人教A版高中数学必修第一册第1章探究课1集合中的元素个数与容斥原理课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第1章探究课1集合中的元素个数与容斥原理课时学案，共4页。

　集合中的元素个数与容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理． (1)两个集合的容斥原理 用card(A)表示有限集合中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card(A)＝3．一般地，对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 如图所示： (2)三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B) ＋card(C)－card(A∩B) －card(A∩C) －card(B∩C) ＋card(A∩B∩C )． 如图所示： 【典例】　(1)某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．问接受调查的小学生共有________人． (2)(2022·广东汕头月考)已知非空集合A，B同时满足以下四个条件： ①A∪B＝{1，2，3，4，5}；②A∩B＝∅；③card(A)∉A；④card(B)∉B． 注：其中card(A)，card(B)分别表示A，B中元素的个数． ①如果集合A中只有一个元素，那么A＝________； ②如果集合A中有3个元素，则有序集合对(A，B)的个数是________． (1)120　(2){4}　3　[(1)如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24， 不妨设总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24， x＋y＋z＝46，由容斥原理： n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24， 解得n＝120． (2)如果集合A中只有一个元素，则card(A)＝1，由③card(A)∉A得：1∉A，④card(B)∉B，可得4∉B，即4∈A，可得，A＝{4}． 如果集合A中有3个元素，则3∉A，可得A＝{1，2，4}，{1，2，5}，{1，4，5}，{2，4，5}，由A∪B＝{1，2，3，4，5}，可得B中至少含2个元素，且A∩B＝∅，可得B为二元集，card(B)∉B，可得2∉B，可得B＝{3，5}，{3，4}，{1，3}．则A＝{1，2，4}，B＝{3，5}；或A＝{1，2，5}，B＝{3，4}；或A＝{2，4，5}，B＝{1，3}．] 1．(多选)(2022·河北保定月考)某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则(　　) A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有8人 C．仅参加跑步比赛的有7人 D．同时参加两项比赛的有10人 ACD　[设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出Venn图，如图， 则13－x＋3＋2＋x＋3＋11－x＝28，解得x＝4，故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为13－4＝9，故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为11－4＝7，故C正确； 同时参加两项比赛的人数为3＋3＋4＝10，故D正确．故选ACD．] 2．(2022·湖北鄂州月考)某班参加数学、物理、化学竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7名，只参加数学、物理两科的有5名，只参加物理、化学两科的有3名，只参加数学、化学两科的有4名，若该班共有50名学生，则只参加数学竞赛的学生有________名；没有参加任何一科竞赛的学生有________名． 8　5　[作出Venn图，设A，B，C分别代表参加数学、物理、化学的人，U表示该班总人数． 由题意可得：card(U)＝50，card(A)＝24，card(B)＝28，card(C)＝19，card(A∩B∩C)＝7，card(A∩B)＝5，card(B∩C)＝3，card(A∩C)＝4， 所以只参加数学竞赛的学生有：24－5－7－4＝8人， 只参加物理竞赛的学生有：28－5－7－3＝13人， 只参加化学竞赛的学生有：19－4－7－3＝5人， 没有参加任何一科竞赛的学生有：50－24－13－3－5＝5人．]