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【同步讲义】北师大版数学八年级上册：专题3.1 位置与坐标 讲义
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专题3.1 位置与坐标
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1.了解在平面内确定一个物体的位置的方法（一般都需要两个数据）；
2.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
4.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
5.掌握点的坐标变化与图形的轴对称、平移变换之间的关系。
知识精讲
知识点01 确定位置
【知识点】
确定一个物体的位置的方法：
1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；
2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；
3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；
4）区域定位法。
【知识拓展1】确定物体的位置
例1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【即学即练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期中）举世瞩目的2022北京冬季奥运会由北京市和河北省张家口市联合举办，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是（ ）．
A．位于东经114.8°，北纬40.8° B．位于中国境内河北省
C．西边和西南边与山西省接壤 D．距离北京市180千米
【知识拓展2】极坐标定位法
例2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
2．（2022·四川达州·八年级期末）如图，雷达探测器测得六个目标出现，按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为，按照此方法在表示目标的位置时，其中表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】行列定位法与区域定位法
例3．（1）（2022·云南昭通·七年级期末）如果把电影票上“5排3座”记作，那么表示（ ）
A．“4排4座” B．“9排4座” C．“4排9座” D．“9排9座”
（2）（2021·山东济南·八年级期中）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
D
E
F
4
遥墙国际机场
5
济南西站
野生动物世界
6
济南国际园博园
七星台风景区
雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
【即学即练】
3.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 平面直角坐标系
【知识点】
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
2．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
3．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
4．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
5．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（m为常数，表示与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（n为常数，表示与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
【知识拓展1】判断点的象限
例1．（1）（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练1】
1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识拓展2】坐标轴上的点的特征
例2．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________________
【即学即练2】
2．（1）（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）若点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，则a＝_____．
（2）．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【知识拓展3】点到坐标轴的距离
例3．（2021·福建·城郊中学七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
【即学即练3】
3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【知识拓展4】平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例4．（1）（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
（2）．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
【即学即练4】
4．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【知识拓展5】坐标确定点的位置
例5．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】
5．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A．炮 B．兵 C．相 D．车
知识点03 平面直角坐标系中点的变换
【知识点】
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
注意：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
注意：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
【知识拓展1】点在坐标系中的平移
例1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练1】
1.（2022·成都市·八年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
【知识拓展2】图形在坐标系中的平移
例2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．（1）（2022·陕西商洛·七年级期末）已知线段的端点，，将线段平移后，点坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·广西·柳州七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
【知识拓展3】点在坐标系中的轴对称
例3．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【即学即练3】
3．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【知识拓展4】图形在格点中的变换（平移、轴对称）
例4．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【即学即练4】
1．（2022·四川南充·七年级期末）如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为，将三角形AOB向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形．
(1)在图中画出三角形，并分别写出点，，的坐标．(2)求三角形AOB的面积．
2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
能力拓展
考法01 两个重要的公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
【典例1】（2022·湖北省宜昌七年级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
(1)已知点M（2，4），N（3，8），试求M，N两点间的距离；
(2)已知点，判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
变式1．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C的坐标分别是，，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为，则点A、E的坐标分别是______．
考法02 图形中的坐标问题
【典例2】（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
变式1．（2021·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·黑龙江绥化·期末）数对（1，3）表示第1组，第3行，那么小明坐第4组，第5行，用（ ）可以表示他的位置．
A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，5）
6．（2022·河北石家庄·八年级期中）河北省晋州市2021年11月初出现新冠肺炎确诊病例，政府立即采取科学防控措施，迅速控制了疫情发展．下列表述能较为精确地确定晋州市所在位置的是（ ）
A．河北省中南部 B．石家庄东部 C．东经，北纬 D．紧临辛集市
2．（2022·吉林延边·七年级期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（2，3）
3．（2022·贵州六盘水·模拟预测）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
4．（2022·山东临沂·七年级期末）将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（ ）
A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位
B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位
C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位
D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位
5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校七年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是( )
A．(－2，3) B．(－3，2) C．(－3，3) D．(－2，4)
6．（2022·山东临沂·七年级期末）已知点A在第二象限，到x轴的距离是6，到y轴的距离是5，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）已知点M的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．点M在第二象限内 B．点M到x轴的距离为3
C．点M关于y轴对称的点的坐标为 D．点M到原点的距离为5
8．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内
9．（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
10．（2022·陕西安康·七年级期末）将点向右平移3个单位后，落在轴上，则的值为______．
11．（2022·甘肃·兰州市第九十二中学七年级阶段练习）当a=______时，点P（3a+1，a+4）在x轴上．
12．（2022·新疆·和静县第三中学七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
13．（2022·河北石家庄·八年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的小正方形，的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，4）．
(1)请在网格内画出与关于轴成轴对称的；(2)请分别写出三个顶点的坐标．
题组B 能力提升练
1．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；______（2）点M在第二象限，且a为整数；______
5．（2022·福建·福州现代中学八年级期末）若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 _____．
6．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，已知图中A点和B点的坐标分别为和．
(1)请在图1中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；(2)写出点C的坐标为______；(3)在y轴上有点D．满足，则点D的坐标为______；(4)已知第一象限内有两点，．平移线段MN使点M、N分别落在两条坐标轴上．则点M平移后的对应点的坐标是______．
7．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
8．（2022·江苏南通·七年级期中）规定：如果图形是由图形G经过平移所得，那么把图形称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
(1)①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点在y轴上，则点A与点的“友好距离”最小值为______；
(2)若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；(3)如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点在x轴上，求点A与点的“友好距离”．
9.（2022·山西吕梁·七年级期中）先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为．
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．
(1)已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标；
(3)已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由．
10．（2022·贵州黔南·七年级期末）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城的平面示意图安排游玩顺序．(1)如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？表示哪个地点？(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗？
11．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形；(2)直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ；
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点P（a-2，-a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a>2 B．0
A．在第一或二象限 B．在第二或三象限 C．在第三或四象限 D．在第一或四象限
3．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知有序数对及常数k，我们称有序数对为有序数对的“k阶结伴数对”．如的“1阶结伴数”对为即．若有序数对与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．－2 B． C．0 D．
4．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴上，若三角形的面积为（平方单位），则点的坐标为_______．
5．（2021·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
7．（2022·山东德州·七年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
8．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
9．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 _________ ．（只填序号）
①AC = BD；②直线l⊥x轴；③A、B、C三点可能在同一条直线上；④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）.（写出所有正确结论的序号）
10．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，△ABC在直角坐标系中，
(1)把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得△A′B′C′，在图中画出两次平移后得到的图形△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标.(2)如果△ABC内部有一点Q，根据（1）中所述平移方式得到对应点Q′，如果Q′坐标是（m，n），那么点Q的坐标是 .(3)求平移后的三角形面积.
11．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
12．（2022·北京市上地实验学校八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．
(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．
专题3.1 位置与坐标
目标导航
1.了解在平面内确定一个物体的位置的方法（一般都需要两个数据）；
2.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；
3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；
4.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；
5.掌握点的坐标变化与图形的轴对称、平移变换之间的关系。
知识精讲
知识点01 确定位置
【知识点】
确定一个物体的位置的方法：
1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；
2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；
3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；
4）区域定位法。
【知识拓展1】确定物体的位置
例1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【即学即练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期中）举世瞩目的2022北京冬季奥运会由北京市和河北省张家口市联合举办，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是（ ）．
A．位于东经114.8°，北纬40.8° B．位于中国境内河北省
C．西边和西南边与山西省接壤 D．距离北京市180千米
【知识拓展2】极坐标定位法
例2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
2．（2022·四川达州·八年级期末）如图，雷达探测器测得六个目标出现，按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为，按照此方法在表示目标的位置时，其中表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】行列定位法与区域定位法
例3．（1）（2022·云南昭通·七年级期末）如果把电影票上“5排3座”记作，那么表示（ ）
A．“4排4座” B．“9排4座” C．“4排9座” D．“9排9座”
（2）（2021·山东济南·八年级期中）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
D
E
F
4
遥墙国际机场
5
济南西站
野生动物世界
6
济南国际园博园
七星台风景区
雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
【即学即练】
3.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 平面直角坐标系
【知识点】
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
2．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
3．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
4．象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；
（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；
（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；
（6）y轴上的点的坐标满足：；
（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；
（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
5．点到特殊直线（点）的距离：
（1）点到x轴的距离为； 到直线（m为常数，表示与x轴平行的直线）的距离为；
（2）点到y轴的距离为； 到直线（n为常数，表示与y轴平行的直线）的距离为；
（3）点到原点的距离为。
【知识拓展1】判断点的象限
例1．（1）（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练1】
1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识拓展2】坐标轴上的点的特征
例2．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________________
【即学即练2】
2．（1）（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）若点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，则a＝_____．
（2）．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．
【知识拓展3】点到坐标轴的距离
例3．（2021·福建·城郊中学七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．
【即学即练3】
3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【知识拓展4】平行（垂直）于坐标轴的点的特征
例4．（1）（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．
（2）．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．
【即学即练4】
4．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【知识拓展5】坐标确定点的位置
例5．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】
5．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）
A．炮 B．兵 C．相 D．车
知识点03 平面直角坐标系中点的变换
【知识点】
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
注意：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
注意：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
【知识拓展1】点在坐标系中的平移
例1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练1】
1.（2022·成都市·八年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
【知识拓展2】图形在坐标系中的平移
例2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．（1）（2022·陕西商洛·七年级期末）已知线段的端点，，将线段平移后，点坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·广西·柳州七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
【知识拓展3】点在坐标系中的轴对称
例3．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【即学即练3】
3．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【知识拓展4】图形在格点中的变换（平移、轴对称）
例4．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【即学即练4】
1．（2022·四川南充·七年级期末）如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为，将三角形AOB向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形．
(1)在图中画出三角形，并分别写出点，，的坐标．(2)求三角形AOB的面积．
2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
能力拓展
考法01 两个重要的公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
【典例1】（2022·湖北省宜昌七年级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
(1)已知点M（2，4），N（3，8），试求M，N两点间的距离；
(2)已知点，判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
变式1．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C的坐标分别是，，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为，则点A、E的坐标分别是______．
考法02 图形中的坐标问题
【典例2】（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
变式1．（2021·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·黑龙江绥化·期末）数对（1，3）表示第1组，第3行，那么小明坐第4组，第5行，用（ ）可以表示他的位置．
A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，5）
6．（2022·河北石家庄·八年级期中）河北省晋州市2021年11月初出现新冠肺炎确诊病例，政府立即采取科学防控措施，迅速控制了疫情发展．下列表述能较为精确地确定晋州市所在位置的是（ ）
A．河北省中南部 B．石家庄东部 C．东经，北纬 D．紧临辛集市
2．（2022·吉林延边·七年级期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（2，3）
3．（2022·贵州六盘水·模拟预测）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
4．（2022·山东临沂·七年级期末）将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（ ）
A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位
B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位
C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位
D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位
5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校七年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是( )
A．(－2，3) B．(－3，2) C．(－3，3) D．(－2，4)
6．（2022·山东临沂·七年级期末）已知点A在第二象限，到x轴的距离是6，到y轴的距离是5，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）已知点M的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．点M在第二象限内 B．点M到x轴的距离为3
C．点M关于y轴对称的点的坐标为 D．点M到原点的距离为5
8．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内
9．（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（ ）
A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）
10．（2022·陕西安康·七年级期末）将点向右平移3个单位后，落在轴上，则的值为______．
11．（2022·甘肃·兰州市第九十二中学七年级阶段练习）当a=______时，点P（3a+1，a+4）在x轴上．
12．（2022·新疆·和静县第三中学七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；
(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．
13．（2022·河北石家庄·八年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的小正方形，的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，4）．
(1)请在网格内画出与关于轴成轴对称的；(2)请分别写出三个顶点的坐标．
题组B 能力提升练
1．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·山西阳泉·七年级期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；______（2）点M在第二象限，且a为整数；______
5．（2022·福建·福州现代中学八年级期末）若点P（2，a）关于x轴的对称点为Q（b，1），则（a+b）3的值是 _____．
6．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，已知图中A点和B点的坐标分别为和．
(1)请在图1中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；(2)写出点C的坐标为______；(3)在y轴上有点D．满足，则点D的坐标为______；(4)已知第一象限内有两点，．平移线段MN使点M、N分别落在两条坐标轴上．则点M平移后的对应点的坐标是______．
7．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
8．（2022·江苏南通·七年级期中）规定：如果图形是由图形G经过平移所得，那么把图形称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形与G的“友好距离”
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．
(1)①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；
②若点A的“友好图形”点在y轴上，则点A与点的“友好距离”最小值为______；
(2)若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD的面积为10，求点D的坐标；(3)如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点在x轴上，求点A与点的“友好距离”．
9.（2022·山西吕梁·七年级期中）先阅读下面的一段文字，再解答问题．
已知：在平面直角坐标系中，任意两点M()，N（），其两点之间的距离公式为．
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．
(1)已知点A（1，5），B（-3，6），试求A，B两点之间的距离；
(2)已知点A，B在垂直于轴的直线上，点A的坐标为（-5，），AB=8，试确定点B的坐标；
(3)已知点A（0，6），B（-3，2），C（3，2），请判断△ABC的形状，并说明理由．
10．（2022·贵州黔南·七年级期末）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城的平面示意图安排游玩顺序．(1)如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？表示哪个地点？(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗？
11．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形；(2)直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ；
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点P（a-2，-a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a>2 B．0
A．在第一或二象限 B．在第二或三象限 C．在第三或四象限 D．在第一或四象限
3．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知有序数对及常数k，我们称有序数对为有序数对的“k阶结伴数对”．如的“1阶结伴数”对为即．若有序数对与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．－2 B． C．0 D．
4．（2022·辽宁大连·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴上，若三角形的面积为（平方单位），则点的坐标为_______．
5．（2021·福建·城郊中学七年级期中）已知点A（）在第二象限角平分线上，则a的值是___．
6．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．
7．（2022·山东德州·七年级期末）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
8．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
9．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，将A（a，b），B（m，b + 1）（a≠m + 1）两点同时向右平移h（h > 0）个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．下列结论正确的有 _________ ．（只填序号）
①AC = BD；②直线l⊥x轴；③A、B、C三点可能在同一条直线上；④当DE取最小值时，点E的坐标为（m，b）.（写出所有正确结论的序号）
10．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，△ABC在直角坐标系中，
(1)把△ABC向上平移2个单位，再向右平移3个单位得△A′B′C′，在图中画出两次平移后得到的图形△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标.(2)如果△ABC内部有一点Q，根据（1）中所述平移方式得到对应点Q′，如果Q′坐标是（m，n），那么点Q的坐标是 .(3)求平移后的三角形面积.
11．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，6），C（c，3），a，b，c满足．(1)若a＝2，求三角形ABC的面积；(2)将线段BC向右平移m个单位，使平移后的三角形ABC的面积小于3，求m的取值范围；(3)若点D（a+6，6），连接AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围．
12．（2022·北京市上地实验学校八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．
(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．
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