初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程精品课后作业题

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专题3.4 实际问题与一元一次方程

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列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
考点精讲

考点1：行程问题
典例：【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】
(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】
（请你完整解答本题）
【答案】(1)见解析(2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15分钟可以追上队伍．
【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；
（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：根据题意，画出示意图如图：

（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；设通讯员用x小时可以追上学生队伍，
根据题意可得：，解得：x=，×60=15(分钟) ，
答：通信员用15分钟可以追上队伍．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，要会根据路程=速度×时间这一公式找出正确的等量关系，难点在第二问，注意分段求解时间．
巩固练习
1．已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（   ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
【答案】C
【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数＋乙生产的零件数＋未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后相距60km，根据甲的路程＋乙的路程＋原来两人间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，
依题意，得：4x＋6x＋20＝60，∴①可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
②设经过x小时后两人相距60km，依题意，得：4x＋6x+20＝60，
∴②可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
综上分析可知，①②可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系，故C正确．故选：C．
2．轮船在河流中来往航行于A、两码头之间，顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时，已知水流速度为每小时，求、两码头间的距离．若设A、两码头间距离为，则所列方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（       ）
A．1.5 B．0.75 C． D．
【答案】C
4．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（       ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时
【答案】C
解：设小明原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，由题意得
（3.5+）x=x+（x+1）×（3.50.5），解得：x=18．答：小明原来的速度是18千米/小时．故选：C
5．甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
解：设A、B两城相距x千米
，x=答：两城相距千米．
6．A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开出多长时间后两车相遇？
解：设快车出发后x小时两车相遇，根据题意可得：
×60+（60+80）x＝448，解得：x＝3，答：快车出发后3小时两车相遇．
7．星期六小王去球馆打球，去时发现家中的钟没电了，于是换上电池，把钟暂时调整到8时整．到球馆时球馆的钟刚好是8时整．打球到11时整时他以原速度回家发现家中的钟刚好是12时整．小王根据这些时间关系再次调整了时间．如果小王在路上的速度是60米/分钟，请问从家到球馆的路程是多少？小王到家的准确时间是几点？
解：设家到球馆的路程为x米．小王在路上的速度是60米/分钟即为3600米/时
解得：．（时）
小王到家的准确时间：11时+0.5时=11时30分
8．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍．
(1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时；
(2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）
(3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时．
（1）解：乙车的行驶速度：（千米/小时）
甲车的行驶速度：（千米/小时），故答案为：80，60；
（2）解：设乙车出发后x小时两车相遇，解得
答：乙车出发后小时两车相遇；
（3）解：设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米，
当两车在相遇前相距40千米时：80y+60(y-1)=300-40，解得y=，
当两车在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40，解得y=，
∵乙车出发后，甲车所用在途时间：（小时），甲车所用时间为5小时，甲车比乙车晚2小时到达A地．∴甲车在B地休息时间为：5+2-6.5=0.5（小时）
故答案为：；0.5．
9．甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．
(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？
(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？
（1）解：设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x－20，解得，
答：乙车速度为100千米/小时 ．
（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为千米，则依题意得： 解得∴（千米）
答：甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米．
10．无人机属于高新技术产品，它在应急救文、农业种植、环境监测等方面有着广泛的应用．为比较两架无人机的性能，让I号无人机从海拔10米处出发，以10米/分的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30米处同时出发，匀速上升，经过12分钟，I号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

(1)求Ⅱ号无人机的上升速度；
(2)当这两架无人机位于同一海拔高度时，求此时的海拔高度．
（1）解：设Ⅱ号无人机的上升速度为x米/分，根据题意，得：10+10×12-28=30+12x，解得：x=6，
答：Ⅱ号无人机的上升速度是6米/分；
（2）解：设当y分钟时这两架无人机位于同一海拔高度，根据题意，得：10+10y=30+6y，解得：y=5，∴10+10y=10+10×5=60（米），答：此时的海拔高度是60米．
11．“五一”劳动节，林老师驾轿车从平泉出发，上高速公路途经长深高速和大广高速到北京下高速（中间会经过若干大桥和隧道），其间用了3.6小时：返回时平均速度提高了10千米/小时，比去时少用了0.4小时回到平泉．
(1)求平泉与北京两地间的高速公路路程；
(2)经过大桥、隧道的长度及过路费见下表：
名称
大桥
隧道
合计长度
25千米
33千米
合计收费
30元
25元
我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费y（元）的计算方法为：，其中a（元/千米）为高速公路里程费，x（千米）为高速公路里程（不包括大桥和隧道长），b（元）为经过大桥、隧道的过路费．若林老师从平泉到北京所花的高速公路通行费为152元，求轿车的高速公路里程费a．
(1)解：设去时的平均速度为，则返回时的平均速度为km/h，根据题意得：
，解得：，
∴平泉与北京两地间的高速公路路程为：（km）．
(2)根据题意可得：（元），
大桥和隧道之外的高速公路里程为：（km），
∴，解得：，
轿车的高速公路里程费为0.4元/千米．

12．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．
出租车
起步价：14元
里程费：超过3公里的部分
2.4元/公里
（不足1公里按1公里计）

滴滴快车
起步价：12元
里程费：2.5元/公里
时长费：0.4元/分钟
（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）
(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？
(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．
(1)解：（元）， 答：出租车的费用为元．
(2)解：设甲地到乙地的路程为x公里，当时，
解得： 所以不符合题意舍去，
当时，则 解得：
答：甲地到乙地的路程为14公里．
13．小王和小李每天从地到地上班，小王坐公交车以的速度匀速行驶，小李开汽车以的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从地出发，15分钟后，两人相距______；
(2)假设途中设有9个站点，，…，公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
①若两车同时从地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求，两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从地前往地，8分钟后小李开汽车也从地前往地，求小李追上小王的时刻．
(1)解：15分钟＝0.25小时，∴小王的路程为40×0.25＝10（km），
小李的路程为50×0.25＝12.5（km），∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），
故答案为：2.5．
(2)解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为 小时，小王的时间为 小时，∵汽车比公交车早10.5分钟到达，∴，解得：x＝20，
∴A、B两地相距20千米．
②由①得，A、B两地相距20千米，
∵每两个站点间的距离相等，∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），
∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，∴8分钟时，公交车在P2与P3之间，
设小李经过m分钟追上小王，
当小李在P2与P3之间追上小王，即m≤2时，
，解得：m＝28（舍）；
当小李在P3与P4之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，
，解得：m＝26（舍）；
当小李在P4与P5之间追上小王，即6＜m≤9时，
，解得：m＝24（舍）；
当小李在P5与P6之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，
，解得：m＝22（舍）；
当小李在P6与P7之间追上小王，即13＜m≤16时，
，解得：m＝20（舍）；
当小李在P7与P8之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，
，解得：m＝18；
∴经过18分钟，小李追上小王，
此时的时刻为4：48．
14．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．

(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？
(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置．

【分析】（1）根据路程=速度×时间列式即可；
（2）设经过t秒甲、乙两人第一次相遇，根据速度×时间=路程结合题意，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，
（3）设经过t秒乙追上甲，根据乙跑的路程-甲跑的路程=BC+CDd+DA=130,列方程求解即可；
（4）先求出（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方，若乙第n次追上甲的时间为a秒，根据乙跑的路程-甲跑的路程=160(n-1)，列方程为3a-2a=160(n-1)，又因为 2a=320(n-1)，即可得证第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．即可得出结论．
（1）解： 甲的路程=2t米；故答案为：2t；
（2）解：设经过t秒甲、乙两人第一次相遇 ，根据题意得
3t+2t=50×2+30 ；t=26答：经过26秒
（3）解：设经过t秒乙追上甲，根据题意得
3t-2t=130      解得t=130 答：经过130秒，乙追上甲
（4）解：130×2=260（米） 260-（50+30）×2=100（米） 100-30-50=20（米）
所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方；
若乙第n次追上甲的时间为a秒,则3a-2a=160(n-1)，解得a=160(n-1)
160(n-1)×2=320(n-1)（米） 320(n-1)÷160=2(n-1)（圈）
第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．
所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方； P点如图

考点2：配套问题
典例：一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，设用钢材做A部件，剩余钢材做B部件恰好配成这种仪器若干套．
(1)共能做____________个A部件，____________个B部件（用含x的式子表示）；
(2)求x的值．
(3)用钢材能配成这种仪器____________套（直接写出结果）．
(1)解：由题意，得A部件的数量为： B部件的数量为：
故答案为：，
(2)解：由题意，得 解得 答：x的值为4.
(3)解：仪器的套数为：40×4=160（套）故答案为：160.

方法或规律点拨
【点睛】本题主要考查了配套问题，理解题意找到等量关系是解决问题的关键.
巩固练习
1．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（          ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完.如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？设大和尚有人，则小和尚有（100－）人，根据题意列得方程（       ）
A．3x+=100 B．3x+（100－x）=100
C．+3（100－x）=100 D．x+（100－x）=100
【答案】B
3．一张方桌由一个桌面、四条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？设用x立方米木料做桌面，由题意列方程，得__________．
【答案】
4．某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为______套．
【答案】80
解：设搬桌子的有2x人，则搬椅子的有（200-2x）人，由题意可得：x=2（200-2x），解得x=80，
∴最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为80，故答案为：80．
5．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配个工人生产金属球，
依题意得：，解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．
答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．
6．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解：设用x立方米制作桌面，则立方米制作桌腿，根据题意，得
，解得：，则，
答：用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿．
7．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．

工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
解：设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，
生产乙种零件，
依题意得方程解得：
答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
故答案为：①，②，③
8．某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）
(1)设做上衣用布料，则做裤子用布料，
由题意得，，解得：，则可以生产套衣服；
答：用180m布做上衣，120m布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服；
(2)∵做一件上衣用m布，做一条裤子用1m布， ∴一套服装用2.5m布，
∵227÷2.5=90...2，∴227m布可以做90套衣服余2m，
∵本着不浪费的原则，∴余下的2m布可以做2条裤子，
答：布料227m，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子．

9．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．

工效（个/天）
天数（天）
数量（个）
甲种零件
450
x
②
乙种零件
300
①
③
解：设应安排天生产甲零件，根据题意求得安排天生产乙种零件，共生产甲种零件，生产乙种零件，依题意得方程，解得：
答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
故答案为：①，②，③
10．用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．

(1)若用5张白铁皮制作盒底，需要用_________张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成_________个罐头盒．
(2)现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
（1）解：由题意得：5张白铁皮可制作盒底40×5=200（个）
∴需要盒身（个）∴需要铁皮为（张）．故答案为：4，100；
（2）解：设用x张制盒身，则（36-x）张制盒底，根据题意，
得到方程：2×25x=40（36-x），解得：x=16，36-x=36-16=20．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
11．七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
(1)七年级1班有男生、女生各多少人？
(2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
(1)解：设女生有x人，则男生有（x﹣3）人，
由题意可得：x+（x﹣3）＝45，解得x＝24，∴x﹣3＝21，
答：七年级1班有男生21人，女生24人．
(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（个），男生可以做筒底：21×90＝1890（个），
∵720×2＜1890，∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根据题意得：
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
12．某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.
(1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？
(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？
（1）解：设该工厂每天有名工人生产零件，则每天有名工人生产零件，由题意得：，解得，答：该工厂每天有7名工人生产零件．
（2）解：设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则该工厂每天有名工人生产零件，有名工人生产零件，由题意得：，解得，
答：从生产零件的工人中调出5名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元．
13．列方程解应用题：
某工厂甲、乙两个车间共有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．
(1)如果甲车间的人数比乙车间的人数多4人，那么两个车间各有多少人？
(2)如果1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好匹配，工厂应安排其中多少人生产螺母？
(1)解：设甲车间有x人，乙车间有（22-x）人，
依题意得，x-4=22-x，解得x=13，22-x=9，答：甲车间有13人，乙车间有9人；
(2)解：设应安排y名工人生产螺钉，则安排（22-y）名工人生产螺母，
依题意得：2×1200y=2000（22-y），解得y=10，∴22-y=22-10=12．
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．






14．列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，
根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，解这个方程，得：x=12
答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；
(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，
根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），解这个方程，得：y=11．
答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．
15．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，其中的x张用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪．
(1)填空：用含x的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是_____________，裁剪出的底面的个数是_____________．（要求：代数式不是最简要化为最简形式）
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好用完，求多少张硬纸板用A方法裁剪，多少张硬纸板用B方法裁剪？能做多少个三棱柱盒子？

（1）其中的x张用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪，
则裁剪出的侧面的个数是，
裁剪出的底面的个数是，故答案为：；；
（2）根据题意，得解得，经检验，符合题意当时，，
答：7张硬纸板用方法裁剪，12张硬纸板用方法裁剪，能做30个三棱柱盒子．





考点3：工程问题
典例：课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
解：（1）两人合作的天数为：天，答：两人合作需要2.4天完成；
（2）设两人合作x天，根据题意得：，解得：，
∴徒弟完成的工作量为，师傅完成的工作量为，
∴两人的工作量相同，∴师傅和徒弟各分一半，即元，
答：师傅和徒弟各分225元；
[拓展] 解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天，
徒弟完成工作量的，师傅完成工作量的，
两人完成工作量相同部分为，徒弟所得报酬为元，
∴师傅所得报酬为元，
答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．
方法或规律点拨
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
巩固练习
1．一项工作，甲单独完成需要20分钟，乙单独完成需要16分钟．若先由甲单独工作4分钟，余下的工作再由两人合作用了分钟，则根据题意可列方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A


2．已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时(     )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
【答案】D
3．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天.若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
4．某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空：型设备的工作效率是_________，型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
（1）解：如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完，
型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．
故答案为：；．
（2）解：设还需要天完成，依题意得：，解得：．答：还需要20天完成．
5．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
（1）解：天，答：乙工程队单独完成需要30天；
（2）解：天，答：还需要9天才能完成；
（3）解：设甲工程队需要施工x天，，解得：，
乙工程队需要施工=15天．答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．
6．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．
(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．
（1）解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：500×10x＝500×8（x+10），解得：x＝40．
故当前参加生产的工人有40人；
（2）780万＝7800000，设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×500×10×40+（40+10）×10×500y＝7800000，解得：y＝28．
故该车间还需要28天才能完成任务．
7．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）
（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成．
根据题意，得(+)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（万元）．
答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元；
（2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成．
根据题意，得，解得y=1，所以4-1=3，
所以（8+3）×1+3×3=20（万元）．
所以选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金．
8．新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
(1)解：设该合作社按计划天可收割完这些油菜解得：
答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；
(2)解：原来一天的收割量：（亩），
现在一天的收割量：（亩），
现在三天可完成的收割量：（亩）亩．
答：该合作社能完成抢收任务．
9．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？
(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？
(1)解：设乙施工小队平均每天施工米，则甲施工小队平均每天施工米．
根据题意得：．解得：．所以．
答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．
(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工米；乙施工小队平均每天施工米．
则改进施工技术后，剩余的工程还需：天；
按原施工进度，剩余的工程还需：天．
所以少用的天数为：天．
答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．
10．一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成．
(1)甲乙两队合作几天可以完成任务？
(2)最初甲乙两队合作，但中途甲因事离开几天，若开工后15天完成了这项工程的，则甲中途离开了几天？
(1)解：甲乙两队合作天可以完成任务，
根据题意得：，解得：，答：甲乙两队合作12天可以完成任务；
(2)解：设甲中途离开了天，
根据题意得：，解得：，答：甲中途离开了10天．
11．湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，
(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？
(1)解：设土建为x亿元，则路面为亿元，设施为（1﹣40%）x亿元，
∴x++（1﹣40%）x＝24，∴x＝10，∴，（1﹣40%）x＝6．
答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元
(2)解：设土建投资增长率为x，则路面投资的增长率是2.5x，设施投资的增长率是2×2.5x＝5x，
预算国拨总投资减少的百分率为x．国拨总投资：24×（1﹣x），
该工程的实际各项投资之和是10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），
∵70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元，
∴24×（1﹣x）+1.68＝10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），解得：x＝0.02＝2%
24×（1﹣x）+1.68＝25.2（亿元）
答：该工程的实际总投资是25.2亿元．
考点4：营销问题
典例：丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？
（1）解：由题意得：甲种商品每件进价为60－20＝40元；
乙种商品的利润率为（80−50）÷50＝60%，故答案为：40，60%；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50−x）件，
由题意得：40x＋50（50−x）＝2100，解得：x＝40，答：购进甲种商品40件；
（3）设小丽购买商品的原价是y元，
①若小丽购买商品的原价超过450元，但不超过600元，由题意得：0.9y＝504，解得：y＝560，
②若小丽购买商品的原价超过600元，
由题意得：600×0.82＋（y−600）×0.3＝504，解得：y＝640，
答：小丽购买商品的原价是560元或640元．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，正确列出一元一次方程．
巩固练习
1．把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打6折促销，售价相应调整为90元，打折后每件上衣（       ）
A．赚20元 B．赚10元 C．亏20元 D．亏10元
【答案】D
解：设上衣的进价为x元，由题意，得x（1+50%）×60%=90，解得：x=100．
打折后每件上衣的利润为：90100=10元．故选：D．
2．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他(     )
A．不赚不赔 B．赔了12元 C．赔了18元 D．赚了18元
【答案】C
设在这次买卖中第一件原价是x，则可列方程：（1+25%）x＝135，
解得：x＝108，比较可知，第一件赚了27元；
设第二件原价是，第二件可列方程：（1﹣25%）＝135，解得：＝180，
比较可知亏了45元，两件相比则一共亏了45﹣27＝18元．故选：C．
3．某种服装因换季准备打折出售，如果按原价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该服装的成本为（       ）
A．300 元 B．280 元 C．125元 D．250元
【答案】D
解：设该服装的售价为x元，由题意得，0.75x+25=0.9x-20，解得：x=300，
则成本价为：300×0.75+25=250（元）．故选：D．
4．一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么依题意所列方程正确的是(     )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
【答案】A
解：设这件夹克衫的成本价是x元，依题意，得：70%（1＋70%）x＝x＋38，故选：A．
5．某商店有两个进价不同的电水壶都卖了元，其中一个盈利，而另一个亏损了，则在这次买卖中，这家商店（       ）
A．不赔不赚 B．赚了元钱 C．赔了元 D．赚了元
【答案】B

解：设盈利的进价是元，，解得：，
设亏本的进价是元，，解得：，
∴（元），∴这家商店赚了元钱．故选：B．
6．国庆期间，“新世纪百货”搞换季打折．简爽同学以折的优惠价购买了一件运动服节省元，那么他购买这件衣服实际用了______ 元．
【答案】64
解：设衣服实际用了元，则解得元，故实际用了元．
7．家乐福超市购进了一批书包，按成本价提高50%后标价，为了增加销量，又以9折优惠进行销售，每个售价为108元．
(1)这批书包每个的成本价是多少元？请你列方程此应用题；
(2)若这批书包一共购进100个，全部以108元的售价卖出，该超市共盈利多少元？
（1）解：设这批书包每个的成本价是x元，则标价为（1＋50%）x，9折优惠后售价为90%×（1＋50%）x，
由题意得：90%×（1＋50%）x＝108，解得：x＝80，
答：这批书包每个的成本价是80元．
（2）解：该超市共盈利：（元），
答：该超市共盈利2800元．
8．元旦节期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件仍盈利20元，这批夹克每件的成本价是多少元？
解：设成本价为x元，依题意得：x（1+50%）×80%﹣x＝20，解得：x＝100，
答：这批夹克每件的成本价是100元．
9．某水果销售店用1000元购进甲、乙两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示：

进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种水果
5
8
乙种水果
9
13
(1)这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店把这两种水果全部按九折售完，则可获利多少元？
（1）解：设购进甲种水果共千克，则购进乙种水果共千克，得：
，解得，∴购进乙种水果：=75（千克）
答：购进甲种水果共65千克，购进乙种水果共75千克；
（2）获利：（元），
答：若该水果店把这两种水果全部按九折售完，则可获利345.5元．

10．某社区蔬菜超市从生产基地购进一种蔬菜进行销售，在运输、销售过程中因水分流失，腐烂变质等因素质量损失8%，假设不计超市其他费用．
(1)如果超市在进价的基础上提高8%，那么请你通过计算说明超市是否亏本？
(2)如果超市至少要获得25%的利润，那么这种蔬菜的售价最低应提高百分之几？（结果精确到0.1%）
（1）设进价为a元/千克，共购进了b千克，
则销售总金额为（1+8%）a•（1-8%）b=0.9936ab（元），进货总金额为ab元．
∵0.9936ab＜ab，∴超市亏本；
（2）设这种蔬菜的售价应提高x，
依题意得：（1+x）a•（1-8%）b-ab≥25%ab，解得：x≥0.359=35.9%．
答：这种蔬菜的售价最低应提高35.9%．
11．某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．
(1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？
(2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有的橙子变质不能出售，该水果店售完两批橙子能获利2102元，求的值．
（1）设第一次购进橙子x千克，则第二次购进（600-x）千克，
根据题意列方程得(5-3)(600-x)=1.2·5x解得x=200600-x=400
答：第一次购进橙子200千克，第二次购进橙子400千克．
（2）根据题意得第一批橙子的总售价为5(1+a%)·200(1-5%)，
第二批橙子的总售价为5(1+a%)·80%·400(1-10%)，
则[5(1+a%)·200(1-5%)-5×200]- [5(1+a%)·80%·400(1-10%)-3×400]=2102
化简得2390（1+a%）=43021+a%=1.8a%=80%a=80a的值为80.
12．某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
【答案】(1)60， 30， 60
(2)购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件
(3)此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件
（1）由题意得，甲种商品每件售价为：40×(1 + 50%) = 60(元)，
乙种商品每件的利润为80 - 50 = 30(元)，乙种商品的利润率为×100% = 60%，
故答案为： 60， 30， 60．
（2）设购进甲种商品x件，则购进甲种商品(50-x)件，根据题意，得
40x+ 50(50- x) = 2100，解得x=40，乙种商品件数为50- x= 50- 40= 10(件)
答：购进甲种商品40件，则购进甲种商品10件．
（3）设小梅购买乙种商品a件，则共需(80a)元，
①当80a≤450时，不符合题意，舍去；
②当450 < 80a≤600时，0.9×80a= 504解得：a= 7，经检验，符合题意；
③当80a > 600时，600×0.82+0.3(80a-600)=504，解得： a=8，经检验，符合题意；
∵8> 7，∴此次小梅在该商场最多购买乙种商品8件．
13．已知：A＝3mx－x，B＝－mx－3x＋m．
(1)化简：3A－2B；
(2)若3A－2B的值与字母m的取值无关，求x的值．
(3)请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为700元，乙型号口罩每箱进价为500元．该医药公司根据疫情情况，决定购进两种型号的口罩共30箱，有多种购进方案．现销售一箱甲型号口罩，利润率为40%，乙型号口罩的售价为每箱800元，而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型号口罩，返还顾客现金a元，甲型号口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求a的值．
（1）解：A＝3mx－x，B＝－mx－3x＋m
3A－2B=3(3mx－x)-2(－mx－3x＋m)=9mx-3x+2mx+6x-2m=11mx+3x-2m
（2）3A－2B=11mx+3x-2m=m(11x-2)+3x
3A-2B的值与字母m的取值无关，∴11x-2=0，解得；
（3）设经销商购进甲型口罩x箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，

要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，则，解得．





14．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）
型号
进价（元/只）
预售价（元/只）
甲型号
20
25
乙型号
35
40
(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？
(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？
（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，
由题意可得：，解得：，（只，
答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；
（2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，
由题意得，解得：，
答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．
考点5：比赛积分问题
典例：聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：
校篮球赛成绩公告
比赛场次
胜场
负场
积分
22
12
10
34
22
14
8
36
22
0
22
22
聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决：
(1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分；
(2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由．
(1)由题意可得，负一场积分为：（分，胜一场的积分为：（分，
故答案为：1，2；
(2)设胜场，负场，由题知，解得．
∴不可能胜场总积分能等于负场总积分．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．
巩固练习
1．甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，则列方程为（       ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
【答案】D
2．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________．
【答案】6
解：由题意得：，解得：；故答案为：6
3．某足球协会举办一次足球赛，其记分规则及奖励方案（每人）如下表：

胜一场
平一场
负一场
积分（分）
3
1
0
奖金（元）
1500
700
0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名球员）共积分22分，并且没有输一场．
（1）A队胜______场；
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，则A队的某一名队员在这12场比赛中所得的奖金与他的出场费的和为______元．
解：（1）设A队胜利x场，则平了（12−x）场，根据题意得：
3x＋（12−x）＝22，解得：x＝5；∴A队胜5场．故答案为：5．
（2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共500×12=6000（元），
赢了5场，奖金为1500×5＝7500（元），平了7场，奖金为700×7＝4900（元），
∴奖金加出场费一共（元）．故答案为：18400．








4.小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，那么他们各赢了多少盘？对于这个问题，请你设未知数，列出方程，并解方程．
解：设小明爸爸赢了盘，则小明赢了盘，
由题意得：，解得，则，
答：小明爸爸赢了6盘，小明赢了2盘．
5．利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，
依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，∴11−x＝11−7＝4，答：该队获胜7场．
6.某中学三年级各班级举行一次篮球比赛，前四名队伍积分榜信息如下表所示：
名次
班级
场次
胜场
负场
总积分
1
二班
8
8
0
16
2
七班
8
7
1
m
3
五班
8
5
3
n
4
一班
8
4
4
12
(1)表中信息可以看出，胜一场得________分，负一场得_________分；
(2)请直接写出_____，________；
(3)若某班级的总积分之和为10分，求该班级胜场次数．
(1)16÷8=2（分） (12-4×2)÷4=1（分）∴胜一场得2分，负一场得1分．故答案为：2，1；
(2)，．故答案为：15，13；
(3)设该班胜场次数为x场，则负场次数为(8-x)场，
根据题意得：，解得：．故该班级胜场次数为2场．










考点6：几何问题
典例：如图，在长方形ABCD中，，，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒的速度运动4秒，之后以每秒2cm的速度运动，设点P运动的时间是x（秒），点P运动的路程为，的面积是．

(1)点P共运动___秒；
(2)当时，求y的值；
(3)当的面积S是长方形ABCD面积的时，直接写出x的值．
(1)解：点P共运动时间=（秒），故答案为：10；
(2)当x=5时，y=；
(3)当点P在AB边时，，∴，
∴，∴AP=2，∴x=；当点P在CD边上时，，
∴，∴，∴DP=2，∴，
综上，x的值为4或9时，的面积S是长方形ABCD面积的．
方法或规律点拨
此题考查了动点问题，正确理解动点问题中路程，时间，速度之间的关系是解题的关键．
巩固练习
1．如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（       ）

甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对
C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
【答案】A
解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A．
2．一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（     ）
A．48 B．45 C．40 D．33
【答案】B
解：设这个长方形的长为x cm，宽为（-x）cm，即（14-x)cm，
依题意得：x-1=14-x+3，解得x=9．所以-x=14-9=5（cm），故该长方形的面积=9×5=45（cm2）．
故选：B．
3．如图，将长方形分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，则
2（5x+3x）+4=148，x=9，5x=45，3x=27，∴AD=45+2=47，AB=27+2=29，∴．
故选：D．
4.如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．

【答案】143
解：设正方形E的边长为x，则D正方形的边长是x+1,C正方形的边长是x+2,B正方形的边长是2x-1,
∴原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，根据题意，得2x-1+x=x+2+x+1，解得：x=4．
当x=4时，3x+1=13，2x+3=11，∴长方形的面积=13×11=143．
故答案为：143．
5．在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．

【答案】5
解：设正方形纸板的边长为，则，，
区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，
，解得，正方形纸板的边长为．故答案为：．

6.如图，在长方形ABCD中，，，点E是AD上一点，，点P从点B出友，以1cm/s的速度从点B—C—D—E匀速运动，设点P运动的时间为ts，当的面积为6cm2时，则t＝____．

【答案】或13或.
解：∵长方形ABCD，∴AD=BC=9cm，CD=AB=8cm，∵AE=2DE，∴AE=6cm，DE=3cm，
当点P在BC边上时，如图，

S△PCE=＝(9-t)×8=6，解得：t=；
当点P在CD边上时，

S△PCE==(t-9)×3=6，解得：t=13；
当点P在DE边上时，

S△PCE==(9+8+3-t)×8=6，解得：t=；
综上，当的面积为6cm2时，则点P运动的时间为s或13s或s．
故答案为：或13或
7.如图，已知周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第一次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝_________．

【答案】0.5或2
解：设运动时间为t（s），当P、Q顺时针相距12cm时，由题意得，解得；
当P、Q逆时针相距12cm，由题意得：，解得，
∴在P、Q第一次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t=0.5或t=2，
故答案为：0.5或2．






9．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．

【答案】或5
解：①当P在AB上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴x•3=5，解得：x=；
当P在BC上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，
∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=5，解得：x=5；
③当P在CE上时，∵△APE的面积为5cm2，∴（4+3+2-x）×3=5，解得：x=（不合题意舍去），
综上所述，x的值为或5，故答案为：或5．
8.如图所示，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形空白（图中阴影部分）．已知每张卡片的短边长度是12厘米，求图中阴影部分的面积．

解：如图所示：

设长方形卡片的长为xcm，依题意得：5x=3×12+3x，解得：x=18．
设图中小正形的边长为ycm，依题意得：y=18-12=6cm，
∴图中阴影部分的面积为：6×6×3=108cm2．



9．某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面，长为100米，长为80米，图案设计如图所示：广场的四角为四个完全相同的长方形（邻边长分别为米和米），阴影部分为四个长方形，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

(1)若，请直接写出四个相同的小正方形面积总和______（用只含的代数式表示）；
(2)若，经过市场调查了解白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元．
①请用含的代数式表示图中所有空白处的面积之和；
②并求出当时，所铺白色地面砖需要资金多少元；
(3)在（2）的条件下，为了增加广场的绿化，现将广场四角的白色正方形地面砖的85%中的一部分改为种植绿色景观，另一部分改为铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元．若广场四角种植绿色景观和铺设绿色地面砖共花费9400元，则应该将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观．
(1)解：根据题意，四个相同的小正方形面积总和为4a2，故答案为：4a2；
(2)解：①根据题意，当b=10时，图中所有空白处的面积之；
②当a=10时，图中所有空白处的面积之和为5200平方米，
∴所铺白色地面砖需要资金为5200×20=104000元；
(3)解：应该将x平方米的白色地面砖改为种植绿色景观，
根据题意，得：，解得：x=300，
答：应该将300平方米的白色地面砖改为种植绿色景观．
10.如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）

解：水不会溢出．设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，
由题意，得，解得，
所以甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深，
因为，所以水不会溢出．
11.如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动．到点停止．若设点运动的时间是秒（）．

(1)点到达点时，______秒；点到达点时．______秒．
(2)当线段长度为时，求的值；
(3)当点在线段上运动时，求线段的长度（用含的代数式表示）（）；
(4)当的面积等于时，直接写出的值．
（1）解：，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，
点到达点的时间秒)，
，点以每秒个单位的速度沿运动，
点从点到达点的时间为：秒)，
点到达点的时间为：秒)，
故答案为：；；
（2）解：当点在线段上时，，则，
，．
当点在线段上时，，，，
综上所述，的长为时，的值为或；
（3）解：当点在线段上时，，
当点在线段上时，；
线段的长度为或；
（4）解：当点在线段上时，，解得：，
当点在线段上时，，解得：，
当点在线段上时，，解得：，
综上所述，当的面积等于时，的值为或或．



考点7：和差倍分问题
典例：为创设一个洁净、美丽的校园环境，培养学生的环保意识和爱护校园的主人翁意识，2021年11月29日，郑州某校组织开展了“弯弯腰捡垃圾，美丽校园我创造”的主题活动．在分发垃圾袋时发现，若每人发2个垃圾袋则多5个，若每人发3个垃圾袋则少4个．问：有多少个学生，准备了多少个垃圾袋？
解：设有x个学生．由题意得：，解得：，垃圾袋有（个）
答：有9个学生，准备了23个垃圾袋．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解．
巩固练习
1．植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（       ）
A．36 B．60 C．100 D．180
【答案】C
解：设这批树苗一共有x棵，由题意得：，解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵，故选C．
2．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，向五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分60个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个橘子，依题意可列方程为（   ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：令有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙人数为x，所列方程正确的是（       ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．
【答案】B
4．某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
解：设初一年级种植盆花，依题意，得
，解得：．则，．
答：初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
5.新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去往甲小区的人数．
解：设延边州志愿者去往甲小区的人数为x名，
由题意得：，解得：，
答：延边州志愿者去往甲小区的人数为4名．
6.为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：
2(64-x)=56+x， 解得x=24；
答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
7.直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．
(1)该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？
(2)该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
（1）解：6000×13%=780（元）答：该粉丝可以到线上客服处返780元．
（2）设电视的单价为x元，则空调的单价为(2x+600)元，
根据题意得x+(2x+600)=6000解得x=1800
∴6000-1800=4200(元)
答：空调的单价为4200元，电视的单价为1800元．








考点8：日历问题
典例：下表所示是2022年元月的月历表．下列结论：

①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；
②可以框出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和是24；
③可以框出一个的矩形块的四个数，这四个数的和是82；
④任意框出一个的矩形块的九个数，这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）．
解：①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确；
②设这一数列上相邻的三个数分别是a-7，a，a+7，
∴a-7+a+a+7=24，解得a=8，∴a-7=1，a+7=15，
∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确；
③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8，
∴b+b+1+b+7+b+8=82，解得b=16.5，
∵b不是整数，∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③错误；
④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c-8，c-7，c-6，c-1，c+1，c+6，c+7，c+8，
∴c-8+c-7+c-6+c-1+c+c+1+c+6+c+7+c+8=9c，得9c=9c，
∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确．
∴其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
方法或规律点拨
本题考查一次方程的应用，重点是通过观察规律设出恰当的未知数（比如a），并用这个未知数（比如a）的式子来表示其他的未知数（比如a+7），从而能够建立一元一次方程．






1．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“ ”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“ ”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．19
【答案】B
最小的数为x，则其余四个数分别为，
∵这五个数的和为53，∴，∴，
∴最小两个数为：，∴最小两个数和为：．故选：B．
2．在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【答案】23
解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，解得：x＝16，∴x＋7＝16＋7＝23，∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
3．如图中，用一个长方形任意圈出四个数字，如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为( )，如圈出的四个数的和是200，那么圈的是四个数中最小的数是( )．

【答案】     a＋30     35
解：由题意可知，长方形圈出的四个数字中上下相邻的两个数相差10，
所以如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以表示为a＋30，
设圈的四个数中最小的数是x，由题意得：，解得：，
即圈的四个数中最小的数是35，
故答案为：a＋30，35．

4．2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．

解：设这个最小的数是.根据题意，
得.解，得.答：这个最小数是12.
5．2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第2次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．

解：设这个最小数为x，则四个数分别为x，x+1，x+7，x+8，
依题意得：x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=64，整理解得：x=12，
答：这个最小数为12．
6．将连续的偶数0，2，4，6，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移）

(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为16，则这5个数的和为________；
(2)十字框内五个数的最小和是________；
(3)设正中间的数为a，用式子表示十字框内五个数的和；
(4)十字框能否框住这样的5个数，它们的和等于2030？若能，求出正中间的数a；若不能，请说明理由．
（1）解：由题意得，这5个数的和为：4+14+16+18+28=80，故答案为：80；
（2）解：设正中间的数为a，则其余4个数分别为a-12，a-2，a+2，a+12，
∴十字框内5个数的和为：（a-12）+（a-2）+a+（a+2）+（a+12）=5a，
由图可知，a≥14，∴5a≥70．故答案为：70；
（3）解：由（2）知十字框内5个数的和为5a；
（4）解：根据题意得，5a=2030，解得，a=406，∴406是第204个偶数，204÷6=34，
所以2030在数阵的第34行第6列，
∴十字框不能框出这样的5个数它们的和等于2030．
7．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
                                               
(1)在图1中，数2022排在第几行第几列？
(2)若，求出d所表示的数；
(3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
（1）因为余6所以在图1中，数2022排在第225行第6列．
（2）设，则，，
因为所以解得
所以即所表示的数为80.
（3）假设的值为2700由题意可知，，同号，，同号则，为正数，，为负数设，则，，
所以解得
因为余3所以660在图1中排在第74行第3列答：所表示的数为660，
在图1中排在第74行第3列.
8．如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为．

(1)请用含的代数式表示框中4个数的和．
(2)框中4个数的和可能是132吗？若能，请求出最小的数．
(1)解：设框中最小的数为x，则x+x+1+x+11+x+12=4x+24；
∴框中4个数的和为x+24．
(2)解：根据题意，得4x+24=132．解得x=27．观察表格中的数据知，x=27符合题意．
答：能，最小的数是27．
考点9：数轴上的动点问题
典例：如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数为－10，点B表示的数为4．

(1)A，B两点间的距离是______．
(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，此时原点O与表示数______的点重合．
(3)若点A，B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向左运动，则几秒时点B追上点A？
(4)若点A，B以（3）中的速度相向而行，则几秒时A，B两点相距2个单位长度？
（1）解：∵点A表示的数为-10，点B表示的数为4，
∴A，B两点间的距离为．故答案为：14．
（2）解：由题知折叠点为AB的中点，即折叠点表示的数为：，
根据对称性可知，原点与−6表示的数关于−3对称．故答案为：−6．
（3）解：设t秒后点B追上点A，根据题意得：，解得：，
答：7秒后点B追上点A．
（4）解：设x秒后A，B两点相距2个单位长度，
①当点A在点B左侧时，根据题意得，x＋3x＋2＝14，解得：x＝3；
②当点A在点B右侧时，根据题意得，x＋3x＝14＋2，解得x＝4，
综上所述，3秒或4秒后A，B两点相距2个单位长度．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的应用和数轴上两点之间的距离，根据数量关系列出方程是解题的关键．


巩固练习
1．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（       ）秒追上点Q．

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
解：设点P运动x秒追上点Q，根据题意得：5x-3x=8-(-6)，解得x=7，
∴点P运动7秒追上点Q，故选：C．
2．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动．3秒后，两点相距12个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：3（速度单位：1个单位长度/秒）．

(1)求两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
(2)若A、B两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，
①问经过几秒钟，原点恰好处于两个动点的正中间；
②再经过多长时间，OB＝2OA？
（1）解：设A点运动的速度为x个单位/秒，点B运动的速度为3x个单位/秒．
根据题意得：3（x+3x）＝12．解得：x＝1．
∴A点运动的速度为1个单位/秒，点B运动的速度为3个单位/秒．
﹣1×3＝﹣3，3×3＝9．3秒时A、B两点的位置如图所示：

（2）解：①设t秒后，原点在AB的中间．
根据题意得：3+t＝9﹣3t．解得：t＝．
②当点B在原点右侧时，
根据题意得：9﹣3t＝2（3+t）．解得：t＝．
当点B在原点的左侧时，
根据题意得：3t﹣9＝2（3+t）．解得：t＝15．
综上所述当t＝秒或t＝15秒时，OB＝2OA．


3．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，秒后，两点相距个单位长度．已知动点、的速度比为：速度单位：每秒个单位长度．

(1)动点的运动速度为每秒______ 个单位长度，动点的运动速度为______个单位长度．
(2)在数轴上标出、两点从原点出发运动秒时的位置；
(3)若表示数的点记为，、两点分别从中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，、两点相距个单位？
（1）设动点A、B的速度分别为xcm/s和3xcm/s，则2（x+3x）=16，解得x=2，∴3x=6，
∴动点A的运动速度为每秒2个单位长度，动点B的运动速度为6个单位长度；故答案为：2，6；
（2）有（1）可得动点A的运动速度为每秒2个单位长度，动点B的运动速度为6个单位长度，
∴两秒后动点A走了4个单位长度，动点B走了12个点位长度∴A：-4，B：12
数轴上表示如图所示：

（3）设运动时间为t，则动点A所表示的数为：-4-2t，动点B所表示的数为：12-6t，
B未追上A时：此时A，B之间的距离为4，且B在A的右侧，∴12-6t-(-4-2t)=4，解得：t=3；
B超过A后：此时A，B之间的距离为4，且B在A的左侧，∴-4-2t-(12-6t)=4，解得：t=5，
答：再经过3秒或5秒，A 、 B 两点相距4个单位．
4．已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点．

(1)______，______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．
（1）∵多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b，∴a＝4，b＝16，
在数轴上画出A、B两点如下：

（2）设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，根据题意得：
3t＝2×|4+3t﹣16|，解得t＝ 或t＝8，
答：运动 秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4，
①点P追上Q之前，16+x﹣（4+3x）＝4，解得x＝4，
②点P追上Q，P还未到达C时，4+3x﹣（16+x）＝4，解得x＝8，
③P到达C后返回，还未与Q相遇时，，解得x＝9，
④P到达C后返回，与Q相遇后时，，解得x＝11，
综上所述，点P和点Q运动4秒或8秒或9秒或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．
5．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．

(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是______；
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为-4；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为=1．故答案为：-4；1；
（2）解：当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度，
根据题意，得：2t+（10-4t）=8，解得t=1；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度，
根据题意，得：（4t-10）-2t=8，解得t=9．
答：当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．






6．已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．

(1)a＝ ，b＝ ；
(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？
（1）∵点A在原点的左侧且到原点的距离是5，
∴点A表示的数是﹣5．
∵点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍，
∴点B表示的数是5×6＝30．
故答案为：﹣5，30；
（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．
①若M，N相向而行，设x秒相遇，则2x＋3x＝35，解得x＝7．
答：经过7秒，点M与N相遇．
②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，则3y＝35＋2y，解得y＝35．
答：经过35秒，点N追上点M．
③设经过t秒点M，N相距15个单位长度．
当点M，N相向运动，且M在N左边时，35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；
当点M，N相向运动，且M在N右边时，
2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．
当M，N都向左运动，且M在N左边时，
则3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．
当M，N都向左运动，且M在N右边时，
3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．
综上所述，经过4，10，20或50秒，点M、N相距15个单位长度．






7．如图，已知数轴上点A表示的数为16，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB＝54，动点P从A点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
(1)写出数轴上点B表示的数 　 　；点P表示的数 　 　（用含t的代数式表示）；
(2)动点P从A点出发多少秒时，AP的长度为24？
(3)动点Q从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问出发多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2？

（1）解：∵AB＝54，点A表示的数是16，且B是数轴上位于点A左侧的一点，
∴点B表示的数是16－54＝－38，
∵动点P从A点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是16－8t，故答案为：－38，16－8t；
（2）解：∵点P从A点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴24÷8＝3，
答：动点P从A点出发3秒时AP的长度为24；故答案为：3秒；
（3）解：分两种情况：①当点P，Q相遇之前，由题意，得8t＋2＋6t＝54，解得t＝；
②当点P，Q相遇之后，由题意，得8t＋6t－2＝54，解得t＝4；
∴若点P，Q同时出发或4秒时，P，Q之间的距离恰好等于2．故答案为：或4秒．
8．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数80，

(1)请直接写出AB的中点M对应的数______；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C对应的数；
(3)若当电子蚂蚁P从点A出发时，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？
(1)解：AB的中点M所对应的数为，故答案为：30．
(2)解：方法一：∵，∴（秒），∴，∴C点对应数为20；
方法二：由题意知，P表示为，Q表示，则，解得，
∴，∴C点对应数为20．
(3)解：由题意知，第一次相距个单位长度的时间为（秒）；
第二次相距个单位长度时间为（秒）；
∴经过15秒或25秒时，P、Q相距25个单位长度．
9．如图，A在数轴上所对应的数为

(1)点B在点A右边，距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是____________；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，此时A，B两点间距离是____________；
(3)在（2）的条件下，现在A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，求经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
(1)解：-2+4=2． 故点B所对应的数是2； 故答案是：2；
(2)解：（-2+6）÷2=2（秒）， 6+2+2×2=12（个单位长度）．故A，B两点间距离是12个单位长度．
故答案是：12；
(3)解：运动后的B点在A点右边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有解得；
运动后的B点在A点左边4个单位长度，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有，解得．
故经过4秒或8秒A，B两点相距4个单位长度
10.如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为4，，．

(1)点表示的数是______，点表示的数是______．
(2)动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒．
①用含的代数式表示：点表示的数为______，点表示是数为______；
②当时，点、之间的距离为______；
③当点在上运动时，用含的代数式表示点、之间的距离；
④当点、到点的距离相等时，直接写出的值．
(1)解：A点在B点左边，B点表示4，AB=8，∴A点表示的数，4-8=-4；
C点在B点右边，BC=2，∴C点表示的数为：4+2=6；
(2)解：①P点向右运动，∴P点表示的数为-4+2t；Q点向左运动，∴Q点表示的数为6-t；
②t=1时，P点-2，Q点5，两点距离=5-（-2）=7；
③∵Q点在右，P点在左，∴两点距离=6-t-（-4+2t）=10-3t，
④当P，Q相遇时，两点到C点距离相等，此时2t+t=10，解得：t=，
当P点在C点右边，Q点在C点左边时，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10，∴t的值为或10；
巩固练习
能力提升

一、选择题
1．新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下列所列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．把9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中a的值为（       ）                         

A．2 B．4 C．6 D．1
【详解】如图，依题意可得2+5+8=3+5+b，解得b=7．∴2+5+8=2+7+c，解得c=6．∴2+5+8=6+8+a，解得a=1．
故选：D．

3．观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】A
解：第1个相同的数是，第2个相同的数是，
第3个相同的数是，第4个相同的数是，，
第个相同的数是，所以，解得．
答：第个相同的数是103，则等于18．故选：．
4．如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程．
例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．
兵兵：          倩倩：
根据以上信息，有下列四种说法：
①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；
②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：
③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；
④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；
其中，正确的是（     ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，由题意，得：，故①正确；
设甲乙两码头的路程为x km，由题意，得，④正确；故答案为：B
5．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（       ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
【答案】B
解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，
根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得：4x＝40，解得：x＝10，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，∴19x+12 x +15﹣26x＝5x+15
∵x＝10，∴5x+15＝5×10+15＝65，即小江身上的钱会剩下65元；故选：B．



6．潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程
计费方法
不超过3公里
起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分
每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分
每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
【答案】C
解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．若，根据题意得，不成立．
若，根据题意得．解得（舍）．
若，根据题意得．解得．
若，根据题意得．
解得（舍）．
若时，根据题意得．
解得（舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C．
二、填空题
7．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下表：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
根据表格提供的信息，可知胜一场积 _____分．
【答案】2
解：观察C队情况，可知胜一场和负一场的积分之和为27÷9=3分．
设胜一场积x分，则负一场积（3﹣x）分．根据A队情况得14x+4（3﹣x）＝32．解得x＝2．
∴胜一场积2分．故答案为：2．
8．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
【答案】200
解：设这列火车的长为x米，根据题意得， ，解得，
∴这列火车的长为200米．故答案为：200
9．我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有x只，那么可列方程为________________．

【答案】
解：设甲原来赶的羊一共有x只，根据题意得：．
故答案为：．
10．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为170米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米．按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作__________天．
【答案】12
设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，
由题意得，2x+（x+x-2）=26，解得x=7，∴乙工程队每天掘进5米，
按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作时间为：
（天）．故答案为：12．
11．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．

【答案】1或7
当0 ∵原点O恰好是线段PQ的中点，∴点P、Q表示的数互为相反数，
∴-5+t+6-2t=0，∴t=1；
当5.5 ∴-5+t+2t-16=0，∴t=7．故答案为：1或7．
12．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：

（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单；
（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）．
【答案】    800     B
（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，
由题意知，，解得，，故答案为：800．
（2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元；
在B图文社印制需要元；∵，∴B图文社更省钱，
故答案为：B．





三、解答题
13．“双十一”活动期间，某羽绒服商家的优惠措施是：购买所有商品先按标价打六折，再享受折后每满200元减30元的优惠．付款可采用“花呗”分3期的方式，还款的费率为2.5%．如图是小亮购买的优惠价和小红“花呗”分3期每期的应付款．（备注：“花呗”是一种消费信用贷款，用户可以“先消费，后付款”）

(1)在此次活动中要购买标价为2350元的羽绒服．
①打折满减后的优惠价为多少元？
②若采用“花呗”分3期付款，则每期应付款为多少元？
(2)在此次活动中购买某羽绒服，若采用“花呗”分3期付款，每期应付款为348.5元，求购买此羽绒服的优惠价及羽绒服标价．
(1)解：①购买标价为2350元的羽绒服，打六折为2350×0.6=1410（元），
满减后的优惠价为1410-7×30=1410-210=1200（元），
答：购买标价为2350元的羽绒服，打折满减后的优惠价为1200元；
②采用“花呗”分3期付款，每期应付款为（元），
答：采用“花呗”分3期付款，则每期应付款为410元；
(2)∵每期应付款为348.5元，
∴打折满减后的优惠价为（元），
设羽绒服标价为x元， 若1000≤0.6x＜1200，可减150元，
则0.6x-150=1020， 解得x=1950，经检验符合题意，
若1200≤0.6x＜1400，可减180元，
则0.6x-180=1020，解得x=2000，经检验符合题意，
若1400≤0.6x＜1600，可减210元，
则0.6x-210=1020，解得x=2050，经检验不符合题意，
∴羽绒服标价标价是1950元或2000元，
答：购买此羽绒服的优惠价是1020元，羽绒服标价是1950元或2000元．




14．(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．

(1)①根据题意得：，解得，答：当为5时，点和点第一次相遇，
②根据题意得：，解得，答：当为15时，点和点第二次相遇；
(2)由已知可得，①当在上，即时，如图：

根据题意得：，解得，
②当在上，即时，如图：

根据题意得：，解得，
③当在上，即时，如图：

根据题意得：，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，当的面积等于9时，的值为秒或秒．