2023-2024学年度高一暑假预习讲义第7讲：等式与不等式(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：等式性质与不等式的性质
模块2：比较大小的方法
模块3：利用不等式性质求代数式的取值范围
【重要考点讲解】
模块1：等式性质与不等式的性质
【知识精讲】
1．等式的基本性质：
性质1（对称性）：如果，那么．
性质2（传递性）：如果，，那么．
性质3（同加（减）性）：如果，那么．
性质4（同乘性）：如果，．
性质5（同除性）：如果，，那么．
2．不等式的基本性质：
3．不等式的其他性质：
（1）倒数性质：①；②．
（2）分数性质：若，则
①真分数性质：；．
②假分数性质：；．
【夯实基础】
题型1：利用不等式性质判定不等式是否成立
例题1．对于实数，，，判断下列命题的真假．
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，，则，．
【解答】解：对于：对于（1）若，当时，则，故（1）为假命题；
对于（2）若，则，故（2）为真命题；
对于（3）若，所以，，则，故（3）为真命题；
对于（4）若，则，故（4）为真命题；
对于（5）若，，，则一定成立，故（5）为真命题；
对于（6）若，所以，由于，所以，所以和同号即可，故（6）为假命题．
例题2．（1）（多选）（2022秋•南宁二中期中）对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【解答】解：．不一定成立；
．由，则，可得：．
．不一定成立，例如，．
．，，即，则，成立．
故选：．
（2）（多选）（2021秋•南宁二中12月份月考）下列四个命题中，正确的是
A．若，，则B．若，且，则
C．若，，则D．若，则
【解答】解：对于，令，，，，满足，，则，故错误，
对于，，
，
，
，
，故正确，
对于，，，
，
，故正确，
对于，，
，即，故错误．
故选：．
（3）（多选）（2022秋•南宁三中期末）若，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：对于，，
，即，故错误，
对于，，
，故正确，
对于，，
，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，满足，但，故错误．
故选：．
（4）（多选）（2021秋•南宁三中10月份月考）若，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：由，可得，故正确；
由，可得，所以，故错误；
若，则，故错误；
由，可得，所以，所以，故正确．
故选：．
（5）（2021秋•南宁三中12月份月考）不等式基本性质，已知，，若，，，则下列不等式不正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，，，，且，故正确，
对于，，，，，，故正确，
对于，，，，，故正确，
对于，，，，，，故错误，
故选：．
模块2：比较大小的方法
【知识精讲】
【夯实基础】
题型2：比较数（式）的大小
例题3．证明下列不等式：
（1）已知，，求证；
（2）；
（3）．
【解答】证明：（1），
由，，得，，
，当且仅当时取等号，
，即；
（2）要证，
只需证，
只需证，
只需证，只需证，
即证，即证，显然成立，
．
（3）要证，
即证，
，，由基本不等式，得，，
当且仅当时，上述两个不等式取等号，
由不等式的基本性质，得，
成立．
例题4．比较下列各组中两个代数式的大小
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与．
【解答】解：（1），．
（2），；
（3），；
（4），．
【能力提升】
例题5．（1）已知，则与的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
【解答】解：，，
，，
．
故选：．
（2）若是实数，，，则，的大小关系是
A．B．
C．D．由的取值确定
【解答】解：显然，都是正数，
又，
，
①当时，则，，，
②当时，则，，，
综上所述，．
故选：．
例题6．已知，，，，试比较与大小，并说明理由．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
又因为，，
所以，，，，
所以，即，
当且仅当时，．
模块3：利用不等式性质求代数式的取值范围
【知识精讲】
方法与策略：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再结合不等式的性质求解．
注意：不可随意拆分所给的条件．
【夯实基础】
题型3：利用不等式性质求代数式的取值范围
例题6．（1）已知，，求，取值范围；
（2）已知，，求的取值范围．
【解答】解：（1），
，，
，
，，
的取值范围为，取值范围为．
（2）设，
则，解得，
，
，，
，，
，
故的取值范围为，．
例题7．（1）已知实数，满足，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：令，，则，
，，
即，，
，
，即，
故选：．
（2）已知，，则的取值范围为．
【解答】解：实数，满足，，
则，
整理得：，解得：，
，，
，
，
即，
故答案为：，．
（3）已知，，则的取值范围为．
【解答】解：令，
即，
解得，，
即，
，，
，
，
即的取值范围为，．
故答案为：，．
【能力提升】
例题8．（1）设，为实数，满足，，则的最大值是．
【解答】解：设，，
，①．
又，②，
①②可得：．
，当且仅当，且，
即，时，的最大值是9．
故答案为：9．
（2）（2022秋•湖北月考）已知，，为三个非负实数，且满足，，若，则的最大值与最小值之和为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
，，
，
，，为三个非负实数，
且，即，
，即，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值之和为．
故选：．
【高考真题体验】
1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，令，，，，满足，但，故错误．
故选：．
2．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立
A．B．C．D．
【解答】解：设，
，，，
根据题意，应该有，
且，
则有，
则，
因为，
所以，
所以项正确，错误．
，而上面已证，
因为不知道的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：．
3．（2014•四川）若，，则一定有
A．B．C．D．
【解答】解：不妨令，，，，
则，
、不正确；
，
不正确，正确．
解法二：
，
，
，
，
，
．
故选：．
第7讲：等式与不等式课后巩固
模块1：等式性质与不等式的性质课后演练
1．若，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
对于，当时，，故错误；
对于，当时，，故错误；
对于，，，，故正确；
对于，只有当，时，才有，故错误；
故选：．
2．（多选）已知，，，下列命题为真命题的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解答】解：对于选项，因为，所以，所以，
所以，即，故错误；
对于选项，，因为，所以，，
所以，即，故正确；
对于选项，，因为，所以，，，
所以，即，故错误；
对于选项，因为，
又因为，所以，，
所以，即，故正确．
故选：．
3．（多选）下列命题为真命题的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解答】解：对于，当时，，故错误；
对于，若，
则，
故，所以则，故正确；
对于，令，，满足，但，故错误；
对于，，
则，即，故正确．
故选：．
4．（多选）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：对于①：，
因为，
所以，，
所以，即，故①正确，
对于②：，
因为，
所以，，
所以，即，故②正确，
对于③：当，时，，，
所以，故③错误，
对于④：，
因为，
所以，，
所以，即，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
模块2：比较大小的方法课后演练
5．设，，则
A．B．
C．D．与的大小与有关
【解答】解：因为，，
所以，当且仅当时等号成立，可得．
故选：．
6．已知，，则
A．B．C．D．无法确定
【解答】解：，
，
故选：．
7．，下列选项正确的是
A．B．
C．D．，的大小无法确定
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
8．（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，为不全相等的正实数，求证：．
【解答】解：（1），
，，
，
；
（2）证明：要证，即证，
，，，为不全相等的正实数，
由基本不等式得，，，
，
．
模块3：利用不等式性质求代数式的取值范围课后演练
9．若，，则的取值范围为．
【解答】解：因为，所以，则，
又因为，所以，
故的取值范围为，．
故答案为：，．
10．已知，，则的取值范围为．
【解答】解：由题意可设，
则，解得，，
所以，
则，即为，，
故答案为：，．
11．已知实数，满足，，则的取值范围是．
【解答】解：设，
故，解得，即，
，
，
，
．
故答案为：，．
【思维拓展训练】
1．，，，为四个互不相等的实数．若、、、中最大，求实数的取值范围，并求出、、、中最小的数．
【解答】解：由题意得，
，
解得，，
，
解得，，
，
解得，或，
综上所述，，
当时，
最大，，，，
经检验，，
故四个数互不相等，
故实数的取值范围为，
、、、中最小的数为．
名称
性质内容
注意
性质1
对称性
可逆
性质2
传递性
同向
性质3
可加性
可逆
性质4
可乘性
的符号
性质5
同向可加性
同向
性质6
同向同正可乘性
同向，同正
性质7
可乘方性
（，）
同正
作差法
作商法
依据
时，；；
时，；，
步骤
①作差；②变形；
③判断差的符号；
④下结论
①作商；②变形；③判断商与的大小；④下结论