2021-2022苏科版八年级数学下册期末复习-矩形、菱形、正方形精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

2021-2022学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（苏科版）

专题1.4矩形、菱形、正方形精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

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【知识梳理】

1.菱形的性质：

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的___________都相等；

③菱形的两条对角线_________，并且每一条对角线___________；

④菱形是___________图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）

2.菱形的判定：

①菱形定义：______________________的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②___________都相等的四边形是菱形．

③______________________的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
3.矩形的性质：

（1）矩形的定义：______________________的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是_______；

③边：邻边______；
④对角线：矩形的对角线______________________；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4. 矩形的判定：
①矩形的定义：___________的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③___________的平行四边形是矩形（或“______________________的四边形是矩形”）

5. 正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线______________________，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

6.正方形的判定：

正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

【典例剖析】

【考点1】菱形的性质

【例1】（2020春•如东县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）

A． B．3+3 C．6 D．

【变式1-1】（2020春•海陵区期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BH⊥AD于点H，若AC＝4，BD＝3，则BH的长为（　　）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5

【变式1-2】（2020春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）

A．逐渐增加 

B．逐渐减小 

C．保持不变且与EF的长度相等 

D．保持不变且与AB的长度相等

【变式1-3】（2019春•灌云县期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．45°

【考点2】菱形的判定条件

【例2】（2019春•江阴市期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　）

A．仅甲正确 B．仅乙正确 

C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误

【变式2-1】（2020春•吴江区期末）已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（　　）

A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD

【变式2-2】（2020春•崇川区校级月考）已知▭ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（　　）

A．ABAC B．AB＝CD 

C．对角线互相垂直 D．∠A+∠C＝180°

【变式2-3】（2020春•高新区期中）平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠A＝∠D D．CA平分∠BCD

【考点3】矩形的性质

【例3】（2019秋•太仓市期末）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（　　）

A．60° B．64° C．42° D．52°

【变式3-1】（2020春•江阴市期末）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为2cm2时，t的值（　　）

A．2或 B．2或 C．1或 D．1或

【变式3-2】（2020春•高淳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD的长是（　　）

A．6 B．2 C．3 D．2

【变式3-3】（2019春•北碚区期末）如图．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为（　　）

A．12 B．15 C．6 D．10

【考点4】矩形的判定条件

【例4】（2019春•常州期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，下列条件中能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠BAC＝∠ABD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠DCA D．∠BAC＝∠ADB

【变式4-1】（2020春•海安市期末）下列说法正确的是（　　）

A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 

B．对角互补的平行四边形是矩形 

C．一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四边形是菱形 

D．对角线相等的四边形是矩形

【变式4-2】（2020春•无锡期中）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（　　）

A．测量两条对角线是否相等 

B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直 

C．测量门框的三个角是否都是直角 

D．测量两条对角线是否互相平分

【变式4-3】（2021春•秦淮区校级月考）下列关于四边形的说法，正确的是（　　）

A．四个角相等的四边形是菱形 

B．对角线互相垂直的四边形是矩形 

C．有两边相等的平行四边形是菱形 

D．两条对角线相等的菱形是矩形

【考点5】正方形的性质

【例5】（2020春•邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

【变式5-1】（2019秋•高邮市期末）如图，已知正方形A1A2A3A4的边长为1，若从某一点开始沿逆时针方向走点的下标数字的路程，则把这种走法成为一次“逆移”，如：在点A3开始经过A3→A4→A1→A2为第一次“逆移”，在点A2开始经过A2→A3→A4为第二次“逆移”．若从点A1开始，经过2020次“逆移”，最终到达的位置是（　　）

A．A1 B．A2 C．A3 D．A4

【变式5-2】（2020春•常熟市期末）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　）

A．67.5° B．45° C．60° D．75°

【变式5-3】（2020春•崇川区期末）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MNMC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．

其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式5-4】（2020春•仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为　   　．

【考点6】菱形的性质与判定综合问题

【例6】（2020春•海陵区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．

（1）求证：四边形OBEC是菱形；

（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．

【变式6-1】（2019春•张家港市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．

（1）菱形ABCD的周长为　8　；

（2）若BD＝2，求AC的长．

【变式6-2】（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）当▱ABCD满足　AB⊥BD　条件时，四边形GEHF是菱形；

（3）若BD＝2AB，

①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；

②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．

【变式6-3】（2020春•邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积．

【考点7】矩形的性质与判定综合问题

【例7】（2020春•海州区期末）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．

【变式7-1】（2020春•江都区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形AODE周长．

【变式7-2】（2020春•无锡期末）如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．

【变式7-3】（2020春•镇江期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为　   　时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为　   　时，四边形AMDN是菱形．

【考点8】四边形综合问题

【例8】（2020春•高淳区期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．

（1）求证：△EDC≌△HFE；

（2）连接BE、CH．

①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；

②若BC长为2，则AB的长为　   　时，四边形BEHC为菱形．

【变式8-1】（2019春•张家港市期末）已知点E是正方形ABCD内一点，连接AE，CE．

（1）如图1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，若∠BEC＝90°，BF＝2，四边形ABCE的面积为．

①证明：AF＝BE；

②求线段AE的长．

（2）如图2，若AB＝4，∠AEC＝135°，AE+2CE＝4，求线段AE，CE的长．

【变式8-2】（2020秋•无锡期末）如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．

（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．

（2）当射线PE与边AB交于点Q时，

①请直接写出AQ长的取值范围：　   　；

②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

【变式8-3】（2020春•宝应县期末）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）探究猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：　   　；

②BC、CD、CF之间的数量关系为：　   　；

（2）深入思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2，CDBC，请求出OC的长．