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人教A版（2019）选修二 第四章数列 拓展四：数列大题专项训练（35道）-直击高考考点归纳-讲义
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拓展四：数列大题专项训练（35道） 考点一 等差数列基本量的计算（4道） 1．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可. 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，，与不符， 所以； （2）由得，而， 所以当时，，当时，， 当时，， 当时， ， 所以 2．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值． (1)求数列的通项公式及的最大值； (2)求 【答案】(1)，前n项和最大值108； (2)， 【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和； （2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时. 【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得， 则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去， 则，，解得，，所以， 令得，则当时，；当时，，所以； （2）由（1）可得， 当时，…， 当时，……， 综上可得，， 3．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式； (2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和. 【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为， 则，所以 当时， 又也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）当时，，数列的前n项和； 当时，， 数列的前n项和 ， . 综上所述： 4．（2022春·福建莆田·高二校考期末）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设公差为，， ∴，解得， ∴． （2）∵，， ∴＝， ∴当时，最小，最小值为． 考点二 等差数列的证明（3道） 5．（2022春·陕西西安·高二长安一中校考期末）设为数列的前n项和，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，且成等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答. （2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答. (1) 依题意，， 当时，有，两式相减得：， 同理可得，于是得， 即，而当时，， 所以数列为等差数列. (2) 由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 当时，， 当时，. 6．（2022秋·云南昆明·高二统考期末）已知正项数列，，，是公差为2的等差数列. (1)证明：是等差数列； (2)记为数列的前n项和，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出，最后由等差数列的定义即可证明； （2）由裂项相消法求解即可 (1) 由题意，， 因为是首项为3公差为2的等差数列， 所以， ， 又因为，所以， 故， 所以是等差数列. (2) 由（1）得，故， . 7．（2022秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)取倒数得，由等数列的定义可得是等差数列,再求通项公式即可; (1)利用裂项相消求前n项和. (1) 证明：因为， 所以, 又，解得或(舍去)， 所以是以为首项，1为公差的等差数列， 故， 即. (2) 由（1）可知，. 设的前n项和为， 则. 考点三 等比数列基本量的计算（3道） 8．（2022春·吉林松原·高二校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果； （2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果. 【详解】（1）设公差为，公比为，因为， 则由可得，，即， 由可得，，解得，则. 所以有，整理可得， 解得或（舍去）. 所以，则，解得（舍去负值），所以. 所以有，. （2）由（1）知，，，则. . 9．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考期末）已知是各项均为正数的等比数列， (1)求的通项公式及前项和； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义和等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为数列是各项均为正数的等比数列， 所以，由，或（舍去）， 因此； （2）由， 因为， 所以数列是等差数列，因此. 10．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知为各项都为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列方程求解，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，再根据错位相减法求解即可. （1） 解：设等比数列的公比为，因为，， 依题意得，即，解得，（舍）， 所以，数列的通项． （2） 解：结合（1）知，， 则①， ①×2，得②， ①－②得， 所以． 考点四 等比数列的证明（4道） 11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知数列，满足，其中，. (1)若，. ①求证：为等比数列； ②试求数列的前n项和. (2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①，利用累加法求解即可； ②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可； （2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案. 【详解】（1）①证明：，当时累加得 ，，又 所以为首项为2，公比为2的等比数列. ②由①得，令，的前项和为， 则， ， 得 （2）若，则， 所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，， 设数列的前n项和为，则. 所以， ，所以 所以. 12．（2022秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知数列满足. (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明为一个定值即可，再根据等比数列得通项公式求出数列的通项，即可得解； （2）易得数列为等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出结论. (1) 证明：因为， 所以， 又， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则， 所以； (2) 证明：由（1）得， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 因为， 所以. 13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得； （2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求. 【详解】（1）证明：因为为数列的前项积， 所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，所以， 故是以4为首项，2为公比的等比数列； （2）解：由（1）得：，所以，则 设① ② 则①-②得： 则 所以的前n项和 14．（2022秋·辽宁·高二校联考期末）已知数列中，，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式. (2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案. 【详解】（1）由，可得，即 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 （2）不等式对于恒成立 即对于恒成立 即对于恒成立 设， 由 当时，，即 即 当时，，即 即 所以最大， 所以，故的最小值为 考点五 由an和Sn的关系求通项（4道） 15．（2022春·广东广州·高二校考期末）已知数列的前项和为. (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将其配成顶点式，根据二次函数的性质计算可得； （2）根据作差即可得解. 【详解】（1）解：因为，所以， 又，所以当或时，取得最小值. （2）解：因为，所以当时，； 当时，； 显然是，也满足，所以； 16．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】利用与的关系可得数列的通项公式，验证即可； （2）根据（1）的结果可得，利用等差数列的前n项和公式即可求解. (1) 解：因为，当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以． (2) 解：因为，所以， 所以． 17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前项和与通项的关系先得到递推关系为等比数列模型，进而得到； （2）将等式往前递推一次得，再两边同 乘以4与原式作差得到，进而得到结果. (1) ∵，∴，∴ 令，得，∴是以4为首项，4为公比的等比数列，∴ (2) ∵， 即 ∴ 等式两边同乘以4得： ∴ ∴，∴，经检验成立，∴ 18．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知数列的前n项和为，______， (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：根据与的关系即可求解；选②：根据已知有时，，两式相减即可求解；选③：根据已知有时，，两式相除即可求解； （2）利用裂项相消求和法求出，则原问题等价于，令，判断数列的单调性，求出数列的最大值即可得答案. 【详解】（1）解：选①：当时，，， ，时，， 两式相减得， 数列是以2为首项2为公比的等比数列， ； 选②：，时，， 两式相减得，即，又当时，， ，满足上式， ； 选③：，时，， 两式相除得，当时，，满足上式， ； （2）解：∵ ∴， ∵对任意的，即对任意的都成立， ∴对任意的都成立， ， 令，则， ∵，，即， 数列是递减数列， ， ， ， ∴的取值范围是. 考点六 分组转化法求和（3道） 19．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，分别求出和，可求公差d，根据是等差数列写出通项公式即可； （2）由，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可. 【详解】（1）依题意，知，则，， 设的公差为d， 则， ． （2）由（1）知，，， ， 设的前n项和为， 则 ． 20．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数恒有. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和S2n. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通项即可； （2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分别用裂项相消和错位相减求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以， 令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以奇数项的前项和为， 偶数项的前项和为①， ①得：②， ①-②得： ， 所以，. 21．（2022秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，公比为，再根据题意列式求解基本量即可； （2）分为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可 (1) 设公差为，公比为，由可得，即， 因为解得.又，故，解得.故 (2) 因为，故， 设中奇数项和为，偶数项和为，则. ， 则， 则， 则， 即， 解得，故 考点七 裂项相消法求和（6道） 22．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式； （2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，①， 当时，②， ①减②得：， 当时，成立， 所以． （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 23．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式； （2）由列项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得. 故数列的通项公式； （2），故 24．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）己知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，可得出，令时，由可得，两式作差可得推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，求出的值，进而可求得等比数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可证得原不等式成立. 【详解】（1）因为，则当时，， 当时，由可得， 所以，即， 因为是等比数列，则该数列的公比为，则， 所以，即， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 所以， 故 . 25．（2022秋·贵州黔西·高二统考期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用求通项公式，注意检验是否成立； （2）由（1）表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，由得， 两式相减，得，又， 故数列的通项公式为. （2）依题意，得，则 ， 所以. 26．（2022春·浙江·高二期末）已知数列满足，. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则． （2）解：由（1）知， 所以． 当为偶数时， ， 因为是单调递减的，所以． 当为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以． 要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是． 27．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校联考期末）已知等差数列为递增数列， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和： (3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式； （2）利用错位相减法即可求出； （3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出. (1) 因为，所以，所以， 又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2， 所以. (2) 因为， 所以①， ②， ①-②得， ； (3) ， 记的前项和为， 则 ， 当为奇数时随着的增大而减小，可得， 当为偶数时随着的增大而增大，可得， 所以的最大值为，最小值为. 考点八 错位相减法求和（5道） 28．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知各项均不为零的数列满足，且. (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令为数列的前项和，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）构造得解决即可； （2）由（1）得，错位相减解决即可. 【详解】（1）由， 得， 又， 是首项为5，公差为3的等差数列. ，故. （2）由（1）知， 所以① ②， ①-②得： ， . 29．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，． (1)求等差数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可； （2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得， 再由分组求和得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题知，则，解得 ． （2）设数列的通项公式为， 则， ， 则 ． 30．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差， （2）由错位相减法即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为，则 解得 ∴． （2）依题意，知数列的通项公式为． 由（1）知， ∴， ，① ①×3得，② ①-②得 ， ∴． 31．（2022春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 故，整理得到：， 而，故. 故，. （2）， 故， 所以， 所以 ， 所以. 32．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 则由，，， 可得 解得 因此，； （2）由（1）知， ，① ，② ①-②得 ， 考点九 数列与不等式问题（3道） 33．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得； （2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减，得，整理得， 当时，， 经检验，满足， 数列是以为首项，2为公比的等比数列， . （2）由（1）得， ， ， 两式相减得， ， 又对于且恒成立，即， 等价于对于且恒成立， 令，则， 则有， 所以当时，，当时，， 所以，则. 34．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题： (1)求的通项公式； (2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式； （2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案. 【详解】（1）由①成等比数列可得：，即， 整理可得：， 由②可得即， 由③可得：，可得：， 若选①②：由，可得，所以， 若选①③：由可得，所以， 若选②③：由可得，所以， 综上所述：的通项公式为 （2）由（1）知：，故， 恒成立，则， ，令， 则， 故在上单调递增，在上单调递减； 令，又，故对于，当时， ，当时，，， 故时，有最大值， 此时，， 由，有. 故的最小值为. 35．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数． 【答案】(1)； (2)5 【分析】（1）利用可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值. 【详解】（1）当时，，得， 当时，由，得， 所以， ， 所以， 所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以 （2）由（1）得， 因为数列中落入区间内， 所以， 所以， ， 所以， 所以数列中落入区间内的项的个数 ， 所以， 由，得， 即， 当时，， 当时，， 因为随的增大而增大， 所以的最小整数为5.
拓展四：数列大题专项训练（35道） 考点一 等差数列基本量的计算（4道） 1．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可. 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，，与不符， 所以； （2）由得，而， 所以当时，，当时，， 当时，， 当时， ， 所以 2．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设等差数列的前n项和为，，，且有最大值． (1)求数列的通项公式及的最大值； (2)求 【答案】(1)，前n项和最大值108； (2)， 【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和； （2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时. 【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得， 则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去， 则，，解得，，所以， 令得，则当时，；当时，，所以； （2）由（1）可得， 当时，…， 当时，……， 综上可得，， 3．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式； (2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和. 【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为， 则，所以 当时， 又也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）当时，，数列的前n项和； 当时，， 数列的前n项和 ， . 综上所述： 4．（2022春·福建莆田·高二校考期末）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出公差，进而得出通项公式； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设公差为，， ∴，解得， ∴． （2）∵，， ∴＝， ∴当时，最小，最小值为． 考点二 等差数列的证明（3道） 5．（2022春·陕西西安·高二长安一中校考期末）设为数列的前n项和，且满足． (1)求证：数列为等差数列； (2)若，且成等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”变形，再利用等差中项的定义推理作答. （2）利用（1）的结论，利用等比中项的定义列式计算，再利用等差数列前n项和公式计算作答. (1) 依题意，， 当时，有，两式相减得：， 同理可得，于是得， 即，而当时，， 所以数列为等差数列. (2) 由（1）知数列为等差数列，设其首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 当时，， 当时，. 6．（2022秋·云南昆明·高二统考期末）已知正项数列，，，是公差为2的等差数列. (1)证明：是等差数列； (2)记为数列的前n项和，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，又，再结合等差数列的求和公式即可求出，最后由等差数列的定义即可证明； （2）由裂项相消法求解即可 (1) 由题意，， 因为是首项为3公差为2的等差数列， 所以， ， 又因为，所以， 故， 所以是等差数列. (2) 由（1）得，故， . 7．（2022秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)取倒数得，由等数列的定义可得是等差数列,再求通项公式即可; (1)利用裂项相消求前n项和. (1) 证明：因为， 所以, 又，解得或(舍去)， 所以是以为首项，1为公差的等差数列， 故， 即. (2) 由（1）可知，. 设的前n项和为， 则. 考点三 等比数列基本量的计算（3道） 8．（2022春·吉林松原·高二校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果； （2）分组求和，分别求出和的前项和，加起来即可求出结果. 【详解】（1）设公差为，公比为，因为， 则由可得，，即， 由可得，，解得，则. 所以有，整理可得， 解得或（舍去）. 所以，则，解得（舍去负值），所以. 所以有，. （2）由（1）知，，，则. . 9．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考期末）已知是各项均为正数的等比数列， (1)求的通项公式及前项和； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义和等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为数列是各项均为正数的等比数列， 所以，由，或（舍去）， 因此； （2）由， 因为， 所以数列是等差数列，因此. 10．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知为各项都为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列方程求解，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，再根据错位相减法求解即可. （1） 解：设等比数列的公比为，因为，， 依题意得，即，解得，（舍）， 所以，数列的通项． （2） 解：结合（1）知，， 则①， ①×2，得②， ①－②得， 所以． 考点四 等比数列的证明（4道） 11．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知数列，满足，其中，. (1)若，. ①求证：为等比数列； ②试求数列的前n项和. (2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①，利用累加法求解即可； ②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可； （2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案. 【详解】（1）①证明：，当时累加得 ，，又 所以为首项为2，公比为2的等比数列. ②由①得，令，的前项和为， 则， ， 得 （2）若，则， 所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，， 设数列的前n项和为，则. 所以， ，所以 所以. 12．（2022秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知数列满足. (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明为一个定值即可，再根据等比数列得通项公式求出数列的通项，即可得解； （2）易得数列为等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出结论. (1) 证明：因为， 所以， 又， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则， 所以； (2) 证明：由（1）得， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 因为， 所以. 13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）记数列{an}的前n项积为Tn，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得； （2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求. 【详解】（1）证明：因为为数列的前项积， 所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，所以， 故是以4为首项，2为公比的等比数列； （2）解：由（1）得：，所以，则 设① ② 则①-②得： 则 所以的前n项和 14．（2022秋·辽宁·高二校联考期末）已知数列中，，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式. (2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案. 【详解】（1）由，可得，即 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 （2）不等式对于恒成立 即对于恒成立 即对于恒成立 设， 由 当时，，即 即 当时，，即 即 所以最大， 所以，故的最小值为 考点五 由an和Sn的关系求通项（4道） 15．（2022春·广东广州·高二校考期末）已知数列的前项和为. (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将其配成顶点式，根据二次函数的性质计算可得； （2）根据作差即可得解. 【详解】（1）解：因为，所以， 又，所以当或时，取得最小值. （2）解：因为，所以当时，； 当时，； 显然是，也满足，所以； 16．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】利用与的关系可得数列的通项公式，验证即可； （2）根据（1）的结果可得，利用等差数列的前n项和公式即可求解. (1) 解：因为，当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以． (2) 解：因为，所以， 所以． 17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前项和与通项的关系先得到递推关系为等比数列模型，进而得到； （2）将等式往前递推一次得，再两边同 乘以4与原式作差得到，进而得到结果. (1) ∵，∴，∴ 令，得，∴是以4为首项，4为公比的等比数列，∴ (2) ∵， 即 ∴ 等式两边同乘以4得： ∴ ∴，∴，经检验成立，∴ 18．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知数列的前n项和为，______， (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前n项和，若对任意的，，求实数k的取值范围． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． ①；②；③. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：根据与的关系即可求解；选②：根据已知有时，，两式相减即可求解；选③：根据已知有时，，两式相除即可求解； （2）利用裂项相消求和法求出，则原问题等价于，令，判断数列的单调性，求出数列的最大值即可得答案. 【详解】（1）解：选①：当时，，， ，时，， 两式相减得， 数列是以2为首项2为公比的等比数列， ； 选②：，时，， 两式相减得，即，又当时，， ，满足上式， ； 选③：，时，， 两式相除得，当时，，满足上式， ； （2）解：∵ ∴， ∵对任意的，即对任意的都成立， ∴对任意的都成立， ， 令，则， ∵，，即， 数列是递减数列， ， ， ， ∴的取值范围是. 考点六 分组转化法求和（3道） 19．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知是等差数列，是首项为1、公比为3的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，分别求出和，可求公差d，根据是等差数列写出通项公式即可； （2）由，利用等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可. 【详解】（1）依题意，知，则，， 设的公差为d， 则， ． （2）由（1）知，，， ， 设的前n项和为， 则 ． 20．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数恒有. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和S2n. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通项即可； （2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分别用裂项相消和错位相减求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以， 令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以. （2）当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以奇数项的前项和为， 偶数项的前项和为①， ①得：②， ①-②得： ， 所以，. 21．（2022秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知为等差数列，为公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，公比为，再根据题意列式求解基本量即可； （2）分为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可 (1) 设公差为，公比为，由可得，即， 因为解得.又，故，解得.故 (2) 因为，故， 设中奇数项和为，偶数项和为，则. ， 则， 则， 则， 即， 解得，故 考点七 裂项相消法求和（6道） 22．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式； （2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，①， 当时，②， ①减②得：， 当时，成立， 所以． （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以 23．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式； （2）由列项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得. 故数列的通项公式； （2），故 24．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）己知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，可得出，令时，由可得，两式作差可得推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，求出的值，进而可求得等比数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可证得原不等式成立. 【详解】（1）因为，则当时，， 当时，由可得， 所以，即， 因为是等比数列，则该数列的公比为，则， 所以，即， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 所以， 故 . 25．（2022秋·贵州黔西·高二统考期末）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用求通项公式，注意检验是否成立； （2）由（1）表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，由得， 两式相减，得，又， 故数列的通项公式为. （2）依题意，得，则 ， 所以. 26．（2022春·浙江·高二期末）已知数列满足，. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则． （2）解：由（1）知， 所以． 当为偶数时， ， 因为是单调递减的，所以． 当为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以． 要使存在，使，只需，即， 故的取值范围是． 27．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄二中校联考期末）已知等差数列为递增数列， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和： (3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意可得，则可解得，即可求出通项公式； （2）利用错位相减法即可求出； （3）利用裂项相消法求出前n项和，再讨论n的奇偶即可求出. (1) 因为，所以，所以， 又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2， 所以. (2) 因为， 所以①， ②， ①-②得， ； (3) ， 记的前项和为， 则 ， 当为奇数时随着的增大而减小，可得， 当为偶数时随着的增大而增大，可得， 所以的最大值为，最小值为. 考点八 错位相减法求和（5道） 28．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知各项均不为零的数列满足，且. (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)令为数列的前项和，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）构造得解决即可； （2）由（1）得，错位相减解决即可. 【详解】（1）由， 得， 又， 是首项为5，公差为3的等差数列. ，故. （2）由（1）知， 所以① ②， ①-②得： ， . 29．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，． (1)求等差数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可； （2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得， 再由分组求和得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题知，则，解得 ． （2）设数列的通项公式为， 则， ， 则 ． 30．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差， （2）由错位相减法即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为，则 解得 ∴． （2）依题意，知数列的通项公式为． 由（1）知， ∴， ，① ①×3得，② ①-②得 ， ∴． 31．（2022春·天津和平·高二耀华中学校考期末）已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据成等差数列可得关于公比的方程，求出公比后可求两个数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 故，整理得到：， 而，故. 故，. （2）， 故， 所以， 所以 ， 所以. 32．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 则由，，， 可得 解得 因此，； （2）由（1）知， ，① ，② ①-②得 ， 考点九 数列与不等式问题（3道） 33．（2022春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系证得数列是等比数列，从而求得； （2）先利用错位相减法求得，再将问题转化为，其中，利用作差法证得，从而得解. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减，得，整理得， 当时，， 经检验，满足， 数列是以为首项，2为公比的等比数列， . （2）由（1）得， ， ， 两式相减得， ， 又对于且恒成立，即， 等价于对于且恒成立， 令，则， 则有， 所以当时，，当时，， 所以，则. 34．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题： (1)求的通项公式； (2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的方程，解方程求出和的值即可得的通项公式； （2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出，可得答案. 【详解】（1）由①成等比数列可得：，即， 整理可得：， 由②可得即， 由③可得：，可得：， 若选①②：由，可得，所以， 若选①③：由可得，所以， 若选②③：由可得，所以， 综上所述：的通项公式为 （2）由（1）知：，故， 恒成立，则， ，令， 则， 故在上单调递增，在上单调递减； 令，又，故对于，当时， ，当时，，， 故时，有最大值， 此时，， 由，有. 故的最小值为. 35．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数． 【答案】(1)； (2)5 【分析】（1）利用可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值. 【详解】（1）当时，，得， 当时，由，得， 所以， ， 所以， 所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以 （2）由（1）得， 因为数列中落入区间内， 所以， 所以， ， 所以， 所以数列中落入区间内的项的个数 ， 所以， 由，得， 即， 当时，， 当时，， 因为随的增大而增大， 所以的最小整数为5.
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