的表示方法 【例2】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C. 【变式2-1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【变式2-2】（2023·全国·高一课时练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【答案】答案见解析． 【解析】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力， 有向线段表示方向向下、大小为30N的力， 【变式2-3】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． （1）终点A在起点O正东方向3m处； （2）终点B在起点O正西方向3m处； （3）终点C在起点O东北方向4m处； （4）终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段： （2）从向西作长度为3m的有向线段： （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段： （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段： 【变式2-4】（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1． （1）试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使． （2）在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？ 【答案】（1）图见解析；（2）点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【解析】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量； （2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆. 考点3 相等向量与共线向量判断 【例3】（2023·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ） A． B．∥ C． D． 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且， ∴选项A、B、C正确，故选D 【变式3-1】（2023·天津和平·高一校考阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A． B．与共线 C．与共线 D． 【答案】C 【解析】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即， 该条件不一定成立，如时，，故与共线不一定成立，故选：C. 【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？ 【答案】7个，个. 【解析】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量， 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个， 所以共有7个向量与相等； 与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量， 还有与方向相反且长度相等的向量， 所以与长度相等的共线向量共有（个）. 【变式3-3】（2023·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对. 【答案】2 【解析】由题意∥AB可知，，所以，所以. 因为，所以，， 所以，，所以. 又M，O，N三点共线，所以，，故相等向量有2对. 【变式3-4】（2023·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形， （1）与模长相等的向量有多少个？ （2）写出与相等的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请列出与相等的向量． 【答案】（1）有9个；（2），；（3），，，，，，；（4） 【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 考点4 向量在几何中的应用 【例4】（2023·全国·高一课时练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图 ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且， 则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且， 则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A 【变式4-1】（2022·高一校考课时练习）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 . 【答案】梯形 【解析】在四边形ABCD中，因为，所以， 又，所以四边形ABCD的形状是梯形. 【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. （1）写出与向量共线的向量； （2）求证：. 【答案】（1），，；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，，故. 【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【解析】因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 考点5 向量在实际问题中的应用 【例5】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解析】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到， 则，，， 则飞机飞行的路程为，，所以.故选：A. 【变式5-1】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以， 即D、C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则，所以的模为 【变式5-2】（2022·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【解析】根据题意，在平面内任取一点为， 按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： 【变式5-3】（2023·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得，为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 【变式5-4】（2023·全国·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【解析】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 过关检测 一、单选题 1．（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距度 C．力 D．体重 【答案】C 【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.故选：C. 2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（    ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误， 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误， 对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误， 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，故选：A． 3．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题： ①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①正确，和是方向相反、模相等的两个向量； ②错误，方向不同包括反向共线； ③错误，是一个向量，而0为数量，； ④错误，向量不能比较大小，故选B． 4．（2023·新疆·高一校考期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确； 向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确； 向量的终点是，故D不正确.故选：D 5．（2022·高一课时练习）如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四边形ABCD是等腰梯形得，且，， 所以选项A错误，选项B正确， 又向量不能比较大小，所以选项C、D错误，故选：B. 6．（2023·全国·高一课时练习）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【解析】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等， 但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B 7．（2023·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误； 对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反， 所以两向量不一定共线，所以选项B错误； 对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确； 对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足， 但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.故选：C. 8．（2023·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误； 对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.故选：B. 二、多选题 9．（2023·海南儋州·高一校考阶段练习）以下说法正确的是（    ） A．两个相等向量的模相等 B．平行向量方向相同 C．若和都是单位向量，则 D．平行向量一定是共线向量 【答案】AD 【解析】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确； 根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行， 此时不谈方向，故B不正确； 若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确； 平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.故选：AD. 10．（2023·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ABD 【解析】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误； ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.故选：ABD. 11．（2023·福建宁德·高一校考阶段练习）以下关于向量的说法正确的有（    ） A．若，则 B．零向量没有方向 C．若且，则 D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【解析】A：，即为相等向量，则，对； B：零向量方向任意，错； C：由且，可得，对； D：若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，错.故选：AC 12．（2023·甘肃白银·高一校考期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反 C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【答案】AD 【解析】对于A，根据零向量的定义，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误； 对于D，由，则为单位向量，由， 则向量与共线，故D正确.故选：AD. 三、填空题 13．（2023·高一单元测试）在四边形中，，则这个四边形的形状是 . 【答案】平行四边形 【解析】由可知//，且， 注意到四边形中不共线，于是//， 结合可知，该四边形是平行四边形. 14．（2023·高一课时练习）某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ． 【答案】 【解析】如图示，由题意可得向量共线，且， 则四边形为平行四边形，故. 15．（2023·高一课时练习）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有 个元素． 【答案】12 【解析】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）： 以为起点：， 以为起点：， 以为起点：， 以为起点：， 以为起点： 综上所述，集合T有12个元素. 16．（2023·上海·高一复兴高级中学校考期末）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量， 而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 四、解答题 17．（2023·全国·高一课时练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． （1）向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； （2）做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【解析】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为： 18．（2023·高一课时练习）一辆货车从A地出发向西行驶200km到达B地，然后义从B地向北偏西40°方向行驶400km到达C地，最后从C地向东行驶200km到达D地. （1）作出向量，，； （2）求的大小和方向. 【答案】（1）见解析；（2）与同向，则的方向也为北偏西40°. 【解析】（1）向量，，如图所示. （2）由题意知与方向相反，故与共线. 又，∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴与同向，则的方向也为北偏西40°. 19．（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． （1），点A在点O北偏西45°方向； （2），点B在点O正南方向． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）∵，点A在点O北偏西45°方向， ∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点： （2）∵，点B在点O正南方向， ∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点： 20．（2022·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题： （1）在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ （2）在模为的向量中，相等的向量有多少对？ 【答案】（1）18对；（2）4对 【解析】（1）在模为1的向量中，相等的向量有: ①，共有6对； ②，共有6对； ③，共有3对； ④，共有3对； 所以模为1的向量中，相等的向量共有18对. （2）在模为的向量中，相等的向量有:.共有4对. 21．（2023·新疆·高一校考期中）如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则 （1）与的模相等的向量有多少个？ （2）与的模相等，方向相反的向量有哪些？ （3）写出与共线的向量． 【答案】（1）三个；（2），；（3），， 【解析】（1）在平行四边形中，为对角线的交点， 所以，且， 所以与的模相等的向量有，，三个向量． （2）与的模相等且方向相反的向量为，. （3）与共线的向量有，，. 22．（2023·高一课时练习）是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中： （1）分别找出与，相等的向量； （2）找出与共线的向量； （3）找出与模相等的向量； （4）向量与是否相等？ 【答案】（1），；（2），，； （3），，，，，，；（4）不相等． 【解析】因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形， 所以，； （1）由题中图形可得：，； （2）由图形可得，与共线的向量有：，，； （3）与模相等的向量有：，，，，，，； （4）向量与不相等，因为它们的方向不相同．