第四章 数列（提分小卷）-【单元测试】高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

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第四章 数列 提分小卷 （考试时间：45分钟 试卷满分：59分） 一、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•北京）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】数列是递增的整数数列， 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数， 假设递增的幅度为1， ， ， 则， 当时，，， ，即可继续增大，非最大值， 当时，，， ，不满足题意， 即为最大值． 故选C． 2．（2021春•抚州期末）已知正项等比数列的公比为3，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，， 所以， 则， 故． 故选A． 3．（2021•包河区校级模拟）已知等差数列满足，且，则的取值范围为　　 A． B．， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】令，则， 根据题意得， 由． 故选B． 二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 4．（2021•龙岩模拟）已知数列的前项和是，则下列结论正确的是　　 A．若数列为等差数列，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，则数列为等差数列 C．若数列和均为等差数列，则 D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列 【答案】BCD 【解析】：对于，若数列为等差数列，可得， 但是首项的值不确定，所以数列不一定为等差数列，故选项错误； 对于，若数列为等差数列，设公差为， 则，可得， 当时，， 当时，， 则， 由，，则， 所以，故数列为等差数列，故选项正确； 对于，由数列为等差数列，则，则， 所以， 则为常数， 则，所以， 故，所以，又， 所以，故选项正确； 对于，由数列为等差数列，可得，则， 所以， 因为为等差数列，所以为常数，则， 所以，则数列是常数数列，故选项正确． 故选BCD． 5．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则　　 A． B．数列是递减数列 C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项 【答案】ACD 【解析】，，又，对； 由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，错； ，又，对； ，时，，时，，，，时，， 当，时，、且递减、为正数且递减，最小．对． 故选ACD． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 6．（2021•丙卷模拟）记为等比数列的前项和，公比为，满足，则数列的通项公式为　　． 【答案】 【解析】当时，， 所以， 所以， 故， 即 所以 故当时，， 即． 因为，， 所以， 故答案为：． 7．（2021•吴忠模拟）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于　　． 【答案】90 【解析】设的公差为，首项为，由题意得 ，解得； ， ，且，公差为6， ． 故答案为：90 四、解答题：本题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 8．（2021春•浦东新区期末）无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：由已知可得：， ， 是公差为1的等差数列； （2）解：由（1）可得， ， 结合图象易知函数在，时取到最小值， 由为数列中的最小项，有， 解得：， 的取值范围是：． 9．（2019•河东区二模）已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2），. 【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为． 依题意， 有， 代入， 得． ． 解之得，或 又单调递增， ，，， （2）， ① ② ①②得， 由， 即对任意正整数恒成立， ． 对任意正整数， 恒成立． ，． 即的取值范围是，．