2023-2024学年度高一暑假预习讲义第11讲：函数的奇偶性(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：函数奇偶性
模块2：函数奇偶性的判断
模块3：函数奇偶性的应用
模块4：函数单调性与奇偶性综合
【重要考点讲解】
模块1：函数奇偶性
【知识精讲】
1．函数奇偶性定义：
（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数．
（2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数
就叫做奇函数．
2．函数奇偶性图象特征：
（1）偶函数的图象特征：是偶函数它的图象关于轴对称．
（2）奇函数的图象特征：是奇函数它的图象关于原点轴对称．
3．函数奇偶性的等价形式：
（1）奇函数：若，则为奇函数．
（2）偶函数：若，则·为偶函数．
【夯实基础】
题型1：对函数奇偶性的理解
例题1．（1）下列说法不正确的是
A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点
B．偶函数的图象关于轴对称，但不一定和轴相交
C．若偶函数的图象与轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，，则
D．若奇函数的图象与轴相交，交点不一定是原点
（2）下列结论中正确的是
A．偶函数的图象一定与轴相交
B．奇函数在处有定义，则
C．定义域为的增函数一定是奇函数
D．图象过原点的单调函数，一定是奇函数
模块2：函数奇偶性的判断
【知识精讲】
方法和策略：
①定义法：
②图象法：
③性质法：，，，，
【夯实基础】
题型2：判断函数的奇偶性
例题2．判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2）；
（3）．
（4）；
（5）
（6）；
（7）．
（8）
（9）．
【能力提升】
例题3．（1）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
（2）已知对任意实数，都成立，则函数是
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．不能判断奇偶性
模块3：函数奇偶性的应用
【知识精讲】
；
【夯实基础】
题型3：由函数奇偶性求函数值或者求参数
例题4．（1）（2022秋•南宁三中12月份月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2） ．
（2）已知函数是奇函数，当时，，若（2），则
A．B．C．D．
（3）已知函数是偶函数，且（1），则
A．B．0C．2D．4
例题5．（1）已知函数为奇函数，则实数 ．
（2）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）
A．1B．3C．D．
（3）已知函数是奇函数，则 ．
（4）已知，，是偶函数，则
A．1B．2C．3D．4
例题6．（1）若函数是偶函数，则（1） ．
（2）已知函数，若是奇函数，且（1），则
A．B．C．D．
（3）已知，且，则（2）
A．B．C．1D．2
（4）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ．
题型4：由函数奇偶性求函数解析式
例题7．（1）已知函数为偶函数，且当时，，则当时，的解析式 ．
（2）已知为奇函数，当时，；当时，的解析式为 ．
（3）已知函数是上的奇函数，当时，，则的解析式为 ．
【能力提升】
例题8．（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，则下列说法正确的是
A．函数为奇函数
B．当时，在上单调递增
C．若方程有实根，则，
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，，2，，，则的值为4044
模块4：函数单调性与奇偶性综合
【知识精讲】
根据函数的单调性和奇偶性，画出函数图象的示意图，结合函数图象分析问题．
【夯实基础】
题型4：由函数单调性和奇偶性解含“”的不等式
例题9．（1）已知偶函数在区间，上单调递增，则满足（3）的实数的取值范围是 ．
（2）已知奇函数在区间，单调递增，则满足（1）的取值范围是 ．
（3）（2020秋•南宁二中期中）已知函数为上的奇函数且单调递增，若，则的取值范围是
A．B．C．，D．，
（4）（2019秋•南宁三中月考）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
（5）（多选）（2022秋•南宁二中12月份月考）已知函数在上单调递增，且为奇函数，若（1），则满足的的取值可以是
A．1B．2C．3D．4
【能力提升】
例题10．（1）设定义在上的奇函数满足，对任意，，且都有，且（3），则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
（2）（2022秋•南宁二中期中）已知定义在上的偶函数，在，上为减函数，且（3），则不等式的解集是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【高考真题体验】
1．（2021•乙卷）设函数，则下列函数中为奇函数的是
A．B．C．D．
2．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
3．（2019•新课标Ⅱ）设为奇函数，且当时，，则当时，
A．B．C．D．
4．（2017•新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（2） ．
第11讲：函数的奇偶性课后巩固
模块1：函数奇偶性课后演练
1．有下列命题：①偶函数的图象一定与轴相交；
②奇函数的图象一定经过原点；
③定义在上的奇函数必满足；
④当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数．
其中正确的命题有 ．
模块2：函数奇偶性的判断课后演练
2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为
A．B．C．D．
3．下列判断正确的是
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数
D．函数既是奇函数又是偶函数
4．若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是
A．B．
C．D．
模块3：函数奇偶性的应用课后演练
5．函数为定义在上的奇函数，当时，，则 ．
6．是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则（2）的值是
A．B．C．D．
7．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是
A．B．C．D．
8．若函数为奇函数，则
A．0B．1C．2D．3
9．已知函数是偶函数，则
A．，B．，C．，D．，
10．函数，其中、、是常数，且，则 ．
11．若，都是奇函数，在上有最大值6，则在上有
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
12．定义在上的函数，如果有，则的取值范围为
A．B．C．D．
13．已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为 ．
14．设函数为定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 ．
15．已知是偶函数，时，，求时，的解析式为 ．
模块4：函数单调性与奇偶性综合课后演练
16．若定义在上的偶函数在区间，上单调递增，且（3），则满足的的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
17．若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
18．已知函数是定义在，上的奇函数，且．
（1）求实数，的值；
（2）判断在，上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【思维拓展训练】
1．已知函数满足如下条件：
①对任意，；②（1）；③对任意，，总有．
（1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；
（2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增；
（3）（ⅰ）证明：对任意的，，其中；
（ⅱ）证明：对任意的，，都有．