北师大版八年级上册7 二次根式精品复习练习题

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专题2.7 二次根式（一）
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1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
4.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识精讲

知识点01 二次根式的相关概念
【微点拨】
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期末）在式子中，二次根式有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，不是二次根式，不合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、是二次根式，故此选项不合题意；
、，不是二次根式，故此选项符合题意．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如（）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．

【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．（2022·北京朝阳·八年级期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．7 C．9 D．63
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7×9，∴，
∵是整数，∴正整数n的最小值是7，故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
【即学即练】
2．（2022·黑龙江·八年级阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，，解得，
又是整数，a能取的最小整数为0，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．

【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．（2022·河北保定·八年级期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3−2x≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：3−2x≥0，解得：x≤，故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【即学即练】
3.（2022·山东济宁·八年级期中）若二次根式有意义，则a的取值范围是___________．
【答案】a≥-4
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2a+8≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：2a+8≥0，
解得：a≥-4，
故答案为：a≥-4．
【点睛】此题考查二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．（2022·广西贺州·八年级期中）若，则等于（       ）
A．－1 B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴，
∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【即学即练】
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，
∴n-m=故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　

知识点02 二次根式的性质
【微点拨】
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）

【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值（1）
例1．（2022·湖北十堰·八年级阶段练习）已知x满足|2021﹣x|+＝x，那么x﹣20212的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后去绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：∵x−20220，∴x2022，∴2021−x＜0，
∴原式变形为x−2021＋＝x，∴＝2021，
两边平方得：，∴．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和化简绝对值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建龙岩·七年级期中）已知，求的值．
【答案】2023
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的范围，去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即
∴
故
从而，∴，即．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

【知识拓展2】二次根式的化简绝对值（2）
例2．（2022·山东淄博·八年级期末）已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：∵等式成立，∴，解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．
【即学即练2】
2．（2022·浙江杭州·八年级期中）在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系化简求解即可．
【详解】∵a，b，c是△ABC的三边，∴，，
∴|a﹣b+c|﹣2故选：B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，化简绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．

知识点03 二次根式的乘除法
【微点拨】
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．
【答案】         
【分析】（1）利用二次根式的乘法进行计算即可；（2）利用二次根式的除法进行计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
故答案为：（1）；（2）；
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键．
（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．
【答案】(1)(2)7
【分析】（1）先根据乘法分配律和二次根式的乘法运算法则进行计算，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的除法运算法则和逆用积的乘方运算进行计算，再利用平方差公式计算乘法，化简后合并同类项即可．
（1）解：原式==；
（2）解：原式===8-1=7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（　　）
A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除法法则，乘方法则依次计算判断．
【详解】解：A、，故该选项错误；B、3，故该选项正确；
C、（）2＝5，故该选项错误；D、（）2＝3，故该选项错误；故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式乘除法计算法则，乘方法则是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质计算得出答案；
（2）利用二次根式的乘除运算法则及分母有理化计算得出答案．
（1）解：；
（2）解：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，涉及到二次根式的性质、加减乘除相关运算及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【知识拓展2】二次根式的化简
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意得b≥0，所以=．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件判断得出，然后利用二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：，，，
原式；故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题关键．

【知识拓展3】分母有理化
例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案．
【详解】原式== 故选：A．
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
【即学即练3】
3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：= ；
（2）运用分子有理化，比较大小： ；
（3）计算：的值．
【答案】（1）2；（2）＜；（3）9
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣
＝+2﹣
＝2；
（2）﹣＜﹣．
理由： ，
∵>
∴＜
∴﹣＜﹣．
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和比较大小，解答关键是按照相关法则进行计算．

知识点04 最简二次根式
【微点拨】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是(     )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解∶A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
【即学即练1】
1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意.
B、是最简二次根式，符合题意.C、，不是最简二次根式，不符合题意.
D、不是最简二次根式，不符合题意. 故选：B.
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（        ）
A． B． C．边长为3的等边三角形的高 D．
【答案】C
【分析】利用求算术平方根化简二次根式即可，利用勾股定理求三角形的高并化简．
【详解】，A.，B.，
C.，D.，∴只有C选项符合题意．故选：C．
【点睛】考查了二次根式的化简，求等边三角形一边上的高，关键要掌握二次根式的性质和利用勾股定理求三角形的高．
【即学即练2】
2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．
【答案】##
【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．
【详解】解：原式 故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握分母有理化的法则是解题的关键．

能力拓展

考法01 二次根式的符号化简
【典例1】（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知a<0，∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
变式1．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.
∴原式．故选D．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简：|a|．考查二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
变式2．（2022·山东泰安·八年级期中）已知，化简二次根式的正确结果________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出-≥0，求出x、y的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．
【详解】解：要使有意义，必须≥0，解得：，
∵，即，∴故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此
题的关键．

考法02 化简复合二次根式
【典例2】（2022·四川广安·八年级期末）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1；
（2）将转化为：，即可求解；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
（1）解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3即，∴=；故答案为：；
（2）原式．
（3）原式
．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
变式1．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)(2) (3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
（1）
（2）
（3）∵，∴，， ∴
又∵、n为正整数，∴，或者，
∴当时，；当时，．∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
变式2．（2022·湖北随州·八年级期中）阅读下面材料，回答问题：
(1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简．
(3)计算：．
【答案】(1)小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析 (2) (3)-2
【分析】（1）根据的性质来进行判定得出答案；
（2）将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
（3）将被开方数转化为完全平方式，进而根据二次根式的加减进行计算即可求解．
（1）解：小李化简正确，小张的化简结果错误．
；∴小李化简正确，小张的化简结果错误．
（2）；
（3）．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式．
分层提分

题组A 基础过关练
1．（2022·四川·泸县五中八年级期中）下列式子中是二次根式的是(     )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可．
【详解】A．被开方数可以是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项符合题意；
D．根指数是3不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．（2022·广西钦州·八年级期中）若，为实数，且，则代数式的值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，故可求出y的值，即可求解．
【详解】解：依题意可得，解得x=3，∴y=2，∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
3．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）下列各式中，无意义的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．
【详解】解：A．原式，故该选项不符合题意；B．原式，故该选项不符合题意；
C．原式，是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；
D．原式，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则的值为（       ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】根据二次根式和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵2 【点睛】本题考查二次根式和绝对值的综合应用，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题关键．
5．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则化简（       ）
A．m B．-m C．n D．-n
【答案】B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，
∴原式====|m|=-m，故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　
6．（2022·山东烟台·八年级期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先根据，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．
【详解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，①错误；
，②正确；
，③正确；
，④错误；正确的有2个，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（2021·山东泰安·八年级期中）下列各式中，是最简二次根式的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
8．（2022·山东青岛·八年级期中）下列运算中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法法则逐一计算即可得答案．
【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意；
B、，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，故该选项计算正确，符合题意；
D、，故该选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9.（2022•东莞市期末）若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【答案】D
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，故选：D．
10．（2022·湖北恩施·八年级期中）计算：______．
【答案】-4
【分析】根据二次根式的乘法计算即可．
【详解】
故答案为：-4
【点睛】本题考查二次根式的乘法．掌握其运算法则是解题关键．
11．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）若2﹣x，则x的取值范围是 _____．
【答案】x≤2
【分析】根据已知得出x-2≤0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵2﹣x，∴x﹣2≤0，x≤2，则x的取值范围是：x≤2．故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意当a≤0时，．
12．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)2﹣2(2)
【分析】（1）先进行二次根式的乘法与除法运算，再化简运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行二次根式的乘法，再化简运算，再进行加减运算即可．
（1）

（2）


===
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，对相应的运算法则熟练掌握是关键．

题组B 能力提升练
1.（2022·山东烟台·八年级期末）若是整数，则正整数的最小值是（       ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
【详解】解：∵若是整数，则是整数，∴正整数的最小值是3，故选：B．
【点睛】考查了二次根式定义，解题的关键是能够正确的对进行开方化简．
2．（2021·山东泰安·八年级期中）已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二沉池根式有意义的条件求出≥0，求出x、y的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，
∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
3．（2022·山东威海·八年级期中）若成立，且b>0，则a取值范围是(     )
A．a<0 B．a>0 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知，根据题意可得，则，即可求解．
【详解】解：∵，成立，且b>0，∴，，．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，据二次根式的性质化简，掌握二次根式的双重非负性是解题的关键．
4.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】】解：∵x＞0，y＞0，∴故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
5．（2022·河北邢台·八年级期末）若是二次根式，则a的取值范围是______；若是正整数，则正整数a的最小值是______．
【答案】          3
【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．
【详解】解：∵是二次根式，∴300a≥0，解得a≥0；
∵是正整数，且300a=100×3a，∴整数a的最小值是3，故答案为，3．
【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2022·四川绵阳·八年级期中）若a，b为实数，，则_________．
【答案】4
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，解得：，，
，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）已知与满足，求代数式的值．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进一步求出，再将其代入代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，，，
∴．
【点睛】本题考查了代数式求值、二次根式有意义的条件，分母有理化，解题的关键是根据二次根式有意义的条件求出．
9．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）先计算二次根式的除法，再将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
（2）利用二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类二次根式；
（3）先化为最简二次根式，分母有理化，再计算二次根式的加减法．
（1）解：原式===；
（2）原式===；
（3）原式==．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、最简二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·山东济宁·八年级期中）已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；
（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．
（1）解：∵有意义，∴，∴，
∴，∴；故答案为：；；
（2）∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．
11．（2022·全国·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①______；             ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；(2)，；(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案为：，；
（2）①，②；故答案为：，；
（3．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．

题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简二次根式的正确结果是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．
2．（2022·山东威海·八年级期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是(     )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：由规律可得，第n个式子为：．
故选项A、B、D错误，选项C正确 故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．
2．（2022·山东济宁·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．
【详解】解：第个等式：，       
第个等式：，
第个等式：，       
第个等式：，
……
第n个等式：，
∴

=，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．
3．（2022·浙江杭州·八年级期中）设，求不超过的最大整数______．
【答案】
【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．
【详解】解：
，
，
不超过的最大整数．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
4．（2022·湖北武汉·八年级期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_____．
【答案】3
【分析】根据是整数可知是一个完全平方数，即可得出结果．
【详解】∵是整数，∴可知是一个完全平方数，∴的最小值为16，
当时，解得；故答案为：3
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键在于理解完全平方数．

5.若z适合，求z的值．
【答案】3358．
【解析】 ， ∴．
又 ， ， ．
．
即， 解得：．
【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．
7．（2022·河南安阳·八年级阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样+＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴＝＝＝
由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（2）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（3）先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
，          ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．