专题31.二项分布与概率最值（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题31.二项分布中的两类最值问题研究

一．基本原理

1．重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．

2．重伯努利试验具有如下共同特征

（1）同一个伯努利试验重复做次；

（2）各次试验的结果相互独立．

3．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作

4．一般地，可以证明：如果，那么.

5. 二项分布的两类最值

（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.

.

分析：当时，，随值的增加而增加；当时，

，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.

（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

分析：

当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.

二．典例分析

例1.某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；

（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解析：（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.

因此.

令，得.当时，；当时，.

所以的最大值点为；

（2）略.

例2．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，其中，，当时，由，

得，化简得，

解得，又，所以，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4．故选：C．

注：此题亦可用上述结论，由于数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大，故.

例3.学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．

（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；

（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．

解析：（1）分布列如下：

所以（分）；

（2）解：设一天得分不低于3分为事件，则，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，

则，

当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值.

例5．通过历次考试，学生容易在多选题中由于多选和错选致误，因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷，已知这两个班共有学生100名，陈老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表：

（1）若每个分组取中间值作代表，试求两个班学生的成绩的平均值；

（2）为了更好地激发学生学习政治的热情，陈老师决定组建政治兴趣小组，若采取分层抽样的方法从两个班中成绩为和的学生中抽取5人，再从中确定3人为小组组长，如果用表示小组组长来自成绩为的学生的人数，求的分布列和数学期望；

（3）为了更好地了解学生多项选择题失分的原因，陈老师从两个班中随机抽取20名学生进行深入交流，若这20名学生中有名学生本次考试成绩在之间的概率为（，），求取得最大值时的值（将频率视为概率）.

解析：（1）两个班学生的成绩的平均值为.

（2）由频率分布表可知，若采取分层抽样的方法从两个班中成绩为和的学生中抽取5人，则应从成绩为和的学生中各抽取3人和2人，所以的可能取值为1，2，3.

，，，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（3）设在抽取的20名学生中，成绩在的人数为，则，

所以.设.

当时，，，当时，，.

所以当时，最大.