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苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第09讲 中心对称与中心对称图形（学生版）
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知识精讲
知识点01 中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 。
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形。
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
【微点拨】
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
【即学即练1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法 中心对称图形的性质
【典例1】．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，与交于点，连接、．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图在平面直角坐标系中，点N与点F关于原点O对称，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）
4．在直角坐标系中，将点（-2，3）关于原点的对称点向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（2，-1）B．（-2，-2）C．（2，-3）D．（2，-4）
5．如果在第四象限，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．建成具有全球影响力的“工程机械之都、汉文化名城”是徐州市2035远景目标，下列四个数字图形中，中心对称图形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知点与点关于原点对称，则a-b的值为________．
8．在平面直角坐标系中点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 _____．
9．直线上有一点，则P点关于原点的对称点为______．
10．坐标平面内的点P(m，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m＋n＝__．
题组B 能力提升练
1．学校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．请问以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(－3，1)B．(3，1)C．(3，－1)D．(－3，－1)
3．如图下面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（-4，-3），则点A′的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．已知两点，若，则点与（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
7．在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____．
8．若点与点关于原点成中心对称，则_______．
9．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则________，________．
10．如图，两个“心”形有一个公共点，且点在同一条直线上，，下列说法中：①这两个“心”形关于点成中心对称；②点是以点为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形，正确的有__________．（只填你认为正确的说法的序号）
11．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
(1)点关于点中心对称的点的坐标为 ；(2)绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标： ．
12．如图所示的“鱼”是将坐标为的点用线段依次连接而成的．
（1）以原点O为对称中心，画出与这条“鱼”成中心对称的新“鱼”；（2）写出新“鱼”各“顶点”的坐标．
13．图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．
要求：（1）在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．
（2）在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
14．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A，B坐标分别为（2，0），（﹣1，3）．
（1）直接写出点B关于y轴的对称点的坐标： ．
（2）请用直尺在方格中画出△O′A′B′，要求：△O′A′B′和△OAB关于点（﹣1，0）成中心对称．（保留作图痕迹，不写作法）
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度D．将向上平移4个单位长度
2．在平面直角坐标系中，△ABC与关于原点成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
4．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
5．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
6．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．
7．已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________．
8．如图，是正方形的中心，是内一点，，将绕点旋转180°后得到．若，，则的长为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 ．
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90度得到的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）求△ABC的面积．
11．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）根据图形画出B关于原点对称的点C，点A关于y轴对称的点D，并写出点的坐标；（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；（3）四边形ABDC的面积是 ；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABD，那么点F的坐标是 ．
12．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点分别为，，．
（1）画出△ABO关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）画出△ABO绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
课程标准
课标解读
理解中心对称、中心对称图形的概念，探究它的根本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
1.理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2.掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
3.探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系。
②对称中心不定。
①指一个图形本身成中心对称。
②对称中心是图形自身或内部的点。
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形。
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称。
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知识精讲
知识点01 中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 。
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形。
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
【微点拨】
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
【即学即练1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法 中心对称图形的性质
【典例1】．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，与交于点，连接、．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．如图在平面直角坐标系中，点N与点F关于原点O对称，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）
4．在直角坐标系中，将点（-2，3）关于原点的对称点向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（2，-1）B．（-2，-2）C．（2，-3）D．（2，-4）
5．如果在第四象限，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．建成具有全球影响力的“工程机械之都、汉文化名城”是徐州市2035远景目标，下列四个数字图形中，中心对称图形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知点与点关于原点对称，则a-b的值为________．
8．在平面直角坐标系中点M（2，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 _____．
9．直线上有一点，则P点关于原点的对称点为______．
10．坐标平面内的点P(m，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m＋n＝__．
题组B 能力提升练
1．学校举办了“送福迎新春，剪纸庆佳节”比赛．请问以下参赛作品中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(－3，1)B．(3，1)C．(3，－1)D．(－3，－1)
3．如图下面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（-4，-3），则点A′的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．已知两点，若，则点与（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
7．在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____．
8．若点与点关于原点成中心对称，则_______．
9．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则________，________．
10．如图，两个“心”形有一个公共点，且点在同一条直线上，，下列说法中：①这两个“心”形关于点成中心对称；②点是以点为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形，正确的有__________．（只填你认为正确的说法的序号）
11．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
(1)点关于点中心对称的点的坐标为 ；(2)绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标： ．
12．如图所示的“鱼”是将坐标为的点用线段依次连接而成的．
（1）以原点O为对称中心，画出与这条“鱼”成中心对称的新“鱼”；（2）写出新“鱼”各“顶点”的坐标．
13．图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．
要求：（1）在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．
（2）在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
14．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A，B坐标分别为（2，0），（﹣1，3）．
（1）直接写出点B关于y轴的对称点的坐标： ．
（2）请用直尺在方格中画出△O′A′B′，要求：△O′A′B′和△OAB关于点（﹣1，0）成中心对称．（保留作图痕迹，不写作法）
题组C 培优拔尖练
1．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将向右平移4个单位长度B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度D．将向上平移4个单位长度
2．在平面直角坐标系中，△ABC与关于原点成中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
4．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．点M，点NB．点M，点QC．点N，点PD．点P，点Q
5．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
6．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：
（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是 ___；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是 ___．
7．已知线段EF两个端点的坐标为E（x1，y1），F（x2，y2），若点M（x0，y0）是线段EF的中点，则有x0＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点记为P1，P1关于点B的对称点记为P2，P2关于点C的对称点记为P3，…，按此规律继续以A、B、C三点为对称中心，重复前面的操作，依次得到点P4，P5，P6，…，则点P2020的坐标是 __________．
8．如图，是正方形的中心，是内一点，，将绕点旋转180°后得到．若，，则的长为______．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 ．
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90度得到的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）求△ABC的面积．
11．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）根据图形画出B关于原点对称的点C，点A关于y轴对称的点D，并写出点的坐标；（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；（3）四边形ABDC的面积是 ；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABD，那么点F的坐标是 ．
12．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点分别为，，．
（1）画出△ABO关于原点对称的，并写出点的坐标；（2）画出△ABO绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
课程标准
课标解读
理解中心对称、中心对称图形的概念，探究它的根本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
1.理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2.掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
3.探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系。
②对称中心不定。
①指一个图形本身成中心对称。
②对称中心是图形自身或内部的点。
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形。
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称。
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