人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-1正弦函数、余弦函数的图象课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-1正弦函数、余弦函数的图象课时学案，共15页。

5.4　三角函数的图象与性质 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．(直观想象) 2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．(直观想象) 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？ 知识点　正弦函数、余弦函数的图象 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展． (　　) (2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同． (　　) (3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称． (　　) (4)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称． (　　) (5)将余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移π2个单位长度即可得到正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 类型1　正弦(余弦)函数图象的初步认识 【例1】　下列叙述中正确的个数是(　　) ①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 D　[分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．故选D．] 　正、余弦曲线的对称性 提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1． [跟进训练] 1．(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是(　　) A．都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．y＝sin (－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 BCD　[由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．] 类型2　用“五点法”作三角函数的图象 【例2】　用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)． [解]　(1)①取值列表如下： ②描点连线，如图所示． (2)①取值列表如下： ②描点连线，如图所示． 　作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 [跟进训练] 2．用“五点法”画出函数y＝12＋sin x，x∈[0，2π]的图象． [解]　取值列表如下： 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图) 类型3　正弦(余弦)函数图象的应用 【例3】　利用正弦函数的图象，求满足sin x≥12，x∈[0，2π]的x的集合． 思路导引：作出直线y＝12及函数y＝sinx，x∈0，2π的图象 直观想象 得出sinx≥12的解集 [解]　在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝12的图象，如图， 由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12． 根据图象可知，sin x≥12的解集为π6，5π6． [母题探究] 1．在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集． [解]　在x∈[0，2π]上的解集为π6，5π6． 所以x∈R时，不等式的解集为xπ6+2kπ≤x≤5π6+2kπ，k∈Z． 2．求不等式cos x≤12，x∈R的解集． [解]　作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π3+2kπ，5π3+2kπ，k∈Z． 　利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的3个步骤 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集． 提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集． [跟进训练] 3．利用正弦曲线，求满足12sin x成立的是(　　) A．0，π4 B．π4，5π4 C．5π4，2π D．π4，π2∪π，5π4 AC　[在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图， 在(0，2π)上，当cos x＝sin x时，x＝π4或x＝5π4，结合图象可知满足cos x>sin x的是0，π4和5π4，2π．] 二、填空题 6．函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－12的交点有________个． 2　[由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－12有两个交点．] 7．函数y＝－cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为________． (π，1)　[函数y＝－cos x(x≥0)的图象如图所示： 则图象中与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．] 8．在[0，2π]内，不等式sin x<－32的解集为________． 4π3，5π3　[由图可知，当x∈4π3，5π3时，不等式sin x<－32成立． ] 三、解答题 9．用“五点法”作下列函数的简图． (1)y＝2sin x(x∈[0，2π])； (2)y＝sin x-π2x∈π2，5π2． [解]　(1)列表如下： 描点连线如图： (2)列表如下： 描点连线如图： 10．方程sin x＝x10的根的个数是(　　) A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10 A　[在同一坐标系内画出y＝x10和y＝sin x的图象如图所示： 根据图象可知方程有7个根．故选A．] 11．如图所示，函数y＝cos x·|tan x|0≤x＜3π2且x≠π2的图象是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D C　[当0≤x＜π2时，y＝cos x·|tan x|＝sin x； 当π2＜x≤π时，y＝cos x·|tan x|＝－sin x； 当π＜x＜3π2时，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其图象为C．] 12．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________． 2　0　[作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0．] 13．函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 4π　[如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π． ] 14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y>1；②y<1． (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． [解]　列表如下： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图： (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1． (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1