专题33.条件概率与统计初步（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题33.条件概率与全概率公式

条件概率在新教材的地位当然是大大提升，一方面是其重要的应用价值，毕竟，现实生活中很多事件都是相互影响的，另一方面则是它为引出全概率公式做了铺垫. 所以，在新教材与新高考中，我们务必重视条件概率的研究与应用，2022新高考卷中均考察了条件概率，本节将对其常见应用做全面的介绍，并进一步引出全概率公式做铺垫.

一．基本原理

1.条件概率定义

一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即

特别地，当时，即相互独立，则.

2．条件概率的性质

设，全样本空间定义为，则

（1）；

（2）如果与是两个互斥事件，则；

（3）设事件和互为对立事件，则．

3.全概率公式

3.完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件：

（1）；

（2）.

则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割.

4.全概率公式： 设是一个完备事件组，则有.

二．典例分析

第一个例子是条件概率的经典应用，它说明了不放回式抽签的公平性，更重要的是，它蕴含了全概率公式的思想.

例1.从有个红球和个蓝球的袋子里，每次随机摸出一个球，摸出后不放回，试证明：第一次摸出红球后，第二次摸出红球的概率与第一次相同.

证明：显然，第一次摸出红球的概率为.用表示事件“第次摸到红球”，用表示事件“第次摸到蓝球”，.那么，，且与互斥，故可得：

.综上，表明不放回抽签与先后顺序无关.

点评：上述结论的证明过程不是显然的，通过条件概率，我们很好地给出了证明，再次说明条件概率的应用价值，毕竟，我们现实情境中很多事件之间是相互影响的.

例2.银行储存卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.

解析：（1）设“第次按对密码”（）,那么满足题意的情形有，故：

（2）设“最后1位密码是偶数”，则

例3.（2022新高考1卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．

（i）证明：；

（ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．

附：，

解析：（1）假设患该疾病群体与未患疾病群体的卫生习惯没有差异，

则，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；

（2）（i）

          ，得证.

（ii）由调查数据可知，，

则，，所以． 

注：此题第二问的证明和计算纯粹考察条件概率公式及其性质，第三问的计算则考察条件概率的计算，找到条件的相应事件的样本空间即可轻松计算.

例4.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

（1）求p1·q1和p2·q2；

（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．

分析：假设表示次取球后甲口袋有个黑球，表示次取球后甲口袋有个黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球）.先分析事件的概率，分如下三种情况：当第次操作后，甲口袋有个黑球，只需要来个白球同时取一个白球就完成，概率公式；当第次操作后，甲口袋有个黑球，只需要来个黑球取个白球就完成，概率公式；当第次操作后，甲口袋有个黑球，不可能取一次球得到两个球，这种情况不满足，类似可以计算事件的概率，这样的话，，类似可得.

解：（1），，

（2），

，

因此，

从而，

即.

又的分布列为

故.

例5.（2022新高考2卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率．

（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区的年龄位于区间的人口占该地区总人口的，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各地区的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到）

解析：（1）平均年龄

 （岁）

（2）设，则

（3）设，，

则由条件概率公式，得