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人教A版高中数学必修第一册第5章5-2-2同角三角函数的基本关系课时学案
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这是一份人教A版高中数学必修第一册第5章5-2-2同角三角函数的基本关系课时学案，共16页。
5.2.2 同角三角函数的基本关系 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(逻辑推理) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算) 我们已经知道，如果P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝x2+y2，则sin α＝yr，cos α＝xr． 如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个表示吗？ 知识点 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：sinαcosα＝tan αα≠π2+kπ，k∈Z． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． “同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin2α＋cos2β＝1． ( ) (2)sin2θ2＋cos2θ2＝1． ( ) (3)对任意的角α，都有tan α＝sinαcosα成立． ( ) (4)若sin α＝12，则cos α＝32． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 类型1 直接应用同角三角函数关系求值 【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． [解] ∵cos α＝－817＜0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝1-cos2α＝1--8172＝1517， tan α＝sinαcosα＝1517-817＝－158． 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－1-cos2α＝－1517，tan α＝158． 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [跟进训练] 1．(源自苏教版教材)已知tan α＝125，求sin α，cos α的值． [解] 由sinαcosα＝tan α＝125，得sin α＝125cos α． 又sin2α＋cos2α＝1，所以1252cos2α＋cos2α＝1． 解得cos2α＝25169． 又由tan α>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则 cos α＝513，tan α＝125，sin α＝1213； 若α是第三象限角，则 cos α＝－513，tan α＝125，sin α＝－1213． 类型2 变形应用同角三角函数关系求值 弦切互化求值 【例2】 已知tan α＝3，计算下列各式的值． (1)3sinα-cosα2sinα+3cosα； (2)sin2α－2sinαcos α＋1． [解] (1)法一：(切化弦法) 由 tan α＝3，得sin α＝3cos α． 所以原式＝3×3cosα-cosα2×3cosα+3cosα＝8cosα9cosα＝89． 法二：(弦化切法) 由tan α＝3得， 原式＝3tanα-12tanα+3＝3×3-12×3+3＝89． (2)原式＝sin2α-2sin αcosαsin2α+cos2α＝tan2α-2tan αtan2α+132-2×332+1＋1＝1310． “sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题 【例3】 已知sin α＋cos α＝－13，0<α<π． (1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值． [解] (1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝19， 所以sin αcos α＝－49． (2)因为0<α<π， 所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0． 所以sin α－cos α＝sinα-cosα2＝1-2sinαcosα＝173． 1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． 2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值． (1)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如asin2α+bsinαcosα+ccos2αdsin2α+esinαcosα+fcos2α分子、分母同时除以cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值． (2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如asin2α+bsinαcosα+ccos2αsin2α+cos2α求解． [跟进训练] 2．(1)已知sinα＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________． (2)已知2cos2α－3sinαcos α＝910，则tan α＝______． (1)－125 (2)13或－113 [(1)∵sin α＋cos α＝713，∴(sin α＋cos α)2＝49169，即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈π2，π， 故sin α－cos α＝sinα+cosα2-4sinαcosα＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125． (2)由题中等式易知cos α≠0， 则2cos2α－3sinαcos α＝2cos2α-3sinαcosαsin2α+cos2α2-3tanαtan2α+1＝910， 整理得9tan2α＋30tanα－11＝0， 即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0， 解得tan α＝13或tan α＝－113．] 类型3 应用同角三角函数关系式化简证明 【例4】 (1)化简2sin2α-11-2cos2α＝________． (2)求证：tanαsinαtanα-sinα＝tanα+sinαtanαsinα． (1)1 [原式＝2sin2α-11-21-sin2α＝2sin2α-12sin2α-1＝1．] (2)[证明] 法一：(切化弦) 左边＝sin2αsinα-sinαcosα sinα1-cosα， 右边＝sinα+sinαcosαsin2α＝1+cosαsinα． 因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)， 所以sinα1-cosα＝1+cosαsinα，所以左边＝右边． 所以原等式成立． 法二：(由右至左) 因为右边＝tan2α-sin2αtanα-sinαtanαsinα＝tan2α-tan2αcos2αtanα-sinαtanαsinα ＝tan2α1-cos2αtanα-sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα-sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα-sinα＝左边， 所以原等式成立． 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的方法 (1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等． (3)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1． (4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想． [跟进训练] 3．(1)化简tan α1sin2α-1，其中α是第二象限角． (2)求证：1+2sinxcosxcos2x-sin2x＝1+tanx1-tanx． (1)[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0． 故tan α1sin2α-1＝tan α1-sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sinαcosαcosαsinα＝sinαcosα·-cosαsinα＝－1． (2)[证明] 左边＝sin2x+cos2x+2sinxcosxcos2x-sin2x＝sinx+cosx2cosx+sinxcosx-sinx ＝sinx+cosxcosx-sinx＝1+tanx1-tanx＝右边． 所以原等式成立． 1．若sin α＝－513，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) A．125 B．－125 C．512 D．－512 C [因为sin α＝－513，且α为第三象限角，所以cos α＝－1213，所以tan α＝512．] 2．已知tan α＝－12，则2sinαcosαsin2α-cos2α的值是( ) A．43 B．3 C．－43 D．－3 A [因为tan α＝－12， 所以2sinαcosαsin2α-cos2α＝2tanαtan2α-1＝2×-12-122-1＝43．故选A．] 3．tanx+1tanxcos2x等于( ) A．tanx B．sin x C．cos x D．1tanx D [原式＝sinxcosx+cosxsinx·cos2x＝sin2x+cos2xsinxcosx·cos2x ＝1sinxcosx·cos2x＝cosxsinx＝1tanx．故选D．] 4．已知sin θ＋cos θ＝22，则tan θ＋1tanθ＝________． －4 [∵sin θ＋cos θ＝22，∴(sin θ＋cos θ)2＝222， ∴1＋2sin θcos θ＝12，∴sin θcos θ＝－14， ∴tan θ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1sinθcosθ＝－4．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．sin α，cos α，tan α间存在怎样的等量关系？ [提示] sin2 α＋cos2 α＝1，tanα＝sinαcosα，sin2α＝1－cos2 α，cos2 α＝1－sin2 α，sinα＝tan αcos α，…． 2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？ [提示] 借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化． 3．常用哪些方法证明三角恒等式？ [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)左右归一． (4)比较法． (5)综合法等． 更多三角函数及关系式 除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数． 事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝x2+y2，则r>0，此时 (1)称rx为α的正割，记作sec α，即sec α＝rx； (2)称ry为α的余割，记作csc α，即csc α＝ry； (3)称xy为α的余切，记作cot α，即cot α＝xy． 由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义． 同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨． 正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即 sec α＝1cosα， csc α＝1sinα， cot α＝1tanα． 另外，由于 tan2α＋1＝sin2αcos2α＋1＝sin2α+cos2αcos2α＝1cos2α＝sec2α， 因此tan2α＋1＝sec2α． 类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α． 习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即 cosαsec α＝1， sin αcsc α＝1， tan αcot α＝1． 每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等． 你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！ 课时分层作业(四十五) 同角三角函数的基本关系 一、选择题 1．化简1-sin2160°的结果是( ) A．cos 160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° D [1-sin2160°＝cos2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°．] 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( ) A．14 B．12 C．1 D．32 C [原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1．故选C．] 3．若tanα＝2，则2sin αcos α＝( ) A．±35 B．－35 C．35 D．45 D [2sin αcos α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanαtan2α+1＝45．] 4．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( ) A．tan α＝43 B．cos α＝35 C．sin α＋cos α＝85 D．sin α－cos α＝－15 AB [∵sin α＝45，且α为锐角， ∴cos α＝1-sin2α＝1-452＝35，故B正确， ∴tan α＝sinαcosα＝4535＝43，故A正确， ∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C错误， ∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D错误． 故选AB．] 5．(多选)若α是第二象限角，则下列各式中成立的是( ) A．tan α＝－sinαcosα B．1-2sinαcosα＝sin α－cos α C．cos α＝－1-sin2α D．1+2sinαcosα＝sin α＋cos α BC [由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sinαcosα，所以A错误；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以1-2sinαcosα＝sinα-cosα2＝sin α－cos α，所以B、C正确，D错误．] 二、填空题 6．已知sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－5，则tan α＝________． －2316 [∵sinα-2cosα3sinα+5cosα＝tanα-23tanα+5＝－5， ∴tan α－2＝－15tan α－25， ∴16tan α＝－23，即tan α＝－2316．] 7．若sin αcos α＝－18，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝________． －52 [因为sin αcos α＝－18＜0，α∈(0，π)，所以α∈π2，π，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－1-2sinαcosα ＝－1-2×-18＝－52．] 8．已知sin θ＝m-3m+5，cos θ＝4-2mm+5，则m的值为________，tan θ＝________． 0或8 －34或－512 [因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以m-3m+52＋4-2mm+52＝1． 整理得m2－8m＝0， 解得m＝0或m＝8． 又tan θ＝sinθcosθ＝m-34-2m， 当m＝0时，tan θ＝－34； 当m＝8时，tan θ＝－512．] 三、解答题 9．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sinθ＋1cosθ的值； (2)tan θ的值． [解] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sinθ＋1cosθ＝cosθ+sinθsinθcosθ＝2103． (2)由(1)，得sin2θ+cos2θsinθcosθ＝－103， 所以tan2θ+1tanθ＝－103， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13． 10．已知sin α，cos α是方程2x2－x－m＝0的两个根，则m＝( ) A．34 B．－34 B．12 D．－12 A [因为sin α，cos α是方程2x2－x－m＝0的两个根，所以由根与系数的关系得sin α＋cos α＝12，sin αcos α＝－m2． 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1－m＝14， 解得m＝34．经验证满足Δ>0．故选A．] 11．(多选)2sinx1-cos2x＋cosx1-sin2x的值可能为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 BD [令f (x)＝2sinx1-cos2x＋cosx1-sin2x＝2sinxsinx＋cosxcosx， 当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f (x)＝2＋1＝3， 当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f (x)＝2－1＝1， 当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f (x)＝－2－1＝－3， 当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f (x)＝－2＋1＝－1．] 12．(2022·湖南湘阴期末)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值y-xr叫做α的正余混弦，记作sch α．若sch α＝15(0<α<π)，则tan α＝________． 43 [∵0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝y-xr＝yr－xr＝sin α－cos α． 则有sch α=sinα-cosα=15， cos2α+sin2α=1， sinα>0， 解得sinα=45，cosα=35， 因此，tan α＝sinαcosα＝43．] 13．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________． －105 [由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α， 将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1， 所以cos2α＝910，易知cos α<0， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010， 故sin α＋cos α＝－105．] 14．若3π2<α<2π，求证： 1-cosα1+cosα＋1+cosα1-cosα＝－2sinα． [证明] ∵3π2<α<2π，∴sin α<0． 左边＝1-cosα21+cosα1-cosα＋ 1+cosα21-cosα1+cosα ＝ 1-cosα2sin2α＋ 1+cosα2sin2α ＝1-cosαsinα＋1+cosαsinα ＝－1-cosαsinα－1+cosαsinα ＝－2sinα＝右边． ∴原等式成立． 15．(1)分别计算cos4π6－sin4π6和cos2π6－sin2π6，cosπ3的值，你有什么发现？ (2)计算cos4π4－sin4π4，cos2π4－sin2π4，cos π2的值，你有什么发现． (3)证明：∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x． (4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明． [解] (1)cos4π6－sin4π6 ＝cos2π6+sin2π6cos2π6-sin2π6 ＝cos2π6－sin2π6＝34－14＝12＝cos π3． (2)cos4π4－sin4π4 ＝cos2π4+sin2π4cos2π4-sin2π4 ＝cos2π4－sin2π4＝12－12＝0＝cos π2． (3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x． (4)推测cos2x－sin2x＝cos2x．
5.2.2 同角三角函数的基本关系 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(逻辑推理) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算) 我们已经知道，如果P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝x2+y2，则sin α＝yr，cos α＝xr． 如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个表示吗？ 知识点 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：sinαcosα＝tan αα≠π2+kπ，k∈Z． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． “同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin2α＋cos2β＝1． ( ) (2)sin2θ2＋cos2θ2＝1． ( ) (3)对任意的角α，都有tan α＝sinαcosα成立． ( ) (4)若sin α＝12，则cos α＝32． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 类型1 直接应用同角三角函数关系求值 【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． [解] ∵cos α＝－817＜0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝1-cos2α＝1--8172＝1517， tan α＝sinαcosα＝1517-817＝－158． 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－1-cos2α＝－1517，tan α＝158． 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [跟进训练] 1．(源自苏教版教材)已知tan α＝125，求sin α，cos α的值． [解] 由sinαcosα＝tan α＝125，得sin α＝125cos α． 又sin2α＋cos2α＝1，所以1252cos2α＋cos2α＝1． 解得cos2α＝25169． 又由tan α>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则 cos α＝513，tan α＝125，sin α＝1213； 若α是第三象限角，则 cos α＝－513，tan α＝125，sin α＝－1213． 类型2 变形应用同角三角函数关系求值 弦切互化求值 【例2】 已知tan α＝3，计算下列各式的值． (1)3sinα-cosα2sinα+3cosα； (2)sin2α－2sinαcos α＋1． [解] (1)法一：(切化弦法) 由 tan α＝3，得sin α＝3cos α． 所以原式＝3×3cosα-cosα2×3cosα+3cosα＝8cosα9cosα＝89． 法二：(弦化切法) 由tan α＝3得， 原式＝3tanα-12tanα+3＝3×3-12×3+3＝89． (2)原式＝sin2α-2sin αcosαsin2α+cos2α＝tan2α-2tan αtan2α+132-2×332+1＋1＝1310． “sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题 【例3】 已知sin α＋cos α＝－13，0<α<π． (1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值． [解] (1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝19， 所以sin αcos α＝－49． (2)因为0<α<π， 所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0． 所以sin α－cos α＝sinα-cosα2＝1-2sinαcosα＝173． 1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． 2．已知tan α，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值． (1)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα的分式，可将分子、分母同时除以cos α；形如asin2α+bsinαcosα+ccos2αdsin2α+esinαcosα+fcos2α分子、分母同时除以cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值． (2)形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如asin2α+bsinαcosα+ccos2αsin2α+cos2α求解． [跟进训练] 2．(1)已知sinα＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________． (2)已知2cos2α－3sinαcos α＝910，则tan α＝______． (1)－125 (2)13或－113 [(1)∵sin α＋cos α＝713，∴(sin α＋cos α)2＝49169，即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈π2，π， 故sin α－cos α＝sinα+cosα2-4sinαcosα＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125． (2)由题中等式易知cos α≠0， 则2cos2α－3sinαcos α＝2cos2α-3sinαcosαsin2α+cos2α2-3tanαtan2α+1＝910， 整理得9tan2α＋30tanα－11＝0， 即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0， 解得tan α＝13或tan α＝－113．] 类型3 应用同角三角函数关系式化简证明 【例4】 (1)化简2sin2α-11-2cos2α＝________． (2)求证：tanαsinαtanα-sinα＝tanα+sinαtanαsinα． (1)1 [原式＝2sin2α-11-21-sin2α＝2sin2α-12sin2α-1＝1．] (2)[证明] 法一：(切化弦) 左边＝sin2αsinα-sinαcosα sinα1-cosα， 右边＝sinα+sinαcosαsin2α＝1+cosαsinα． 因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)， 所以sinα1-cosα＝1+cosαsinα，所以左边＝右边． 所以原等式成立． 法二：(由右至左) 因为右边＝tan2α-sin2αtanα-sinαtanαsinα＝tan2α-tan2αcos2αtanα-sinαtanαsinα ＝tan2α1-cos2αtanα-sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα-sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα-sinα＝左边， 所以原等式成立． 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的方法 (1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等． (3)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1． (4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想． [跟进训练] 3．(1)化简tan α1sin2α-1，其中α是第二象限角． (2)求证：1+2sinxcosxcos2x-sin2x＝1+tanx1-tanx． (1)[解] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0． 故tan α1sin2α-1＝tan α1-sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sinαcosαcosαsinα＝sinαcosα·-cosαsinα＝－1． (2)[证明] 左边＝sin2x+cos2x+2sinxcosxcos2x-sin2x＝sinx+cosx2cosx+sinxcosx-sinx ＝sinx+cosxcosx-sinx＝1+tanx1-tanx＝右边． 所以原等式成立． 1．若sin α＝－513，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) A．125 B．－125 C．512 D．－512 C [因为sin α＝－513，且α为第三象限角，所以cos α＝－1213，所以tan α＝512．] 2．已知tan α＝－12，则2sinαcosαsin2α-cos2α的值是( ) A．43 B．3 C．－43 D．－3 A [因为tan α＝－12， 所以2sinαcosαsin2α-cos2α＝2tanαtan2α-1＝2×-12-122-1＝43．故选A．] 3．tanx+1tanxcos2x等于( ) A．tanx B．sin x C．cos x D．1tanx D [原式＝sinxcosx+cosxsinx·cos2x＝sin2x+cos2xsinxcosx·cos2x ＝1sinxcosx·cos2x＝cosxsinx＝1tanx．故选D．] 4．已知sin θ＋cos θ＝22，则tan θ＋1tanθ＝________． －4 [∵sin θ＋cos θ＝22，∴(sin θ＋cos θ)2＝222， ∴1＋2sin θcos θ＝12，∴sin θcos θ＝－14， ∴tan θ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1sinθcosθ＝－4．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．sin α，cos α，tan α间存在怎样的等量关系？ [提示] sin2 α＋cos2 α＝1，tanα＝sinαcosα，sin2α＝1－cos2 α，cos2 α＝1－sin2 α，sinα＝tan αcos α，…． 2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？ [提示] 借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化． 3．常用哪些方法证明三角恒等式？ [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)左右归一． (4)比较法． (5)综合法等． 更多三角函数及关系式 除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数． 事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝x2+y2，则r>0，此时 (1)称rx为α的正割，记作sec α，即sec α＝rx； (2)称ry为α的余割，记作csc α，即csc α＝ry； (3)称xy为α的余切，记作cot α，即cot α＝xy． 由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义． 同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨． 正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即 sec α＝1cosα， csc α＝1sinα， cot α＝1tanα． 另外，由于 tan2α＋1＝sin2αcos2α＋1＝sin2α+cos2αcos2α＝1cos2α＝sec2α， 因此tan2α＋1＝sec2α． 类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α． 习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即 cosαsec α＝1， sin αcsc α＝1， tan αcot α＝1． 每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等． 你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！ 课时分层作业(四十五) 同角三角函数的基本关系 一、选择题 1．化简1-sin2160°的结果是( ) A．cos 160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° D [1-sin2160°＝cos2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°．] 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( ) A．14 B．12 C．1 D．32 C [原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1．故选C．] 3．若tanα＝2，则2sin αcos α＝( ) A．±35 B．－35 C．35 D．45 D [2sin αcos α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanαtan2α+1＝45．] 4．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( ) A．tan α＝43 B．cos α＝35 C．sin α＋cos α＝85 D．sin α－cos α＝－15 AB [∵sin α＝45，且α为锐角， ∴cos α＝1-sin2α＝1-452＝35，故B正确， ∴tan α＝sinαcosα＝4535＝43，故A正确， ∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C错误， ∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D错误． 故选AB．] 5．(多选)若α是第二象限角，则下列各式中成立的是( ) A．tan α＝－sinαcosα B．1-2sinαcosα＝sin α－cos α C．cos α＝－1-sin2α D．1+2sinαcosα＝sin α＋cos α BC [由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sinαcosα，所以A错误；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以1-2sinαcosα＝sinα-cosα2＝sin α－cos α，所以B、C正确，D错误．] 二、填空题 6．已知sinα-2cosα3sinα+5cosα＝－5，则tan α＝________． －2316 [∵sinα-2cosα3sinα+5cosα＝tanα-23tanα+5＝－5， ∴tan α－2＝－15tan α－25， ∴16tan α＝－23，即tan α＝－2316．] 7．若sin αcos α＝－18，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝________． －52 [因为sin αcos α＝－18＜0，α∈(0，π)，所以α∈π2，π，所以cos α－sin α＜0， cos α－sin α＝－1-2sinαcosα ＝－1-2×-18＝－52．] 8．已知sin θ＝m-3m+5，cos θ＝4-2mm+5，则m的值为________，tan θ＝________． 0或8 －34或－512 [因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以m-3m+52＋4-2mm+52＝1． 整理得m2－8m＝0， 解得m＝0或m＝8． 又tan θ＝sinθcosθ＝m-34-2m， 当m＝0时，tan θ＝－34； 当m＝8时，tan θ＝－512．] 三、解答题 9．已知sin θ＋cos θ＝－105，求： (1)1sinθ＋1cosθ的值； (2)tan θ的值． [解] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105， 所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310， 所以1sinθ＋1cosθ＝cosθ+sinθsinθcosθ＝2103． (2)由(1)，得sin2θ+cos2θsinθcosθ＝－103， 所以tan2θ+1tanθ＝－103， 即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13． 10．已知sin α，cos α是方程2x2－x－m＝0的两个根，则m＝( ) A．34 B．－34 B．12 D．－12 A [因为sin α，cos α是方程2x2－x－m＝0的两个根，所以由根与系数的关系得sin α＋cos α＝12，sin αcos α＝－m2． 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1－m＝14， 解得m＝34．经验证满足Δ>0．故选A．] 11．(多选)2sinx1-cos2x＋cosx1-sin2x的值可能为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 BD [令f (x)＝2sinx1-cos2x＋cosx1-sin2x＝2sinxsinx＋cosxcosx， 当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f (x)＝2＋1＝3， 当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f (x)＝2－1＝1， 当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f (x)＝－2－1＝－3， 当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f (x)＝－2＋1＝－1．] 12．(2022·湖南湘阴期末)在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值y-xr叫做α的正余混弦，记作sch α．若sch α＝15(0<α<π)，则tan α＝________． 43 [∵0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝y-xr＝yr－xr＝sin α－cos α． 则有sch α=sinα-cosα=15， cos2α+sin2α=1， sinα>0， 解得sinα=45，cosα=35， 因此，tan α＝sinαcosα＝43．] 13．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________． －105 [由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α， 将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1， 所以cos2α＝910，易知cos α<0， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010， 故sin α＋cos α＝－105．] 14．若3π2<α<2π，求证： 1-cosα1+cosα＋1+cosα1-cosα＝－2sinα． [证明] ∵3π2<α<2π，∴sin α<0． 左边＝1-cosα21+cosα1-cosα＋ 1+cosα21-cosα1+cosα ＝ 1-cosα2sin2α＋ 1+cosα2sin2α ＝1-cosαsinα＋1+cosαsinα ＝－1-cosαsinα－1+cosαsinα ＝－2sinα＝右边． ∴原等式成立． 15．(1)分别计算cos4π6－sin4π6和cos2π6－sin2π6，cosπ3的值，你有什么发现？ (2)计算cos4π4－sin4π4，cos2π4－sin2π4，cos π2的值，你有什么发现． (3)证明：∀x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x． (4)推测∀x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明． [解] (1)cos4π6－sin4π6 ＝cos2π6+sin2π6cos2π6-sin2π6 ＝cos2π6－sin2π6＝34－14＝12＝cos π3． (2)cos4π4－sin4π4 ＝cos2π4+sin2π4cos2π4-sin2π4 ＝cos2π4－sin2π4＝12－12＝0＝cos π2． (3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x． (4)推测cos2x－sin2x＝cos2x．
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