苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第08讲 图形的旋转（学生版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 9.1 图形的旋转 目标导航 知识精讲 知识点01 旋转的概念与性质 1.旋转的概念 将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小。 2.旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中： (1)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.　 图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。 【即学即练1】如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点B顺时针旋转得到，使点C恰好落在上，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（ ） A．15°或45° B．15°或45°或90° C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135° 知识点02 旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点。 【即学即练3】在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： (1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD，并写出点D的坐标； (2)在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）． 能力拓展 考法01 旋转的性质 【典例1】已知△ABC为等腰直角三角形，，， (1)如图1，若以为边在点C同侧作等边三角形，判断所在直线与线段的关系，并说明理由． (2)如图2，将△ABC绕若点B旋转60°得，若，求的长． 考法02 旋转作图 【典例2】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为． (1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系； (2)画出关于x轴对称图形； (3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列事件中，属于旋转运动的是（　　） A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千 C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下 2．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　 A． B． C． D． 3．如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ） A．20° B．40° C．50° D．60° 4．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点B′恰好落在BC边上，则 的度数为（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 6．如图所示的五个四边形全等，不能由四边形经过平移或旋转得到的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ） A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1） 9．如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，若∠CAB'＝25°，则旋转角的度数为 _____． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△ABO绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 11．在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是______． 12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________． 题组B 能力提升练 1．如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若，则旋转角的度数为（ ） A．50° B．40° C．30° D．20° 2．2022年2月4日－2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（ ）． A．180° B．120° C．90° D．60° 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A．3 B．1 C． D． 4．如图，在△ABC中，∠CAB＝66°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（ ） A．70° B．50° C．40° D．48° 5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ） A．15° B．65° C．115° D．75° 6．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定 7．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______． 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=10．如果将△ABC绕点C按逆时针旋转到△A′B′C的位置，并且点B恰好落在边A′B′上，则BB′的长为________． 9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角（0°＜＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角度数为__，△ADF是等腰三角形． 10．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，线段AC是线段AB绕点A顺时针旋转90°而得，则直线AC的关系式是______． 11．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转后的． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）． （1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标； （2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为． ①画出△ABC关于x轴对称的， ②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的， ③与成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； ④与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 14．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转90°到CE． （1）如图①，若D为△ABC内一点，求证：AD＝BE； （2）如图②，若D为AB边上一点，AD＝2，BD＝7，求DE的长． 题组C 培优拔尖练 1．如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D． 2．如图，O是正△ABC内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ） A．点O与的距离为4 B． C．S四边形AOBO′ D． 3．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AFG，交于点H（如图2），设旋转角为，当△ADH为等腰三角形时，旋转角的度数为（ ） A． B．或 C．或 D． 4．如图，中，D、E为BC边上两点，且，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF．下列4个结论：①≌；②≌；③≌；④．正确的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，将△ABC绕点按逆时针方向旋转80°，得到△ADE，连接，若，的度数为（ ） A．20° B．30° C．25° D．35° 6．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点都在格点上．若是由△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A．(0，0) B．(0，﹣1) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2) 7．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 _____． 8．如图，正比例函数 y＝kx（k≠0）的图像经过点 A（2，4），AB⊥x 轴于点 B，将△ABO 绕点 A逆时针旋转 90°得到△ADC，则直线 AC 的函数表达式为_____． 9．若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___． 10．如图，在△AOB中，OA＝AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在轴上，则点O′的横坐标为_________． 11．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转． (1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论． (2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)将Rt△ABC旅转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数． 12．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将沿AD翻折得到，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF． （1）若，求的度数； （2）若，求的大小； （3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明． 13．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°． （1）求∠ADC的大小； （2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长． 14．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE． 探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=45°，若BD=7，将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．连接DE、CE，求线段CE的长． （3）AD与CE交于点N，BD与CE交于点M，在（2）的条件下，试探究BD与CE的位置关系，并加以证明 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上． （1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE； （2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2； （3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系． 16．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形． （1）感知：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据　 　；进而得到线段BE＝AD，依据　 　． （2）探究：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②∠APB的度数＝　 　． （3）应用：若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案． 课程标准课标解读通过详细实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探究它的根本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心间隔 相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。 2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计。