高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品课时作业

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1.4 充分条件与必要条件
思维导图


新课标要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。

知识梳理


“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.







名师导学
知识点1 充分、必要、充要条件的判断（重点）

判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
【例1-1】（2022·浙江浙江·高一期中）已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
命题p：令，可得，即，故或，解得或，
故p是q的必要不充分条件
故选：B
【例1-2】（2022·上海金山·高一期末）若A、B均为集合，则“AÜB”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当A ÜB时，有成立；
当时，有成立，即不能得到A ÜB
故AÜB”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式训练1-1】（2022·湖南邵阳·高一期末）“”是“”的（       ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由可推出，由，即或，推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式训练1-2】（2021·湖南·金海学校高一期中）“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；
求解，得到，故“”是“”的不必要条件；
故选：A
【变式训练1-3】(多选)（2022·湖南·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（       ）
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0
【答案】BCD
【解析】
A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；
B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；
C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；
D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，
故选：BCD
【变式训练1-4】（2022·湖南·高一课时练习）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“”是“”的______；
（2）“，”是“”的______；
（3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的______；
（4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的______．
【答案】     充要条件     既不充分又不必要条件     充分而不必要条件     必要而不充分条件
【解析】
解：（1）若，则，则充分性成立，
若，则，必要性成立，
所以“”是“”的充要条件；
（2）当，则，所以充分性不成立，
当，则，
即推不出，，则必要性不成立，
所以“，”是“”的既不充分又不必要条件；
（3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立，
当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立，
所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件；
（4）若，当时，方程有无数个根，
则是方程的一个根不成立，则充分性不成立，
当是方程的一个根时，则有，则必要性成立，
所以“”是“是方程的一个根”的必要而不充分条件.
故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）必要而不充分条件.


知识点2 充分、必要、充要条件的应用（重难点）
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．(组)进行求解．
【例2-1】（多选）（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
p：或，q：，q是p的充分不必要条件，故，范围对应集合是集合的子集即可，对比选项知AB满足条件.
故选：AB.
【例2-2】（2022·全国·高一期末）若集合，，其中为实数．
（1）若是的充要条件，则________；
（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】         （答案不唯一）
【解析】
（1）由已知可得，则是方程的解，且有，解得；
（2）若不等式对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
当时，，则，
因为是的充分不必要条件，故的取值范围可以是（答案不唯一）.
故答案为：（1）；（2）（答案不唯一）.
【例2-3】（2021·江苏·高一单元测试）已知
（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；
（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.
【解】解：，．
（1）要使是的充要条件，
则，即 此方程组无解，
则不存在实数，使是的充要条件；
（2）要使是的必要条件，则，
当时，，解得；
当时，，解得，
要使，则有
解得，
所以，
综上可得，当实数时，是的必要条件．
【变式训练2-1】（多选）（2021·山东·烟台二中高一阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值可以是（     ）
A．2 B．1 C．0 D．1
【答案】CD
【解析】
，则，．
故选：CD．
【变式训练2-2】（2022·上海虹口·高一期末）设：；：．若是的充分条件，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
令所对集合为：，所对集合为：，
因是的充分条件，则必有，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
【变式训练2-3】（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
【变式训练2-4】（2022·江苏省天一中学高一期末）已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解】（1）集合，所以或，
当时，集合，
所以或；
（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，
因为，所以，解得，
所以实数a的取值范围为

知识点3 充要条件的证明
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．

【例3-1】（2021·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【证明】
充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【变式训练3-1】（2021·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.
证明　①充分性：
因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，
故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．
设方程的两根为x1，x2.
因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．
②必要性：
因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，
设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.
因为x1·x2＝q，所以q＜0.
由①②，命题得证．


名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．
但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2022·河南信阳·高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选：B
3．（2022·江苏·扬州中学高一开学考试）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
解：若，则，
若，当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2022·湖南·高一课时练习）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ）
A．x＞0 B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3 D．x＜0
【答案】A
【解析】
设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，
故选：A
5．（2022·湖南·高一期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
6．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由可得：，解得：，
记，，
若是的充分条件，
则是的子集，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
7．(多选)（2022·湖南·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（       ）
A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
【答案】ABC
【解析】
由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；
由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；
由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；
由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本选项不符合题意，
故选：ABC
8．（多选）（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（       ）
A．是的必要条件 B．是的充分条件
C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件
【答案】BC
【解析】
由题意，，则.
故选：BC.
9．（多选）（2022·湖南·雅礼中学高一期末）若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【解析】
因为是的充分不必要条件，
所以，
所以的可取值有，
故选：CD.
10．（2022·全国·高一课时练习）设p：一元二次方程有实数根，，则p是q的___________条件．
【答案】充要
【解析】
由题可知：一元二次方程有实数根，则
若，则一元二次方程有实数根
所以p是q的充要条件
故答案为：充要
11．（2022·全国·高一课时练习）设集合，那么“”是“”的___________条件．（填“充分”“必要”）
【答案】必要
【解析】
由题可知：，所以“”是“”的必要条件
故答案为：必要
12．（2022·湖北·高一期末）若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）
【答案】，（答案不唯一）.
【解析】
因为当时，一定成立，
而当时，可能，可能，
所以是的充分不必要条件，
故答案为：（答案不唯一）
13．（2022·广西钦州·高一期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】0
【解析】
，
则{x|}＝{x|}，
即.
故答案为：0.
14．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？
(1)对角线相等的菱形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)有一个角是直角的菱形．
【解】(1)菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件；
(2)矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件；
(4)菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件．
15．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知或或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解】由是的必要不充分条件，
所以，则或，解得：.
的取值范围是.

B组-[素养提升]
1．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设不等式的解集为A，对应集合为B，
则由题可知BÜA，，解得.
故选：B.
2．（2021·山东·泰安一中高一阶段练习）已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（       ）
A． B．m∈
C．m∈ D．
【答案】AD
【解析】因为集合
若集合是集合的真子集，
当时，即集合，显然成立；
当时，则或，所以或
所以若集合是集合的真子集，则；
所以是的真子集的充分不必要条件可以是或.
故选：AD.
3．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.
（1）当a=2时，求；
（2）若选 ，求实数a的取值范围.
【解】
（1）当时，集合，，
所以；
（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，
因为，所以又因为，
所以   等号不同时成立，
解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，所以.
因为，所以.
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，
而，且不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或．