浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷

考试范围：第四章  考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若均不为，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知四条线段，，，是成比例线段，即，下列各式错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，中若，，则下列比例式正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点不与点，重合，连接交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，，，点在边上，且，过点作一条直线交边于点，使与相似，则的长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

6.  两个五角星相似，相似比为：，则它们的面积比等于(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7.  如图所示，网格中相似的两个三角形是(    )
 

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

8.  如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定∽的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是(    )

 

A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形

12.  如图，与位似，点为位似中心，位似比为：，若的周长为，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是          ．

14.  已知，则          ．

15.  如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交，于点，当点为线段的三等分点时，的长为          ．
 

16.  如图，正方形中，点是对角线上的一点，，过点作，，垂足分别为点，，则正方形与正方形的相似比为          ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图所示，在线段上有、两点，已知，，且线段是线段和的比例中项，求线段的长．
 

18.  本小题分
如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．

若，，，求的长
若，，求的长．

19.  本小题分

如图，点，在线段上，是等边三角形，当∽时，求的度数．

20.  本小题分
一个矩形的较短边长为．

 

如图，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长．

如图，已知矩形的另一边长为，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积．

21.  本小题分

如图，四边形是矩形，点在对角线上运动，，，四边形和矩形一直保持相似吗请证明你的结论．

22.  本小题分
如图，四边形∽四边形，且，，，，，，．
请直接写出：______度；
求边和的长．

 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出关于点成中心对称的图形；
以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标．

24.  本小题分
如图，中，是的平分线，，，，求的长．

25.  本小题分
如图，中，是的中点，在上，、交于点．已知：：：，求值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】略

2.【答案】 

【解析】解：四条线段，，，是成比例线段，即，
利用内项之积等于外项之积，，故选项正确，
B.利用内项之积等于外项之积，，，即，故选项正确，
C.，
是错误的，故选项错误，
D.，
，故选项正确．
故选：．
根据比例的性质将原式变形，分别进行判断即可，进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，将比例式灵活正确变形得出是解题关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用找准对应关系，避免错选其他答案．
用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，
，；
，
，
，
，
，，
，
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
∽，
，
．
故选：．
先证明∽得到，再证明∽得到，则，从而可对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．

5.【答案】 

【解析】解：，
分为两种情况：即，
∽，
，
，
；

，
，
∽，
，
，
，不合题意，
故选：．
分两种情况：，根据∽，得出，代入求出即可；，根据∽，得出，代入求出．
本题考查了相似三角形的性质，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．

6.【答案】 

【解析】解：两个五角星相似，相似比为：，
它们的面积比等于：：．
故选：．
相似多边形的面积比等于相似比的平方，由此可解．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方．

7.【答案】 

【解析】解：图形的三边为：，，，
图形的三边为：，，，
图形的三边为：，，，
图形的三边为：，，，
，
与相似，
故选B．
先由正方形网格的特征根据勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定方法“三边对应成比例的两个三角形相似”即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】略

9.【答案】 

【解析】【分析】
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
故选：．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质，属于基础题，难度一般．
根据题意易得，设，则，根据四边形与矩形相似，可得比例式，求解即可．
【解答】
解：沿将向上折叠，使点落在上的点，
四边形是正方形，
，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，
，
解得，负值舍去，
经检验是原方程的解．
故选B．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出对应点是解题的关键．
设网格中每个小方格的边长为，则，，，，，，，，，，由，得点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，即可得出结果．
【解答】
解：设网格中每个小方格的边长为，
则，，，
，，，
，，，，
，且以点为位似中心，
点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，
以点为位似中心，四边形的位似图形是四边形，
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：和是位似图形，位似比为：，
和的相似比为：，
的周长的周长，
故选：．
根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．

13.【答案】略 

【解析】略

14.【答案】或一 

【解析】略

15.【答案】或 

【解析】【分析】
本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出，是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，要分类讨论，以防遗漏．
根据勾股定理，可得，根据相似三角形的性质，可得的的平方，根据勾股定理，可得答案．
【解答】
解：如图，易得
，
由翻折的性质，得
，．
当，时，设，得
．
，，
∽，
，即，
解得：，
．
当，时，设，得
，
，，
∽，
，即，
解得，
，
故答案为：或．

16.【答案】： 

【解析】【分析】
本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质和相似多边形的性质．
设，根据正方形的性质知，由正方形与正方形的相似比：可得答案．
【解答】
解：设，
则，
，
，
则正方形与正方形的相似比．
故答案为：．

17.【答案】解：，，
，
线段是线段和的比例中项，
，
即，
解得：． 

【解析】根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键．

18.【答案】解：，
，即，
解得．
，
，
，
解得． 

【解析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求；
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求即可．

19.【答案】解：∽，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据相似三角形的性质得到，根据外角的性质得到，于是得到结论．

20.【答案】解：由已知得，，
沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
矩形∽矩形．

 ．
，
即．
．

矩形与原矩形相似，
．
，，
 ．
．

【解析】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
由矩形相似得到 ，然后代入数值可得的长；
由矩形与原矩形相似可得，然后代入可得的长，再根据矩形的面积公式可得结论．

21.【答案】相似证明略． 

【解析】略

22.【答案】解：四边形∽四边形，
，
，
故答案为：．
四边形∽四边形，
，
，
，． 

【解析】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和解决问题即可．
利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．

23.【答案】解： 如图所示：，即为所求；
如图所示：即为所求，点坐标为： ， ．
 

【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．
利用关于点对称的性质得出，，坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

24.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
解得：，，不合题意舍去
． 

【解析】由与是的平分线，易证得是等腰三角形，又由平行线分线段成比例定理，即可求得，然后设的长为，列方程，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

25.【答案】解：取中点，连接，如图，

是中点，为的中点，
为的中位线，
，
，
，
． 

【解析】取中点，连接，如图，根据三角形中位线性质得到，再利用得到，从而得到的值．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．