备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题30-圆锥曲线中的向量问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题30

圆锥曲线中的向量问题

【题型归纳目录】

题型一：向量的单共线

题型二：向量的双共线

题型三：三点共线问题

题型四：向量中的数量积问题

题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量

【典例例题】

题型一：向量的单共线

例1．在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.

(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.

(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)如图，以为直径的圆与以为直径的圆内切，

则.

连接，因为点O和分别是和的中点，所以.

故有，即，

又，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.

因为，，所以，故的方程为.

(2)存在满足题意.

理由如下：设，，.显然.

依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为，

因为点G在这条直线上，所以，.

联立得的两根分别为和0，

则，，

所以，.

设，则，则，，

所以，整理得，

因为，所以，即.

故存在常数，使得.

例2．已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．

【解析】（1）联立：，

消去x并整理得：，

又椭圆C与直线l相切，

，

化简得：①，

又点在椭圆C上，

②，

由①②解得：，，

椭圆C的方程为；

（2）轴上存在点P，使得，

理由如下：

设直线的方程为，

联立，

消去y并整理得：，

，

设，

则，

假设存在点满足条件，

由于，

平分，

由题意知直线PA与直线PB的倾斜角互补，

，

即，

即，

，

代入并整理得，

，

整理得：，

即，

当时，无论k取何值均成立，

存在点使得．

题型二：向量的双共线

例3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：.

【解析】设椭圆C的方程为（>>）抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即

由，∴，

椭圆C的方程为

（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

代入方程并整理，得

∴，

又，，，，

而，，

即，

∴，，

所以

题型三：三点共线问题

例4．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.

(1)求的值；

(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为，

不妨设，

因为三角形的面积为，所以，

所以，又，所以.

（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，

若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，

设，，则，

联立，得，

且，

化简得且，

所以，，

因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，

因为，，三点共线，所以，

即，即，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

化简得，所以经过轴上的定点.

题型四：向量中的数量积问题

例5．已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.

(1)求线段的中点的轨迹方程；

(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，

则应用点差法：，两式联立作差得：，

∴，

又∵，

∴，化简得（），

②当直线不存在斜率时，，

综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；

（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，

联立并化简得：，

∴恒成立，∴，，

又，，，，

∴，

，

若使为定值，

只需，即，其定值为，

②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，

又，，，，

∴，当时，也为定值，

综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，

使为定值.

题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量

例6．如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于．证明：为定值.

【解析】不妨设切线方程为，联立切线方程和椭圆方程，

消去得，

所以△，得，

即，

由韦达定理可得，解得，

所以，

可求得，，

为定值．

例7．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

【解析】（Ⅰ）由题可知，，

所以，

故直线斜率的取值范围是：；

（Ⅱ）由知，，

所以，，

设直线的斜率为，则，即，

则，，

联立直线、方程可知，，

故，，

又因为，

故，

所以，

令，，

则，

由于当时，当时，

故，即的最大值为．