人教A版高中数学必修第一册第1章1-4-2充要条件课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第1章1-4-2充要条件课时学案，共16页。

1.4.2　充要条件 1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(数学抽象) 2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(数学运算) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(逻辑推理) 老赵邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老赵说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老赵愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？ 知识点　充要条件 (1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p； ②充分不必要条件，即p⇒q且qp． ③必要不充分条件，即pq且q⇒p． ④既不充分也不必要条件，即pq且qp． “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________． (2)“x<5”是“x<3”的________． (1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．] 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：a＞b；q：ac＞bc． [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q” 以及“若q，则p” 的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也具有传递性． [跟进训练] 1．(1)设p：实数a，b满足a>1且b>1；q：实数a，b满足a+b>2，ab>1， 则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2022·广东揭阳期末)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D (1)A　(2)BD　[(1)因为a>1且b>1，所以a+b>2，ab>1， 即p⇒q成立； 反之，若a，b满足a+b>2，ab>1， 如a＝3，b＝12，但不满足 a>1且b>1，即q⇒p不成立， 所以p是q的充分不必要条件．故选A． (2)由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件； B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件； C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件； D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．] 类型2　充要条件的证明 【例2】　已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0． 注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)． [证明]　先证必要性成立： 若a＋b＝1， 则a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝1·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝0． 再证充分性成立： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0． 由ab≠0, 得a≠0且b≠0． ∴a2－ab＋b2＝a-b22＋3b24≠0． ∴只有a＋b－1＝0, 即有a＋b＝1． 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0． 　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． [跟进训练] 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0． 证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0． 证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b． ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0． 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0． ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 类型3　充要条件的应用 【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 思路导引：p是q的必要不充分条件　逻辑推理　{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有1-m≥-2，1+m<10，或1-m>-2，1+m≤10，解得m≤3． 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|00)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB． 所以1-m≤-2，1+m>10　或1-m<-2，1+m≥10． 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． [跟进训练] 3．从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|a)≤x≤a＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值范围；若a不存在，请说明理由． 已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解]　由题意知，A≠∅，B＝{x|1≤x≤3}． 当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a-1≥1，a<3 或a-1>1，a≤3， 解得2≤a≤3． 所以实数a的取值范围是2≤a≤3． 当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a≥1， a+2<3或a>1， a+2≤3，无解． 故不存在a满足题意． 当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，即a≥1， a+3<3或a>1，　　a+3≤3，该不等式组无解， 故不存在a满足题意． 综上可知，a的取值范围为{a|2≤a≤3}． 1．“x∈Q”是“x∈N”的(　　) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分条件，故选A．] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．] 3．若“x0， 即a+b22>ab，若a+b22>ab， 即a+b22－ab＝a2+b2-2ab4＝a-b24>0， 则a－b>0或a－b<0， 所以若a，b∈R，则“aab”的充分不必要条件．故选A．] 2．(2022·山东高密三中月考)若“－13”的必要不充分条件可以是(　　) A．x>0 B．x≥2 C．x≥3 D．x>5 ABC　[由x>3，可得构成集合M＝{x|x>3}，结合选项可得集合{x|x>0}，{x|x≥2}，{x|x≥3}，可知集合M是以上三个集合中任意一个集合的真子集，所以x>0，x≥2，x≥3都是x>3的必要不充分条件．故选ABC．] 5．(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C．A∩B≠B是B⊆A的必要不充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 AD　[选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件，故选项A为真命题；选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题．选项C：A＝{1，2，3}，B＝{0，2，3}，满足A∩B≠B，但B⊆A不成立．当B⊆A成立时，则A∩B＝B，所以A∩B≠B不成立．所以A∩B≠B是B⊆A的既不充分也不必要条件，故选项C为假命题．选项D：当x＝1，y＝2时，满足“x或y为有理数”，但“xy为有理数”不成立；当x＝y＝2时满足“xy为有理数”，但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题．故选AD．] 二、填空题 6．写出x>1的一个必要不充分条件________． x>0(答案不唯一)　[设p：x>1，欲求的条件为q， 根据必要不充分条件的定义，由p⇒q成立，而qp，因此x>a，只要a<1，都能作为条件q，不妨取a＝0，得x>1⇒x>0；反之，不成立．] 7．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________． [答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等 8．“a<14”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件． 充分不必要　[若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤14，又“a<14”能推出“a≤14”，但“a≤14”不能推出“a<14”， 即“a<14”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．] 三、解答题 9．已知集合M＝{x|－1＜x＜4}，N＝{x|x－a＞0}． (1)当a＝1时，求M∩N，M∪N； (2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为a＝1，所以N＝{x|x＞1}， 所以M∩N＝{x|1＜x＜4}， M∪N＝{x|x＞－1}． (2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件， 则有MN， 因为N＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}． ∴a≤－1． 10．(2022·山东省青岛第五十八中学月考)ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a<0，则其充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，又{a│a<－1}{a|a<0}，故C正确．故选C．] 11．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件． 故选BCD．] 12．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件．(将正确的序号填在横线上) ①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件． ①　[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．] 13．已知p：x－3＜0，q：2x－3＜m． (1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________； (2)若p是q的必要条件，则实数m的取值范围为________． (1){m|m＞3}　(2){m|m≤3}　[由x－3＜0，得x＜3；由2x－3＜m，得x＜12(m＋3)． (1)若p是q的充分不必要条件，则{x|x＜3}xx＜12m+3， ∴12(m＋3)＞3，解得m＞3． (2)若p是q的必要条件，则xx＜12m+3⊆{x|x＜3}， ∴12(m＋3)≤3，解得m≤3．] 14．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0． [证明]　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，所以等式成立． 当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0． 当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， 所以等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)， 所以等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0． 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 15．在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ [解]　由题意知A＝{x|0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}． 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得00，方程组无解， 所以不存在满足条件的a． 条件p与结论q的关系结论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件