人教A版高中数学必修第一册第5章5-2-1第2课时三角函数值的符号及公式一课时学案

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第2课时　三角函数值的符号及公式一 1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理) 2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算) 从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律． 知识点1　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点2　诱导公式一 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0． (　　) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 2．求值： (1)sin 390°＝________； (2)cos (－330°)＝________； (3)tan 750°＝________． (1)12　(2)32　(3)33　[(1)sin 390°＝sin (360°＋30°)＝sin 30°＝12． (2)cos (－330°)＝cos (－360°＋30°)＝cos 30°＝32． (3)tan 750°＝tan (720°＋30°)＝tan 30°＝33．] 类型1　判断三角函数值的符号 【例1】　(源自人教B版教材)确定下列各值的符号． (1)cos 260°；(2)sin -π3；(3)tan (－672°20′)；(4)tan 10π3． [解]　(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0． (2)因为－π3是第四象限角，所以sin -π3<0． (3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角，所以tan (－672°20′)>0． (4)由10π3＝4π3＋2π，可知10π3是第三象限角，所以tan 10π3>0． 　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． [跟进训练] 1．判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos (－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5． [解]　(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0． (2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0． 类型2　三角函数值符号的应用 【例2】　(源自湘教版教材)设sin θ<0且tan θ>0，试确定θ是第几象限角． [解]　因为sin θ<0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tan θ>0，所以θ的终边在第一、三象限． 因此满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限角． 　由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [跟进训练] 2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________． (1)C　(2)－2＜a≤3　[(1)因为点P在第四象限，所以有tanα>0，cosα<0，由此可判断角α终边在第三象限．故选C． (2)因为cos α≤0，sin α＞0， 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)， 所以3a-9≤0，a+2＞0， 所以－2＜a≤3．] 类型3　诱导公式一的应用 【例3】　求值： (1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos -23π6＋tan -15π4cos 13π3． [解]　(1)原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32． (2)原式＝sin 2π+π3cos -4π+π6＋tan -4π+π4cos 4π+π3 ＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54． 　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． [跟进训练] 3．化简下列各式： (1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)； (2)sin -11π6＋cos 125π·tan 4π． [解]　(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°) ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2． (2)sin -116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin -2π+π6＋cos 25π·tan 0 ＝sin π6＋0＝12． 1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．故选B．] 2．sin (－315°)的值是(　　) A．－22　　　B．－12　　　C．22　　　D．12 C　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°)＝sin 45°＝22．故选C．] 3．(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A．sin (－100°) B．cos (－220°) C．tan 10 D．cos π ABD　[－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos (－220°)<0；10∈3π，7π2在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0．] 4．计算：sin 25π6＋cos -17π3＋tan 9π4＝________． 2　[原式＝sin 4π+π6＋cos -6π+π3＋tan 2π+π4＝sin π6＋cos π3＋tan π4＝12＋12＋1＝2．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．三角函数值的符号有何规律？ [提示]　“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？ [提示]　(1)公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋2kπ，右边的角为α． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 三角函数在单位圆中的几何表示及应用 设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图(2)，则tan α＝AT(或AT′)． 我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示． 图(1)　　　　　　　　　　图(2) 课时分层作业(四十四)　三角函数值的符号及公式一 一、选择题 1．sin (－660°)的值是(　　) A．12　　　B．－12　　　B．32　　　D．－32 C　[sin (－660°)＝sin -660°+720°＝sin 60°＝32． 故选C．] 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由－π2＜α＜0知α为第四象限角， 则tan α＜0，cos α＞0，点(tan α，cos α)在第二象限．] 3．若三角形的两内角A，B满足sin A·cos B<0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 B　[三角形内角的取值范围是(0，π)，故sin A>0．因为sin A cos B<0，所以cos B<0，所以B是钝角，故三角形是钝角三角形．] 4．有下列说法中，正确的是(　　) A．终边相同的角的同名三角函数的值相等 B．终边不同的角的同名三角函数的值不等 C．若sin α＞0，则α是第一、二象限的角 D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2+y2 A　[A正确；B错误，如sin π6＝sin 5π6； C错误，如sin π2＝1＞0； D错误，cos α＝xx2+y2．故选A．] 5．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A．sinαtanα B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α AB　[由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0．A项，sinαtanα＞0；B项，cos α－sin α＞0；C项，sin αcos α＜0；D项，sin α＋cos α符号不确定．] 二、填空题 6．cos 25π3＝________． 12　[cos 25π3＝cos 8π+π3＝cos π3＝12．] 7．点P(tan 2 025°，cos 2 025°)位于第________象限． 四　[因为2 025°＝5×360°＋225°， 所以2 025°与225°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 025°＞0，cos 2 025°＜0， 所以点P位于第四象限．] 8．比较大小(填“>”或“<”)： (1)sin 328°________0；(2)cos 5π4________0；(3)tan 6π7________0． (1)<　(2)<　(3)<　[(1)∵328°是第四象限角，∴sin 328°<0． (2)∵5π4是第三象限角，∴cos 5π4<0． (3)∵6π7是第二象限角，∴tan 6π7<0．] 三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin 72π＋cos 52π＋cos (－5π)＋tan π4； (2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2ab tan 1 125°． [解]　(1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1． (2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2ab tan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2． 10．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 AC　[由题意可知sin θ与cos θ同号，故θ在第一或第三象限，故选AC．] 11．式子sin 1·cos 2·tan 4的值为(　　) A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 B　[∵1，2，4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，∴sin 1·cos 2·tan 4<0．] 12．(多选)cosxcosx＋tanxtanx＝(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．－2 ACD　[已知函数的定义域为x∈Rx≠kπ2，k∈Z，所以角x的终边不能落在坐标轴上． 当x是第一象限角时，cos x＞0，tan x＞0，y＝cosxcosx＋tanxtanx＝1＋1＝2； 当x是第二象限角时，cos x＜0，tan x＜0，y＝-cosxcosx＋tanx-tanx＝－1－1＝－2； 当x是第三象限角时，cos x＜0，tan x＞0，y＝-cosxcosx＋tanxtanx＝－1＋1＝0； 当x是第四象限角时，cos x＞0，tan x＜0，y＝cosxcosx＋tanx-tanx＝1－1＝0． 综上知原函数的值域是{－2，0，2}．故选ACD．] 13．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． 四　[角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角， ∵sinα2＝－sin α2， ∴角α2是第四象限角．] 14．判断下列各式的符号： (1)sin αcos α(其中α是第三象限角)； (2)sin 385°cos (－105°)tan 225°； (3)sin 1cos 2tan -23π4． [解]　(1)因为α是第三象限角， 所以sin α<0，cos α<0，所以sin αcos α>0． (2)因为385°是第一象限角，所以sin 385°>0，因为－105°是第三象限角，所以cos (－105°)<0，因为225°是第三象限角， 所以tan 225°>0， 所以sin 385°cos (－105°)tan 225°<0． (3)因为0＜1＜π2，π2＜2＜π， 所以sin 1>0，cos 2<0． 因为－23π4＝－6π＋π4， 所以tan -23π4>0， 所以sin 1cos 2tan -23π4<0． 15．已知角α满足sin α<0，且tan α>0． (1)求角α的集合； (2)试判断sin α2·cos α2·tan α2的符号． [解]　(1)由sin α<0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上．又tan α>0，所以角α的终边在第三象限， 故角α的集合为α2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z． (2)由2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，k∈Z， 得kπ＋π2<α20，cos α2<0，tan α2<0， 所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正； 当k＝2m＋1，m∈Z时，角α2的终边在第四象限， 此时sin α2<0，cos α2>0，tan α2<0， 所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正． 因此，sin α2·cos α2·tan α2的符号为正．