2023-2024学年度高一暑假预习讲义第12讲：指数运算与指数函数和幂函数(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：指数运算
模块2：指数函数的概念、图象与性质
模块3：幂函数
模块4：幂的大小比较
【重要考点讲解】
模块1：指数运算
【知识精讲】
1．整数指数幂：
（1），，，（，都是正整数）；
（2）；；（，都是正整数）．
2．根式：
（1）次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且．
（2）次方根的性质：①正数的偶次方根有两个且互为相反数，分别表示为，，负数没有偶次方根；
②正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为．
（3）根式的定义与性质：
①定义：式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．
②性质（其中，且）
（ⅰ）；
（ⅱ）当为奇数时，；当为偶数时，．
3．分数指数幂：
（1）正数的正分数指数幂：；
（2）负数的正分数指数幂：．
4．无理数指数幂及实数指数幂
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （，为无理数）是一个确定的实数．这样我们就将指数幂 中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数．
（2）实数指数幂的运算法则：
① ；② ；③ ．
【夯实基础】
题型1：指数运算
例题1．化简：（1） ；
（2） ．
例题2．（1）已知，，则 ；
（2）已知，则 ．
例题3．用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）．
（1）；
（2）；
（3）．
例题4．计算下列各式（式中字母均是正数）
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【能力提升】
例题5．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
模块2：指数函数的概念、图象与性质
【知识精讲】
1．指数函数的定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数称为自变量，定义域为．
指数函数的解析式结构特征：
①的系数是1；②底数是大于0且不等于1的常数．
2．指数函数的图象与性质：
3．对于底数对指数函数图象的影响
①当时，值越大，图象向上越靠近轴，递增速度越快；当时，值越小，图象向下越靠近轴，递减速度越快；
②底数对函数（且）图象的影响如图．在第一象限具有“底大图高”的特征．
③当，且时，函数与函数的图象关于轴对称．
【夯实基础】
题型2：指数函数的定义
例题6．（1）下列函数不是指数函数的是
A．B．C．D．
（2）函数是指数函数，则的值为 ．
题型3：指数函数的图象
例题7．（1）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
（2）函数与且在同一坐标系中的图像可能是
A．B．
C．D．
（3）要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
题型4：指数函数所过定点
例题8．（1）函数的图像过定点，则点的坐标是 ．
（2）函数且过定点 ．
题型5：与指数函数有关的复合函数的值域和定义域
例题9．（1）函数的定义域为 ．
（2）函数的定义域是 ．
（3）（2022秋•南宁三中12月份月考）已知，当，时，其值域是 ．
（4）函数的值域是
A．B．C．，D．，
（5）当时，函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
题型6：与指数函数有关的复合函数的单调区间
例题10．（1）（2020秋•南宁三中期中）函数的单调递增区间是
A．B．C．D．
（2）函数的单调递增区间为 ．
题型7：与指数函数有关的复合函数的奇偶性
例题11．（1）已知函数，则
A．是偶函数，且在上是增函数B．是奇函数，且在上是增函数
C．是偶函数，且在上是减函数D．是奇函数，且在上是减函数
（2）已知函数是定义在实数集上的奇函数， ．
【能力提升】
例题12．函数在，上的最大值为13，则实数的值为 ．
例题13．（2021秋•南宁二中12月份月考）已知函数为奇函数．
（1）求的值，并判断函数的单调性；
（2）若，，求实数的取值范围．
模块3：幂函数
【知识精讲】
1．幂函数的定义：
一般地，函数（且）叫做幂函数，其中称为自变量，是常数．
幂函数的解析式结构特征：
①的系数是1；②的底数是自变量；③的指数为常数．
2．幂函数的图象与性质
（1）五个常见幂函数的图象
当分别为，，，，时，幂函数图象如下图：
（2）幂函数的性质
①所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
③如果，则幂函数在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．
④幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限．
【典例精讲】
题型8：幂函数综合
例题14．（1）若幂函数的图象过点，则（4）的值为
A．B．C．2D．
（2）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 ．
例题15．已知函数为幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）令，求的值域．
模块4：幂的大小比较
【知识精讲】
方法和策略：
①化同：（ⅰ）将指数式化为底数相同的形式，利用指数函数单调性进行比较；
（ⅱ）将指数式化为指数相同的形式，利用底数对指数函数的影响来比较大小，也可以借助幂函数的单调性进行比较；
②中间值法：当指数式底数和指数各不相同时，需要借助中间值“0”和“1”作比较；
③比较法：（ⅰ）作差比较法
应用范围：当欲证的不等式两端是多项式，分式或对数式式，常用此法．
方法：；；．
步骤：作差变形（通分、因式分解、配方等）判断（各因式的符号）结论．
（ⅱ）作商比较法
应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时，常用此法．
方法：；，．
步骤：作商变形判断结论．
【夯实基础】
题型9：幂的大小比较
例题15．（1）设，则它们的大小关系为 ．
（2），，，则，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
（3）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
（4）设，，，则，，的大小关系为 ．
（5）已知，，，则，，的大小关系为 ．
【能力提升】
例题16．若实数，满足，则
A．B．C．D．
【高考真题体验】
1．（2017•北京）已知函数，则
A．是奇函数，且在上是增函数B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上是减函数
2．（2017•新课标Ⅰ）设、、为正数，且，则
A．B．C．D．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知，，，则
A．B．C．D．
4．（2015•山东）设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
第12讲：指数运算与指数函数和幂函数课后巩固
模块1：指数运算课后演练
1．用分数指数幂表示下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知，化简 ．
3．化简： ．
4．设是非零实数，已知，则
A．B．C．1D．3
模块2：指数函数的概念、图象与性质课后演练
5．若函数是指数函数，则实数 ．
6．（2020秋•南宁三中期中）函数恒过定点，则点的坐标为
A．B．C．D．或
7．（2019秋•南宁三中期中）已知函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．函数的图像如图所示，其中、为常数，则下列结论正确的是
A．，B．，C．，D．，
9．（2020秋•南宁三中期中）函数的定义域是
A．，B．，C．，D．，
10．函数的定义域为 ，值域为 ．
11．函数的单调递减区间是 ．
12．已知函数为奇函数，则常数 ．
13．（多选）（2022秋•南宁三中12月份月考）关于函数，下列结论中正确的是
A．当时，是增函数
B．当时，的值域为
C．当时，是奇函数
D．若的定义域为，则
模块3：幂函数课后演练
14．（2020秋•南宁二中期中）已知幂函数在上为增函数，则值为 ．
15．若幂函数的图像经过点，则函数的最小值为
A．B．C．6D．
模块4：幂的大小比较课后演练
16．设，，，，则，，，的大小关系为
A．B．C．D．
17．若，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
18．已知实数、满足，则
A．B．
C．D．、大小不确定
19．（2022秋•南宁二中12月份月考）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并加以证明；
（2）解关于的不等式．
【思维拓展训练】
1．设函数是定义上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，求在，上的最小值，并指出取得最小值时的的值．
图像
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是减函数
在上是增函数
函数值变化范围
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，