苏科版九年级下册6.2 黄金分割一课一练

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知识精讲
知识点01 黄金分割
1.定义：如图： 点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【微点拨】(叫做黄金分割值).
【即学即练1】一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A．B．C．D．
知识点02 求作一条线段的黄金分割点
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）过点B作BD⊥AB与B点，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
【即学即练2】如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．
【即学即练3】采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
能力拓展
考法01 黄金分割
【典例1】如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2＋2B．2﹣2C．＋1D．﹣3
考法02 线段的比
【典例2】已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知三条线段的长分别为3，4，6，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是（ ）
A．2B．4.5C．5D．8
2．若，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知线段、、、是成比例线段，，，，那么的值是（ ）
A．B．2C．3D．8
4．已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长为（ ）
A．B．－C．D．
5．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米B．38000米C．380000米D．3800000米
6．已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是，则它的宽为__________cm．（结果保留整数）
7．若2a-3b=0，则___________．
8．已知，若，则________．
9．若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，则AC等于__________．
题组B 能力提升练
1．若，则下列各式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cmB．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cmD．8cm，4cm，1cm，3cm
3．若，则＝（ ）
A．B．2C．D．
4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割
5．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝___．
6．比例尺是1：3000的地图上，某条街道的长度为25cm，它的实际长度约为___米．
7．（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
题组C 培优拔尖练
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），若AB＝2，则AP＝3﹣
2．如果，则下列比例式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题是真命题的有( )个
①若时，则 ②反比例函数，若，则y的值随x的值增大而减小 ③平分弦的直径垂直于弦 ④若点C为线段的黄金分割点，则 ⑤顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
A．0B．1C．2D．3
4．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（ ）
A．B．或C．D．
5．我们将顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边和腰的比值为黄金分割比）．如图，已知，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，…，依次类推则第2021个黄金三角形的底边长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走________米报幕（结果精确到0.1米）．
7．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于________．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则______．
9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为______．
10．作黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB．
②连接DA，在DA上截取DE=DB．
③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点．
11．（1）数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
课程标准
课标解读
1.掌握黄金分割的概念并能确定一条线段的黄金分割点。
2.了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点。
3.会用线段的黄金分割来解决一些实际问题。
了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点