备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题33-圆锥曲线中定点定值问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题33

圆锥曲线中定点定值问题

【方法技巧与总结】

1、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：

（1）变量----选择适当的量为变量．

（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．

（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

2、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．

④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．

③参数无关找定点：找到和没有关系的点．

【题型归纳目录】

题型一：面积定值

题型二：向量数量积定值

题型三：斜率和定值

题型四：斜率积定值

题型五：斜率比定值

题型六：线段定值

题型七：直线过定点

题型八：动点在定直线上

题型九：圆过定点

题型十：角度定值

【典例例题】

题型一：面积定值

例1．已知双曲线的焦距为，且过点，，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与，两点，为坐标原点．

（1）求双曲线的方程；

（2）求证：面积为定值，并求出该定值．

例2．已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

题型二：向量数量积定值

例3．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值．

题型三：斜率和定值

例4．已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.

题型四：斜率积定值

例5．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.

(1)求的方程；

(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.

题型五：斜率比定值

例6．已知动点到点，的距离比它到直线的距离小2．

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）记点的轨迹为，过点斜率为的直线交于，两点，，延长，与交于，两点，设的斜率为，证明：为定值．

题型六：线段定值

例7．已知椭圆的离心率为，点在上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．

题型七：直线过定点

例8．已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

题型八：动点在定直线上

例9．在平面直角坐标系中，已知椭圆的一条准线方程为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设为椭圆的上顶点，过点作两条直线，，分别与椭圆相交于，两点，且直线垂直于轴．

①设直线，的斜率分别是，，求的值；

②过作直线，过作直线，与相交于点．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．

题型九：圆过定点

变式10．抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

题型十：角度定值

例11．已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，，动点在上且位于第一象限，.当时，直线的斜率为.

(1)求的方程；

(2)设，，证明：.