数学必修 第一册4.3 对数学案

这是一份数学必修 第一册4.3 对数学案，共12页。

1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(数学抽象)
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(数学运算)
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…．
问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1 对数的概念
(1)对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)两种特殊的对数：
①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lg N；
②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为ln N(其中e＝2.718 28…)．
对数运算是指数运算的逆运算
1．x＝lgaN中为什么规定N>0?
[提示] x＝lgaN是由ax＝N(a>0，且a≠1)变形而来的，由于正数的任意次幂都是正数，即ax＝N>0，所以要规定N>0．
2．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量有何异同？
[提示]
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)lga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
填空：
(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；
(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．
[答案] (1)1 (2)1 (3)0 (4)0
类型1 对数的定义及其应用
【例1】 (1)在对数式y＝lg(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式：
①2-7＝1128；②lg12 32＝－5；③lg 1 000＝3；④ln x＝2．
(1)(2，3)∪(3，4) [由题意可知4-x>0，x-2>0，x-2≠1，
解得2(2)[解] ①由2-7＝1128，可得lg21128＝－7．
②由lg12 32＝－5，可得12-5＝32．
③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000．
④由ln x＝2，可得e2＝x．
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)12m＝n；(4)lg 10 000＝4．
[解] (1)因为43＝64，所以lg464＝3．
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a．
(3)因为12m＝n，所以lg12n＝m．
(4)因为lg 10 000＝4，所以104＝10 000．
类型2 利用指数式与对数式的关系求值
【例2】 求下列各式中的x的值：
(1)lg64x＝－23；(2)lgx 8＝6；
(3)lg 100＝x；(4)－ln e2＝x．
[解] (1)x＝64-23＝(43)-23＝4-2＝116．
(2)x6＝8，所以x＝(x6)16＝816＝(23)16＝212＝2．
(3)10x＝100＝102，于是x＝2．
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2．
求对数式lgaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设lgaN＝m．
(2)将lgaN＝m写成指数式am＝N．
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即lgaN＝b．
[跟进训练]
2．计算：(1)lg9 27；(2)lg4381；(3)lg354625．
[解] (1)设x＝lg9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝32．
(2)设x＝lg4381，则(43)x＝81，3x4＝34，∴x＝16．
(3)令x＝lg354625，∴(354)x＝625，54x3＝54，∴x＝3．
类型3 对数相关性质及恒等式的应用
对数相关性质的应用
【例3】 求下列各式中的x的值．
(1)lg2(lg5x)＝0；
(2)lg3(lg x)＝1；
(3)ln (lg3x)＝1．
[解] (1)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝1，∴x＝5．
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103．
(3)由ln (lg3x)＝1得lg3x＝e，∴x＝3e．
对数恒等式的应用
【例4】 (1)设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10B．13
C．100D．±100
(2)若x＝71－lg75，则x＝________．
(1)B (2)75 [1法一：由5lg52x-1＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B．
法二：由5lg5(2x－1)＝52得lg5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B．
(2)x＝71－lg75＝77lg75＝75．]

1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值，解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．
2．性质algaN＝N与lgaab＝b的作用
(1)algaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)lgaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．(源自湘教版教材)求下列各式的值：
(1)lg212；
(2)lg0.61；
(3)2lg23－2；
(4)2lg2(3＋2)．
[解] (1)lg212＝lg22-1＝－1；
(2)lg0.61＝＝0；
(3)2lg23－2＝2lg23·2-2＝2lg2322＝34；
(4)2lg2(3＋2)＝2lg25＝5．
1．下列选项中，可以求对数的是( )
A．0 B．－5 C．π D．－x2
C [根据对数的定义，得0和负数没有对数，所以选项A，B不可以求对数，又－x2≤0，所以选项D没有对数，因为π>0，所以选项C可以求对数．]
2．lg3 181＝( )
A．4 B．－4 C．14 D．－14
B [令lg3181＝t，则3t＝181＝3-4，∴t＝－4．故选B．]
3．已知lgx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4 C．256 D．2
A [由lgx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
又x>0，且x≠1，∴x＝4．]
4．计算：2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________．
0 [原式＝3＋0－3＋0＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
[提示] ab＝N⇔lgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．
2．若方程lgaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程lgafx＝1呢？(其中a>0，且a≠1)
[提示] 若lgaf (x)＝0，则f (x)＝1；
若lgaf (x)＝1，则f (x)＝a．
3．下列等式成立吗？
(1)lgaab＝b；(2)algaN＝N(其中a>0，且a≠1，N>0)．
[提示] 均成立．
课时分层作业(三十一) 对数的概念
一、选择题
1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27-13＝13与lg2713＝－13
C．lg39＝2与912＝3
D．lg55＝1与51＝5
ABD [C错误，由lg39＝2可得32＝9．故选ABD．]
2．(2022·江苏省南通中学月考)已知对数式lga+124-a有意义，则a的取值范围为( )
A．(－1，4)B．(－1，0)∪(0，4)
C．(－4，0)∪(0，1)D．(－4，1)
B [由lg(a＋1)24-a有意义可知a+1>0a+1≠124-a>0 ，解得－1所以a的取值范围为(－1，0)∪(0，4)．故选B．]
3．(多选)下列各式正确的有( )
A．lg (lg 10)＝0
B．lg (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10
D．若lg25x＝12，则x＝±5
AB [对于A，∵lg (lg 10)＝lg 1＝0，∴A正确；
对于B，∵lg (ln e)＝lg 1＝0，∴B正确；
对于C，∵10＝lg x，∴x＝1010，C错误；
对于D，∵lg25x＝12，∴x＝2512＝5．故选AB．]
4．方程2lg3x＝14的解是( )
A．9 B．33 C．3 D．19
D [∵2lg3x＝14＝2-2，∴lg3x＝－2，∴x＝3-2＝19．故选D．]
5．lg5(lg3(lg2x))＝0，则x-12等于( )
A．36 B．39 C．24 D．23
C [∵lg5(lg3(lg2x))＝0，∴lg3(lg2x)＝1，
∴lg2x＝3，∴x＝23＝8，
∴x-12 ＝8-12＝18＝122＝24．故选C．]
二、填空题
6．若a＝lg23，则2a＋2－a＝________．
103 [∵a＝lg23，∴2a＝2lg23＝3，
∴2a＋2－a＝2a＋12a＝3＋13＝103．]
7．lg33＋3lg32＝________．
3 [lg33＋3lg32＝1＋2＝3．]
8．已知lg12x＝3，则x13＝________．
12 [∵lg12x＝3，∴x＝123，
∴x13＝12313＝12．]
三、解答题
9．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝32；(2)lg2x＝－23；(3)x＝lg2719；(4)x＝lg1216．
[解] (1)由lgx27＝32，可得x32＝27，
∴x＝2723＝(33)32＝32＝9．
(2)由lg2x＝－23，可得x＝2-23，
∴x＝1223 ＝314＝322．
(3)由x＝lg2719，可得27x＝19，
∴33x＝3-2，∴x＝－23．
(4)由x＝lg1216，可得12x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4．
10．(2022·浙江高考)已知2a＝5，lg83＝b，则4a-3b＝( )
A．25 B．5 C．259 D．53
C [2a＝5，8b＝3，2a-3b＝2a23b＝2a8b＝53，4a-3b＝(2a-3b)2＝259，故选C．]
11．设a＝lg310，b＝lg37，则3a－b的值为( )
A．107 B．710 C．1049 D．4910
A [3a－b＝3a÷3b＝3lg310÷3lg37＝10÷7＝107．]
12．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
C [由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10-110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．故选C．]
13．计算23＋lg23＋32－lg39＝________．
25 [23+lg23+32-lg39＝23×2lg23+323lg39＝8×3＋99＝25．]
14．大气压强p＝压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa，1 Pa＝1 N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126 m-1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，且p1p2＝12，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为多少m．(参考数据：ln 2≈0.693)
[解] 设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，
则p1p2＝p0e-kh1p0e-kh2＝e-kh1-h2＝12，
所以－k(h1－h2)＝ln 12＝－ln 2，所以h1－h2≈ 126＝5 500(m)．
即A1，A2两处的海拔高度的差约为5 500 m．
15．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．求[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 024]的值．
[解] 根据定义，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝…＝[lg 9]＝0；
[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝…＝[lg 99]＝1；
[lg 100]＝[lg 101]＝[lg 102]＝…＝[lg 999]＝2；
[lg 1 000]＝[lg 1 001]＝[lg 1 002]＝…＝[lg 2 024]＝3．
所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 024]＝1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 024－999)＝90＋2×900＋3×1 025＝4 965．
类别
表达式
名称
a
x
N
指数式
ax＝N
底数
指数
幂值
对数式
x＝lgaN
底数
对数
真数