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浙教版2023-2024学年九上数学第4章相似三角形 培优测试卷1 B卷（含解析）
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浙教版数学 九上 数学第4章相似三角形 培优测试卷B卷 （解析版） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．已知ab=34，则 a2ab−a2的值是（ ） A．3 B．4 C．-4 D．-3 【答案】A 【解析】由比例的性质，得b=4a3， =3， 故选：A． 2．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，不能判断△ABC与△BDC相似的是（ ） A．∠CBD=∠A B．BCAC=CDAB C．∠CBA=∠CDB D．BCAC=CDBC=DBAB 【答案】B 【解析】A、∠CBD=∠A，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意． C、∠CBA=∠CDB，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． D、BCAC=CDBC，∠C=∠C，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． 故答案为：B. 3．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】∵x：b=c：a，∴ = ， A、作出的为 = ，故本选项正确；B、作出的为 ab = ，故本选项错误； C、线段x无法先作出，故本选项错误；D、作出的为 = ，故本选项错误； 故选A． 4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ） ①DGGB=12 ；②AEAB=EDBC ；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线， ∴DE∥BC，DE＝ 12 BC，∴△DGE∽△BGC， ∴DGGB ＝ 12 ，①正确； AEAB=EDBC ，②正确； △EDG∽△CBG，③正确； S△EGDS△BGC=(DEBC)2=14 ,④正确， 故答案为：D． 5．如图， RtΔABO 中， ∠AOB=90° ， AO=3BO ，点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上， OA 交反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象于点 C ，且 OC=2CA ，则 k 的值为（ ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 【答案】D 【解析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵∠AOB=90° ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵AO=3BO ， OC=2CA ∴OBOA=13 ， OCOA=23 ∴S△BOFS△OAD=(OBOA)2=19 ， S△COES△AOD=(OCOA)2=49 ∴S△COES△BOF=4 ∵点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上 ∴S△BOF=22=1 ∴S△COE=4 ∴|k|2=4 ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故答案为：D. 6．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【答案】D 【解析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴DFCE = BDBC ， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴DFCE = 25 ，则 CE= 52 DF， ∵DF∥AE， ∴DFAE = DGAG ， ∵AG：GD=4：1， ∴DFAE = 14 ，则 AE=4DF， ∴AECE = 4DF52DF=85 ， 故答案为：D． 7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】【分析】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的， ∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH， ∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN， ∴BE∥DF∥CG ∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH， ∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH， ∴ABAD=BQMD=12，BQCH=ABAC=13， ∴△BPQ∽△DKM∽△CNH ∴BQMD=12，BQCH=13 ∴S1S2=14，S1S3=19 ∴S2=4S1，S3=9S1， ∵S1+S3=20， ∴S1=2， ∴S2=8． 故选B. 8．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，BF平分∠EBC交CD于点F，过点F作FG⊥AB交BE于点H，则GH的长为（ ） A．5−12 B．5+12 C．5−14 D．5+14 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°， 将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，如图所示： 设△BCK是旋转后的△ABE， ∴△ABE≌△CBK， ∴AE＝CK，BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∠BAE＝∠BCK＝90°， ∴K、C、F三点共线， ∵BF是∠EBC的角平分线， ∴∠EBF＝∠FBC，∴∠ABE+∠EBF＝∠KBC+∠FBC，∴∠ABF＝∠FBK， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFK，∴∠KBF＝∠BFK，∴BK＝KF， ∵KF＝CK+CF＝AE+CF，BK＝BE，∴BE＝AE+CF， ∵点E是AD边上的中点，∴AE＝ 12 AD＝1， 由勾股定理得：BE＝ AB2+AE2=22+12=5 ， ∴CF＝BE﹣AE＝ 5 ﹣1， ∵四边形ABCD是正方形，FG⊥AB， ∴四边形BCFG与四边形ADFG都是矩形， ∴CF＝BG＝ 5 ﹣1，GH∥AE， ∴△BGH∽△BAE， ∴GHAE=BGAB ，即 GH1=5−12 ， ∴GH＝ 5−12 ， 故答案为：A． 9．如图，在矩形 ABCD 中，线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ，它们相交于点 I ，点 M ， N 分别在线段 FI ， GI 上， EI=MI ， HI=NI ，连接 FN ， GM ，相交于点 P .已知 AE：AB=AH：AD=1：3 ， AB：BC=5：6 ，则 MPNP 的值为（ ） A．12 B．47 C．23 D．56 【答案】B 【解析】∵AB：BC=5：6 ， 设AB=5x， BC=6x， ∵AE：AB=AH：AD=1：3 ∴AE= 5x3 ，AH= 13AD=13BC=2x ， ∴EB=AB-AE= 5x−5x3=10x3 ，HD=AD-AH=6x-2x=4x， ∵线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ， ∴∠DHI=∠A=∠AHI=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90° ∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形， ∴IN=HI=AE= 5x3 ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= 10x3 ，IG=HD=4x， ∵INIF=5x310x3=12 ， IMIG=2x4x=12 ， ∴INIF=IMIG 即 INIM=IFIG ， 又∵∠MIG=∠NIF， ∴△NIF∽△MIG， ∴∠IFN=∠IGM， 又∠MPF=∠GPN， ∴△MPF∽△NPG， MPNP=MFNG=IF−IMIG−IN=10x3−2x4x−5x3=47 . 故答案为：B. 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（ ） A．32. B．43 C．35 D．52 【答案】D 【解析】如图，连接CP，作PE交AC于点E，使∠CPE=∠PAC ∵∠PCE=∠ACP ∴△PCE∽△APC ∴PCAC=EPAP ∵AC=9，PC=3 ∴EP=13AP ∴13AP+BP=EP+BP，当B、P、E三点共线，即P运动P'时有最小值EB ∵ECPC=PCAC ∴EC=1 ∴EB=EC2+CB2=52 ∴13AP+BP的最小值为52 故答案为：D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ=1，则S四边形PBCQ= . 【答案】3 【解析】∵P，Q分别为AB，AC的中点， ∴PQ//BC ， PQ=12BC ， ∴ΔAPQ∽ΔABC ， ∴SΔAPQSΔABC=(12)2=14 ， ∵SΔAPQ=1 ， ∴SΔABC=4 ， ∴S四边形PBCQ=SΔABC−SΔAPQ=3 ， 故答案为：3. 12．在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 ． 【答案】35 或 317 【解析】如图1所示：当BE < CE时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B= ∠DCE= 90°，CD= AB=6， ∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°， ∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD， ∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6， ∴BE =3， ∴CE=12， 过点P作PQ⊥BC于Q， ∴∠PQE= ∠B=90°， ∴△ABE≌△EQP， ∴EQ= AB=6，PQ = BE=3， ∴CQ= 15-6-3=6， ∴CP=CQ2+PQ2=35， 如图2所示：当BE>CE时， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B= ∠DCE=90°，CD= AB=6， ∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB = ∠AEB+ ∠CED=90°， ∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD， ∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6， ∴BE= 12，∴CE=3， 过点P作PQ⊥BC于Q， ∴∠PQE= ∠B= 90°， ∴△ABE≌△EQP， ∴EQ= AB = 6，PQ= BE= 12， ∴CQ=12+6-15=3， ∴CP=CQ2+PQ2=317， 综上所述，CP的长为35 或 317 ， 故答案为： 35 或 317 . 13．如图，在 △ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， AF 平分 ∠BAC ，交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F ，若 ∠AED=∠B ，且 AG：GF=2：1 ，则 DE：BC= ． 【答案】2：3 【解析】【解答】∵∠AED=∠B ，而 ∠DAE=∠CAB ， ∴△ADE∽△ACB ，∴DEBC=AGAF ， ∵AG：GF=2：1 ，∴DEBC=AGAF=23 ， 故答案为： 2：3 ． 14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若ΔBEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 . 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴△BEF∽△DEA，∴BEED=EFAE， ∵E是OB的中点，∴BEED=EFAE=13，∴S△BEF：S△AEB=EF∶AE=13， ∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3， ∵BEED=13，∴S△AEB：S△AED=13 ∴△AED的面积为9， ∴S△ABD=9+3=12， ∴正方形ABCD的面积=12×2=24. 故答案为：24. 15．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC=1：2，则BD：CE为 . 【答案】5 【解析】∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE，∴ACAE=ABAD，∠BAC=∠DAE， ∴ADAE=ABAC，∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=ABAC， ∵AC：BC=1：2，∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=5AC， ∴AB=5AC，∴BDCE=51=5， 故答案为：5. 16．已知矩形 ABCD ， AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF、BF、DE 相交于 M、N 两点，则 ΔFMN 的面积是 . 【答案】3 【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH ⊥ FG，过点N作PN ⊥ FG， 在矩形 ABCD 中， AB=8，AD=6 ， CE=2BE ∴CE=23BC=23AD=4 , BE=13BC=13AD=2 ∵ FG//BC，F是 CD 边的中点， ∴FG=12EC=12×4=2 ， ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△FNG≌△BNE ∵FGBE=1 ∴ N到FG的距离 ℎ1 = 12FC=14DC=14AB=14×8=2 S△FNG=12FG⋅ℎ1=12×2×2=2 ， 同理可得， ∵∠DAF=∠AFG，∠ADM=∠DGF ∴△ADM∼△FGM ∵FGAD=26=13 ∴ M到FG的距离 ℎ2= 14DF=18AB=18×8=1 ， ∴S△FMG=12FG⋅ℎ2=12×2×1=1 S△FMN=S△FNG+S△FMG=2+1=3 ， 故答案为：3. 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．如图，已知∠ADB=∠A+∠C （1）求证：△CBD∽△CAB （2）若CD=1，AD=2，求CB的长 【答案】（1）解：∵∠ADB=∠A+∠C，又因为∠ADB=∠C+∠CBD， ∴∠A=∠CBD， ∵∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB （2）解：由△CBD∽△CAB， 可得 CBCA=CDCB ∵CD=1， AD=2， ∴CA=3，即 CB3=1CB ， ∴CB= 3 18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ADAC ＝ DFCG ． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若 ADAC ＝ 37 ，求 AFFG 的值． 【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵ADAC=DFCG ， ∴△ADF∽△ACG （2）解：∵△ADF∽△ACG， ∴ADAC=AFAG ， ∵ADAC ＝ 37 ， ∴AFAG=37 ， ∴AFFG=34 ． 19．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 1AB+1CD=1EF 成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则： （1）1AB+1CD=1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF， 所以 EFAB=DFDB ， ∵CD∥EF，∴EFCD=BFDB ， ∴EFAB+EFCD=BFDB+DFDB =1， ∴1AB+1CD=1EF ， （2）解：关系式为： 1S△ABD+1S△BDC=1S△BED ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K， 由题设可得： 1AM+1CK=1EN ， ∴2AM⋅BD+2CK⋅CK=2EN⋅DB ，又∵12 •BD•AM=S△ABD， 12BD⋅CK =S△BCD∴12 BD•EN=S△BED， ∴1S△ABD=1S△BDC=1S△BED . 20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D． （1）求证：BE＝EF； （2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠4， ∵∠1＝∠5， ∴∠4＝∠5， ∵BF平分∠ABC， ∴∠2＝∠3， ∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5， 即∠6＝∠EBF， ∴EB＝EF； （2）解：∵DE＝4，DF＝3， ∴BE＝EF＝DE+DF＝7， ∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB， ∴△EBD∽△EAB， ∴BEEA=DEBE ，即 7EA=47 ， ∴EA＝ 494 ， ∴AF＝AE﹣EF＝ 494−7=214 ． 21．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。 （1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 ADAG 的值为 ； （2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC ； （3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。 【答案】（1）3 （2）证明： (如图1) ∵∠APC=∠GPD+∠DPC ， ∠APC=∠B+∠BCP， 又∠CPD=∠B， ∴∠GPD=∠BCP 又AD=DG， ∴∠G=∠GAD 又AM∥BC， ∴∠GAD=∠B， ∴∠G=∠B． 又∠GPD=∠BCP ∴△DGP∽△PBC （3）解：(如图2) 在BA的延长线上取点G，使得DA= DG ∵AB=AC，DA=DG， ∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD． ∵AM∥BC， ∵∠GAD=∠B． ∴∠G=∠ACB ． ∴△DGA∽△ACB ∴ADAB=AGBC ∴ADAG=ABBC=3 又点P是AB的中点， ∴AP=BP=3 设AD=x，则DG=x，AG= 13 x，PG=3+ 13 x， 由(2)得△DGP△PBC， ∴DGBP=PGBC ∴x3=3+13x2 解得x=9 ∴AD=9 22．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是中线， AC=BC ，一个以点 D 为顶点的45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC ， BC 的延长线相交，交点分别为点 E ， F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ． （1）如图①，若 CE=CF ，求证： DE=DF ； （2）如图②，在 ∠EDF 绕点 D 旋转的过程中：若 CE=4 ， CF=2 ， ①求线段 AB 的长； ②求 DN 的长． 【答案】（1）证明： ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45° ， ∠BCE=∠ACF=90° ， ∴∠DCE=∠DCF=135° ，在 △DCE 与 △DCF 中， CE=CF∠DCE=∠DCFCD=CD ， ∴△DCE≅△DCF(SAS) ， ∴DE=DF ； （2）解：①由（1）可知， ∠DCF=∠DCE=135° ， ∴∠CDF+∠F=180°−135°=45° ， 由题意得： ∠EDF=45° ， ∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=45° ， ∴∠F=∠CDE ，在 △CDF 和 △CED 中， ∠DCF=∠ECD∠F=∠CDE ，∴△CDF∼△CED ， ∴CDCE=CFCD ，即 CD2=CE⋅CF ， ∵CE=4，CF=2 ， ∴CD2=4×2=8 ， 解得 CD=22 或 CD=−22 （不符题意，舍去）， ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线， ∴CD=12AB ， 即 AB=2CD=42 ； ②如图，过 D 作 DG⊥BC 于点 G ， 则 ∠DGN=∠ECN=90° ， CG=DG ， 由（2）①可知， CD=22 ， 由（1）可知， ∠BCD=∠ACD=45° ， ∴ Rt△CDG 是等腰直角三角形， ∴CG=DG=CD⋅sin∠DCG=22×sin45°=2 ， 在 △CEN 和 △GDN 中， ∠ECN=∠DGN∠ENC=∠DNG ， ∴△CEN∼△GDN ， ∴CNGN=CEDG=42=2 ， ∴GN=13CG=13×2=23 ， ∴DN=GN2+DG2=(23)2+22=2103 ． 23．点M在矩形ABCD的边AD上，Q在边BC上，BM、QD的延长线上交于点P． （1）如图1，点E是MD的中点，延长PE交BC于F，求证：点F是BQ的中点； （2）若点M是AD的中点： ①如图2，连接PA，求证：∠PAD=∠QAD； ②如图3，若∠BPQ=45°，DC=4CQ，直接写出ABAD的值为 ▲ ． 【答案】（1）证明：∵点E是MD的中点， ∴ME=DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴△MEP∽△BFP，△DEP∽△QFP， ∴MEBF=PEPF，DEFQ=PEPF， ∴MEBF=DEFQ， ∴BF=FQ， ∴点F是BQ的中点； （2）解：①证明：如图2，延长PA、CB交于点E ∵点M是AD的中点， ∴AM=MD， 由（1）得：BE=BQ， 又∵AB⊥BC， ∴AE=AQ， ∴∠E=∠AQE， ∵AD//BC， ∴∠E=∠PAD，∠DAQ=∠AQE， ∴∠PAD=∠DAQ； ②310 【解析】（2）②如图3，过点M作MH⊥PQ于H， ∵∠BPQ=45°， ∴∠PMH=∠BPQ=45°， ∴MH=PH， ∵DC=4CQ， ∴设AB=CD=4a，CQ=a， ∴DQ=17a， ∵AD//BC， ∴∠MDH=∠DQC， 又∵∠MHD=∠C=90°， ∴△MDH∽△DCQ， ∴DCCQ=MHDH=4， ∴设DH=b，MH=4b=PH，则DP=3b， ∴MD=17b， ∵点M是AD中点， ∴AD=2MD=217b=BC， ∵AD//BC， ∴△PMD∽△PBQ， ∴MDBQ=PDPQ， ∴17b217b−a=3b3b+17a， ∴ ab=31720， ∴ABAD=4a217b=310， 故答案为：310． 24．（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE=DF. （2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN的值. （3）【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN=mn？试写出其数量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明：设AE、DF相交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°， ∴∠ADG+∠CDG=90°， ∵AE⊥DF， ∴∠AGD=90° ∴∠DAG+∠ADG=90°， ∴∠DAG=∠CDG， 在△ADE和△DCF中，∠DAG=∠CDGAD=CD∠ADE=∠C ∴△ADE≌△DCF (ASA)， ∴AE= DF； （2）解：过点N作NP⊥AB于点P，BE、MN相交于点H， ∴∠BPN=∠MPN=90°， ∴∠PMN+∠PNM=90°， ∵BE⊥MN， ∴∠BHM=90°， ∴∠MBH+∠PMN=90°， ∴∠MBH=∠PNM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=∠C=90°， ∴∠A=∠MPN， ∴∠ABE∽△PNM， ∴BEMN=ABNP， ∵∠ABC=∠C=∠BPN=90°， ∴四边形BCNP是矩形， ∴NP=BC=4， ∵AB=3， ∴BEMN=ABNP=34； （3）解：∠EFC=∠MNC，理由如下： 过点E作EK∥AB交BC于点K，过点N作NL∥BC交AB于点L， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABKE、BCNL是平行四边形， ∴EK=AB=m，NL=BC=n， ∴EKNL=mn， 若EFMN=mn， 则△EFK∽△NML， ∴∠FEK=∠MNL， ∵EK∥CD， ∴∠AEK=∠D， ∵AD∥NL， ∴∠D=∠CNL， ∴∠AEK=∠CNL， ∵AD∥BC ∴∠EFC=∠AEF=∠AEK+∠FEK=∠CNL+∠MNL=∠MNC.
浙教版数学 九上 数学第4章相似三角形 培优测试卷B卷 （解析版） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．已知ab=34，则 a2ab−a2的值是（ ） A．3 B．4 C．-4 D．-3 【答案】A 【解析】由比例的性质，得b=4a3， =3， 故选：A． 2．如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，不能判断△ABC与△BDC相似的是（ ） A．∠CBD=∠A B．BCAC=CDAB C．∠CBA=∠CDB D．BCAC=CDBC=DBAB 【答案】B 【解析】A、∠CBD=∠A，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意． C、∠CBA=∠CDB，∠C=∠C，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． D、BCAC=CDBC，∠C=∠C，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． 故答案为：B. 3．已知x：b=c：a，求作x，则下列作图正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】∵x：b=c：a，∴ = ， A、作出的为 = ，故本选项正确；B、作出的为 ab = ，故本选项错误； C、线段x无法先作出，故本选项错误；D、作出的为 = ，故本选项错误； 故选A． 4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ） ①DGGB=12 ；②AEAB=EDBC ；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线， ∴DE∥BC，DE＝ 12 BC，∴△DGE∽△BGC， ∴DGGB ＝ 12 ，①正确； AEAB=EDBC ，②正确； △EDG∽△CBG，③正确； S△EGDS△BGC=(DEBC)2=14 ,④正确， 故答案为：D． 5．如图， RtΔABO 中， ∠AOB=90° ， AO=3BO ，点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上， OA 交反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象于点 C ，且 OC=2CA ，则 k 的值为（ ） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 【答案】D 【解析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵∠AOB=90° ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵AO=3BO ， OC=2CA ∴OBOA=13 ， OCOA=23 ∴S△BOFS△OAD=(OBOA)2=19 ， S△COES△AOD=(OCOA)2=49 ∴S△COES△BOF=4 ∵点 B 在反比例函数 y=2x 的图象上 ∴S△BOF=22=1 ∴S△COE=4 ∴|k|2=4 ，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故答案为：D. 6．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【答案】D 【解析】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴DFCE = BDBC ， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴DFCE = 25 ，则 CE= 52 DF， ∵DF∥AE， ∴DFAE = DGAG ， ∵AG：GD=4：1， ∴DFAE = 14 ，则 AE=4DF， ∴AECE = 4DF52DF=85 ， 故答案为：D． 7．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】【分析】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的， ∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH， ∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN， ∴BE∥DF∥CG ∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH， ∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH， ∴ABAD=BQMD=12，BQCH=ABAC=13， ∴△BPQ∽△DKM∽△CNH ∴BQMD=12，BQCH=13 ∴S1S2=14，S1S3=19 ∴S2=4S1，S3=9S1， ∵S1+S3=20， ∴S1=2， ∴S2=8． 故选B. 8．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，BF平分∠EBC交CD于点F，过点F作FG⊥AB交BE于点H，则GH的长为（ ） A．5−12 B．5+12 C．5−14 D．5+14 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°， 将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，如图所示： 设△BCK是旋转后的△ABE， ∴△ABE≌△CBK， ∴AE＝CK，BE＝BK，∠ABE＝∠CBK，∠BAE＝∠BCK＝90°， ∴K、C、F三点共线， ∵BF是∠EBC的角平分线， ∴∠EBF＝∠FBC，∴∠ABE+∠EBF＝∠KBC+∠FBC，∴∠ABF＝∠FBK， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠BFK，∴∠KBF＝∠BFK，∴BK＝KF， ∵KF＝CK+CF＝AE+CF，BK＝BE，∴BE＝AE+CF， ∵点E是AD边上的中点，∴AE＝ 12 AD＝1， 由勾股定理得：BE＝ AB2+AE2=22+12=5 ， ∴CF＝BE﹣AE＝ 5 ﹣1， ∵四边形ABCD是正方形，FG⊥AB， ∴四边形BCFG与四边形ADFG都是矩形， ∴CF＝BG＝ 5 ﹣1，GH∥AE， ∴△BGH∽△BAE， ∴GHAE=BGAB ，即 GH1=5−12 ， ∴GH＝ 5−12 ， 故答案为：A． 9．如图，在矩形 ABCD 中，线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ，它们相交于点 I ，点 M ， N 分别在线段 FI ， GI 上， EI=MI ， HI=NI ，连接 FN ， GM ，相交于点 P .已知 AE：AB=AH：AD=1：3 ， AB：BC=5：6 ，则 MPNP 的值为（ ） A．12 B．47 C．23 D．56 【答案】B 【解析】∵AB：BC=5：6 ， 设AB=5x， BC=6x， ∵AE：AB=AH：AD=1：3 ∴AE= 5x3 ，AH= 13AD=13BC=2x ， ∴EB=AB-AE= 5x−5x3=10x3 ，HD=AD-AH=6x-2x=4x， ∵线段 EG ， FH 分别平行于 BC ， AB ， ∴∠DHI=∠A=∠AHI=∠D=∠BEI=∠AEI=∠B=90° ∴四边形AHIE，四边形HDGI，四边形EIFB均为矩形， ∴IN=HI=AE= 5x3 ，IM=IE=AH=2x，IF=EB= 10x3 ，IG=HD=4x， ∵INIF=5x310x3=12 ， IMIG=2x4x=12 ， ∴INIF=IMIG 即 INIM=IFIG ， 又∵∠MIG=∠NIF， ∴△NIF∽△MIG， ∴∠IFN=∠IGM， 又∠MPF=∠GPN， ∴△MPF∽△NPG， MPNP=MFNG=IF−IMIG−IN=10x3−2x4x−5x3=47 . 故答案为：B. 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（ ） A．32. B．43 C．35 D．52 【答案】D 【解析】如图，连接CP，作PE交AC于点E，使∠CPE=∠PAC ∵∠PCE=∠ACP ∴△PCE∽△APC ∴PCAC=EPAP ∵AC=9，PC=3 ∴EP=13AP ∴13AP+BP=EP+BP，当B、P、E三点共线，即P运动P'时有最小值EB ∵ECPC=PCAC ∴EC=1 ∴EB=EC2+CB2=52 ∴13AP+BP的最小值为52 故答案为：D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点.若S△APQ=1，则S四边形PBCQ= . 【答案】3 【解析】∵P，Q分别为AB，AC的中点， ∴PQ//BC ， PQ=12BC ， ∴ΔAPQ∽ΔABC ， ∴SΔAPQSΔABC=(12)2=14 ， ∵SΔAPQ=1 ， ∴SΔABC=4 ， ∴S四边形PBCQ=SΔABC−SΔAPQ=3 ， 故答案为：3. 12．在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 ． 【答案】35 或 317 【解析】如图1所示：当BE < CE时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B= ∠DCE= 90°，CD= AB=6， ∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°， ∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD， ∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6， ∴BE =3， ∴CE=12， 过点P作PQ⊥BC于Q， ∴∠PQE= ∠B=90°， ∴△ABE≌△EQP， ∴EQ= AB=6，PQ = BE=3， ∴CQ= 15-6-3=6， ∴CP=CQ2+PQ2=35， 如图2所示：当BE>CE时， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B= ∠DCE=90°，CD= AB=6， ∵∠AED = 90°，∴∠BAE+∠AEB = ∠AEB+ ∠CED=90°， ∴∠BAE = ∠CED，∴△ABE~△ECD， ∴ABCE=BECD，∴6BE=15−BE6， ∴BE= 12，∴CE=3， 过点P作PQ⊥BC于Q， ∴∠PQE= ∠B= 90°， ∴△ABE≌△EQP， ∴EQ= AB = 6，PQ= BE= 12， ∴CQ=12+6-15=3， ∴CP=CQ2+PQ2=317， 综上所述，CP的长为35 或 317 ， 故答案为： 35 或 317 . 13．如图，在 △ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， AF 平分 ∠BAC ，交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F ，若 ∠AED=∠B ，且 AG：GF=2：1 ，则 DE：BC= ． 【答案】2：3 【解析】【解答】∵∠AED=∠B ，而 ∠DAE=∠CAB ， ∴△ADE∽△ACB ，∴DEBC=AGAF ， ∵AG：GF=2：1 ，∴DEBC=AGAF=23 ， 故答案为： 2：3 ． 14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F，若ΔBEF的面积为1，则正方形ABCD的面积为 . 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴△BEF∽△DEA，∴BEED=EFAE， ∵E是OB的中点，∴BEED=EFAE=13，∴S△BEF：S△AEB=EF∶AE=13， ∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3， ∵BEED=13，∴S△AEB：S△AED=13 ∴△AED的面积为9， ∴S△ABD=9+3=12， ∴正方形ABCD的面积=12×2=24. 故答案为：24. 15．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC=1：2，则BD：CE为 . 【答案】5 【解析】∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE，∴ACAE=ABAD，∠BAC=∠DAE， ∴ADAE=ABAC，∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE，∴BDCE=ABAC， ∵AC：BC=1：2，∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=5AC， ∴AB=5AC，∴BDCE=51=5， 故答案为：5. 16．已知矩形 ABCD ， AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点，连接 AF、BF、DE 相交于 M、N 两点，则 ΔFMN 的面积是 . 【答案】3 【解析】【解答】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH ⊥ FG，过点N作PN ⊥ FG， 在矩形 ABCD 中， AB=8，AD=6 ， CE=2BE ∴CE=23BC=23AD=4 , BE=13BC=13AD=2 ∵ FG//BC，F是 CD 边的中点， ∴FG=12EC=12×4=2 ， ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△FNG≌△BNE ∵FGBE=1 ∴ N到FG的距离 ℎ1 = 12FC=14DC=14AB=14×8=2 S△FNG=12FG⋅ℎ1=12×2×2=2 ， 同理可得， ∵∠DAF=∠AFG，∠ADM=∠DGF ∴△ADM∼△FGM ∵FGAD=26=13 ∴ M到FG的距离 ℎ2= 14DF=18AB=18×8=1 ， ∴S△FMG=12FG⋅ℎ2=12×2×1=1 S△FMN=S△FNG+S△FMG=2+1=3 ， 故答案为：3. 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．如图，已知∠ADB=∠A+∠C （1）求证：△CBD∽△CAB （2）若CD=1，AD=2，求CB的长 【答案】（1）解：∵∠ADB=∠A+∠C，又因为∠ADB=∠C+∠CBD， ∴∠A=∠CBD， ∵∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB （2）解：由△CBD∽△CAB， 可得 CBCA=CDCB ∵CD=1， AD=2， ∴CA=3，即 CB3=1CB ， ∴CB= 3 18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ADAC ＝ DFCG ． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若 ADAC ＝ 37 ，求 AFFG 的值． 【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵ADAC=DFCG ， ∴△ADF∽△ACG （2）解：∵△ADF∽△ACG， ∴ADAC=AFAG ， ∵ADAC ＝ 37 ， ∴AFAG=37 ， ∴AFFG=34 ． 19．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 1AB+1CD=1EF 成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则： （1）1AB+1CD=1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF， 所以 EFAB=DFDB ， ∵CD∥EF，∴EFCD=BFDB ， ∴EFAB+EFCD=BFDB+DFDB =1， ∴1AB+1CD=1EF ， （2）解：关系式为： 1S△ABD+1S△BDC=1S△BED ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K， 由题设可得： 1AM+1CK=1EN ， ∴2AM⋅BD+2CK⋅CK=2EN⋅DB ，又∵12 •BD•AM=S△ABD， 12BD⋅CK =S△BCD∴12 BD•EN=S△BED， ∴1S△ABD=1S△BDC=1S△BED . 20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，交BC于点D． （1）求证：BE＝EF； （2）若DE＝4，DF＝3，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠4， ∵∠1＝∠5， ∴∠4＝∠5， ∵BF平分∠ABC， ∴∠2＝∠3， ∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5， 即∠6＝∠EBF， ∴EB＝EF； （2）解：∵DE＝4，DF＝3， ∴BE＝EF＝DE+DF＝7， ∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB， ∴△EBD∽△EAB， ∴BEEA=DEBE ，即 7EA=47 ， ∴EA＝ 494 ， ∴AF＝AE﹣EF＝ 494−7=214 ． 21．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。 （1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 ADAG 的值为 ； （2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC ； （3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。 【答案】（1）3 （2）证明： (如图1) ∵∠APC=∠GPD+∠DPC ， ∠APC=∠B+∠BCP， 又∠CPD=∠B， ∴∠GPD=∠BCP 又AD=DG， ∴∠G=∠GAD 又AM∥BC， ∴∠GAD=∠B， ∴∠G=∠B． 又∠GPD=∠BCP ∴△DGP∽△PBC （3）解：(如图2) 在BA的延长线上取点G，使得DA= DG ∵AB=AC，DA=DG， ∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD． ∵AM∥BC， ∵∠GAD=∠B． ∴∠G=∠ACB ． ∴△DGA∽△ACB ∴ADAB=AGBC ∴ADAG=ABBC=3 又点P是AB的中点， ∴AP=BP=3 设AD=x，则DG=x，AG= 13 x，PG=3+ 13 x， 由(2)得△DGP△PBC， ∴DGBP=PGBC ∴x3=3+13x2 解得x=9 ∴AD=9 22．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是中线， AC=BC ，一个以点 D 为顶点的45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC ， BC 的延长线相交，交点分别为点 E ， F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ． （1）如图①，若 CE=CF ，求证： DE=DF ； （2）如图②，在 ∠EDF 绕点 D 旋转的过程中：若 CE=4 ， CF=2 ， ①求线段 AB 的长； ②求 DN 的长． 【答案】（1）证明： ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45° ， ∠BCE=∠ACF=90° ， ∴∠DCE=∠DCF=135° ，在 △DCE 与 △DCF 中， CE=CF∠DCE=∠DCFCD=CD ， ∴△DCE≅△DCF(SAS) ， ∴DE=DF ； （2）解：①由（1）可知， ∠DCF=∠DCE=135° ， ∴∠CDF+∠F=180°−135°=45° ， 由题意得： ∠EDF=45° ， ∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=45° ， ∴∠F=∠CDE ，在 △CDF 和 △CED 中， ∠DCF=∠ECD∠F=∠CDE ，∴△CDF∼△CED ， ∴CDCE=CFCD ，即 CD2=CE⋅CF ， ∵CE=4，CF=2 ， ∴CD2=4×2=8 ， 解得 CD=22 或 CD=−22 （不符题意，舍去）， ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线， ∴CD=12AB ， 即 AB=2CD=42 ； ②如图，过 D 作 DG⊥BC 于点 G ， 则 ∠DGN=∠ECN=90° ， CG=DG ， 由（2）①可知， CD=22 ， 由（1）可知， ∠BCD=∠ACD=45° ， ∴ Rt△CDG 是等腰直角三角形， ∴CG=DG=CD⋅sin∠DCG=22×sin45°=2 ， 在 △CEN 和 △GDN 中， ∠ECN=∠DGN∠ENC=∠DNG ， ∴△CEN∼△GDN ， ∴CNGN=CEDG=42=2 ， ∴GN=13CG=13×2=23 ， ∴DN=GN2+DG2=(23)2+22=2103 ． 23．点M在矩形ABCD的边AD上，Q在边BC上，BM、QD的延长线上交于点P． （1）如图1，点E是MD的中点，延长PE交BC于F，求证：点F是BQ的中点； （2）若点M是AD的中点： ①如图2，连接PA，求证：∠PAD=∠QAD； ②如图3，若∠BPQ=45°，DC=4CQ，直接写出ABAD的值为 ▲ ． 【答案】（1）证明：∵点E是MD的中点， ∴ME=DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴△MEP∽△BFP，△DEP∽△QFP， ∴MEBF=PEPF，DEFQ=PEPF， ∴MEBF=DEFQ， ∴BF=FQ， ∴点F是BQ的中点； （2）解：①证明：如图2，延长PA、CB交于点E ∵点M是AD的中点， ∴AM=MD， 由（1）得：BE=BQ， 又∵AB⊥BC， ∴AE=AQ， ∴∠E=∠AQE， ∵AD//BC， ∴∠E=∠PAD，∠DAQ=∠AQE， ∴∠PAD=∠DAQ； ②310 【解析】（2）②如图3，过点M作MH⊥PQ于H， ∵∠BPQ=45°， ∴∠PMH=∠BPQ=45°， ∴MH=PH， ∵DC=4CQ， ∴设AB=CD=4a，CQ=a， ∴DQ=17a， ∵AD//BC， ∴∠MDH=∠DQC， 又∵∠MHD=∠C=90°， ∴△MDH∽△DCQ， ∴DCCQ=MHDH=4， ∴设DH=b，MH=4b=PH，则DP=3b， ∴MD=17b， ∵点M是AD中点， ∴AD=2MD=217b=BC， ∵AD//BC， ∴△PMD∽△PBQ， ∴MDBQ=PDPQ， ∴17b217b−a=3b3b+17a， ∴ ab=31720， ∴ABAD=4a217b=310， 故答案为：310． 24．（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE=DF. （2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN的值. （3）【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有EFMN=mn？试写出其数量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明：设AE、DF相交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°， ∴∠ADG+∠CDG=90°， ∵AE⊥DF， ∴∠AGD=90° ∴∠DAG+∠ADG=90°， ∴∠DAG=∠CDG， 在△ADE和△DCF中，∠DAG=∠CDGAD=CD∠ADE=∠C ∴△ADE≌△DCF (ASA)， ∴AE= DF； （2）解：过点N作NP⊥AB于点P，BE、MN相交于点H， ∴∠BPN=∠MPN=90°， ∴∠PMN+∠PNM=90°， ∵BE⊥MN， ∴∠BHM=90°， ∴∠MBH+∠PMN=90°， ∴∠MBH=∠PNM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=∠C=90°， ∴∠A=∠MPN， ∴∠ABE∽△PNM， ∴BEMN=ABNP， ∵∠ABC=∠C=∠BPN=90°， ∴四边形BCNP是矩形， ∴NP=BC=4， ∵AB=3， ∴BEMN=ABNP=34； （3）解：∠EFC=∠MNC，理由如下： 过点E作EK∥AB交BC于点K，过点N作NL∥BC交AB于点L， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABKE、BCNL是平行四边形， ∴EK=AB=m，NL=BC=n， ∴EKNL=mn， 若EFMN=mn， 则△EFK∽△NML， ∴∠FEK=∠MNL， ∵EK∥CD， ∴∠AEK=∠D， ∵AD∥NL， ∴∠D=∠CNL， ∴∠AEK=∠CNL， ∵AD∥BC ∴∠EFC=∠AEF=∠AEK+∠FEK=∠CNL+∠MNL=∠MNC.
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