专题32.复杂概率计算与常见方法（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题32.复杂事件的概率计算与常见赛制

复杂事件的概率计算主要是依赖于互斥事件的加法公式与独立事件的乘法公式展开的，处理相关问题时，主要将所求事件分步与分类列举，找清楚目标事件与各个子事件之间的关系，特别地，体现在本文所梳理的一些主要赛制（游戏规则）上，请学生多加留意.

一．基本原理

（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.

（2）理解事件中常见词语的含义：

A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；A,B都发生的事件为AB；A,B都不发生的事件为；A,B恰有一个发生的事件为A∪B；A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.

（3）善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率.

二．典例分析

1.基本概念的考察

例1. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立

解析：

故选：B

例2. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则

A．p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关  B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大      D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

解析：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，由题意

，所以，，所以最大，故选D.

二．一些常见的赛制（游戏规则）

赛制1.局胜制.

这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜.

例3．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

解析：前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

综上所述，甲队以获胜的概率是

2.连胜制.

规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜.

例4．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局

仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概

率为，各局比赛结果相互独立．

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．

解：用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”， 表示

“第局乙获胜”，则

（1）

（2）的可能取值为2，3，4，5

，故的分布列为

.

赛制3.比分差距制

规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于.

例5.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

解析：（1）由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”

所以

（2）由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”

所以

赛制4.“通关制”（淘汰赛制）

在比赛的过程中，如果在某一场失败，则被淘汰，此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关.这种类似于足球比赛中的淘汰赛.

例6.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

解析：（1）记事件甲连胜四场，则；

（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为

，所以，需要进行第五场比赛的概率为.

（3）①四场比赛丙获胜，丙在前四场获胜的概率为

②由下表可知：五场比赛丙获胜，，，

，

丙五场比赛丙获胜的概率为

由于①②互斥，丙最终获胜的概率为.

注：第二问在处理时直接列举情况较复杂，此时可以采取正难则反的技巧.第三问则可直接枚举出各种可能结果，这是我们在计算复杂事件时一个重要的技巧.

例7.（2021新高考1卷）. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解析：（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；

；．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；；

．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．

赛制5.联赛制

一共有局比赛，每位选手都参加局比赛，每局比赛相互独立，最终计算全部比赛的得分分布列，这种就类似与足球比赛中的联赛制，必须要打满一定的场次.

例8.（2022全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.

解析：（1）记甲学校获得冠军为事件，

则

甲学校获得冠军的概率是0.6.

（2）的可能取值为0,10,20,30，则

的期望值为．