人教B版 (2019)必修第二册4.4 幂函数优秀当堂检测题

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这是一份人教B版 (2019)必修第二册4.4 幂函数优秀当堂检测题，共13页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

人教B版（2019）必修第二册《第四章指数函数、对数函数与幂函数》2022年单元测试卷（1）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）若集合A={ x|3−2x<1}，B={ x|x(2x−3)⩽0}，则A∩B=( )
A. (1,2] B. (1,94] C. (1,32] D. (1,+∞)
2.（5分）已知在同一坐标系下，指数函数y=ax和y=bx的图象如图，则下列关系中正确的是( )

A. a C. a>b>1 D. b>a>1
3.（5分）［2021天津-中高一期末］函数f(x)=lnx−3e的零点所在区间为( )
A. (1e,1) B. 1,e C. e,e2 D. e2,e3
4.（5分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22)，则log2f(4)的值为( )
A. 2 B. −3 C. −2 D. 3
5.（5分）已知实数x,y满足ax
A. 1x2+1>1y2+1 B. ln(x2+1)>ln(y2+1)
C. sinx>siny D. x3>y3
6.（5分）函数f(x)=1+log2x与g(x)=21−x的图象大致是( )．
A. B.
C. D.
7.（5分）已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又f(2)=0，则f(x−1)x<0的解集为()
A. (−1,0)∪(1,3) B. (−∞,−1)∪(1,3)
C. (−1,0)∪(3,+∞) D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
8.（5分）如图①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为( )

A. a < b < 1 < c < d B. b < a < 1 < d < c
C. 1 < a < b < c < d D. a < b < 1 < d < c
9.（5分）已知函数y=f(x)为R上的偶函数，若对于x⩾0时，都有f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=log2(x+1)，则f(−2021)+f(2022)等于()
A. 1 B. −1 C. log26 D. log232
10.（5分）定义在R上函数y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且函数f(x+1)是偶函数．若当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ2x，则函数gx=fx−e−x在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )
A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036
11.（5分）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. y=x2 B. y=2x C. y=log21|x| D. y=cosx
12.（5分）若logm2 A. m 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）用“二分法”求函数y=f(x)零点的近似值时，若第一次所取的区间是[0,m]，则第三次所取的区间可能是 ______.(只需写出满足条件的一个区间即可)
14.（5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减，若实数a满足f(2|a−2|)>f(−2)，则a的取值范围是______．
15.（5分）已知函数fx满足当x⩾4时f(x)=(12)x；当x<4时f(x)=f(x+1)，则f(2+log23)=__________.
16.（5分）设函数f(x)=−x,x⩽0x2,x>0，若f(α)=9，则α= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）求下列各式的值：
(1)lg10；
(2)lg100；
(3)lg0.01；
(4)lne5.
18.（12分）已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)=ax−bx2+1，且f(−12)=−25.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性(不用证明)，解不等式f(3t)+f(2t−1)<0.
19.（12分）已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=21og2(1−x)．
(1)求函数f(x)及g(x)的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明：函数g(x)在(0,1)上是减函数；
(3)若关于x的方程f(2x)=m有解，求实数m的取值范围．
20.（12分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km，现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF.
(1)如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求绿地被分成面积相等的两部分时，灌溉水管EF的长度；
(2)如图②，若F在边界AD上，EF=32km，求绿地ΔDEF面积的最大值．

21.（12分）已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)
(1)当a=3时，求方程f(27x)f(3x)=−5的解；
(2)若f(3a−1)>f(a)，求实数a的取值范围；
(3)当a=12时，设g(x)=f(x)−3x+4，求证：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0对x∈(λμ,+∞)恒成立．
22.（12分）已知函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0,1)．
(1)求k的值并求函数f(x)的值域；
(2)若关于x的方程f(x)=x+m，x∈[0,1]有实根，求实数m的取值范围；
(3)若g(x)=f(x)+ax为偶函数，求实数a的值．

答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：集合A={ x|3−2x<1}，B={ x|x(2x−3)⩽0}，
解得：A={ x|x>1},B={ x|0⩽x⩽32}，
所以A∩B={ x|1 故选：C．
由A，B，可解去具体x范围，再由A与B的交集定义数形结合法求交集．
此题主要考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.【答案】C;
【解析】【试题解析】

这道题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．
根据指数函数的图象和性质即可得到结论．

解：很显然a，b均大于1；
当x=1时，a1>b1，
故bb>1．
故选：C．

3.【答案】C;
【解析】∵f(1e)=ln1e−3e=−1−3e<;0，f(1)=ln1−3e=−3e<;0，f(e)=lne−3e=1−3e<;0，f(e2)=lne2−3e=2−3e>;0，∴f(e)⋅f(e2)<;0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)=lnx−3e的零点所在区间是(e,e2)，故选C.

4.【答案】D;
【解析】
推导出f(2)=2a=22，从而f(x)=x32，进而f(4)=432=8，由此能求出log2f(4)的值．
该题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

解：∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,22)，
∴f(2)=2a=22，a=32
解得f(x)=x32，
∴f(4)=432=8，
∴log2f(4)=log28=3．
故选D．

5.【答案】D;
【解析】
这道题主要考查利用指数函数、对数函数的性质等比较大小，属于较易题．
利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键，举特例排除即可．

解：∵实数x，y满足ax ∴x>y，
对于A选项，若x=1，y=−1时，满足x>y，但1x2+1=1y2+1=12，故1x2+1>1y2+1不成立．
对于B选项，若x=1，y=−1时，满足x>y，但ln(x2+1)=ln(y2+1)=ln2，故ln(x2+1)>ln(y2+1)不成立．
对于C选项，当x=π，y=0时，满足x>y，此时sinx=sinπ=0siny=sin0=0，有sinx=siny，所以sinx>siny不成立．
对于D选项，∵函数y=x3为增函数，故当x>y时，x3>y3恒成立，
故选D．

6.【答案】C;
【解析】
该题考查指数函数和对数函数的图象及图象平移规律，解答该题的关键是掌握图象的平移规律，属于基础题．
根据图象的平移规律，确定图象与坐标轴的交点，及两个图象的交点，即可得到结论．

解：函数f(x)=1+log2x的图象是由函数y=log2x的图象向上平移一个单位得到，与x轴的交点为(12,0)，
函数g(x)=21−x的图象是由函数y=2−x的图象向右平移1个单位得到，与y轴的交点为(0,2)，两个图象的交点为(1,1)．
观察四个图象，只有C符合．
故选C．

7.【答案】A;
【解析】解：∵f(x)是奇函数，在(0,+∞)上是增函数，且f(2)=0，
∴f(x)在(−∞,0)上是增函数，f(−2)=f(2)=0，
∴当02时，f(x)>0，
∴f(x−1)x<0等价于{f(x−1)<0x>0或{f(x−1)>0x<0，
即{00或{−22x<0，
∴1 故不等式f(x−1)x<0的解集为：(−1,0)∪(1,3).
故选：A.
先确定f(x)在(−∞,0)是增函数，f(−2)=0，再将不等式f(x−1)x<0转化为{f(x−1)<0x>0或{f(x−1)>0x<0，即可求得结论．
此题主要考查函数奇偶性与单调性的结合，考查利用函数的单调性解有关函数值的不等式，属于中档题．

8.【答案】B;
【解析】
该题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
可在图象中作出直线x=1，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a、b、c、d与1的大小关系，选出正确选项．

解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是(1,b)，(1,a)，(1,d)，(1,c)

故有b 故选：B．

9.【答案】A;
【解析】解：因为x⩾0时，都有f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+4)=f(x)，函数的周期T=4，
所以f(2022)=f(2)=−f(0)=0，f(2021)=f(1)=1，
因为f(x)为偶函数，所以f(−2011)=f(2011)=f(1)，
所以f(−2021)+f(2022)=1+0=1.
故选：A.
由已知先求出x>0时函数的周期，然后结合周期性及偶函数定义把所求函数值转化到已知区间上，即可求解．
此题主要考查了函数的周期性及奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．

10.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了函数的奇偶性、周期性，考查了数形结合思想，属于中档题.
函数g(x)=f(x)−e−|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数⇔函数f(x)的图象与y=e−|x|的图象交点个数，由题意得f(x)是周期为2的偶函数，根据当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ2x，作出y=f(x)与y=(1e)|x|图象，结合图象即可得答案．
解：函数g(x)=f(x)−e−|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数⇔函数f(x)的图象与y=e−|x|的图象交点个数，
由y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，得f(x)是偶函数，即f(−x)=f(x)，
又∵函数f(x+1)是偶函数，∴f(x+1)=f(−x+1)，故f(x+2)=f(−x)=f(x)，
因此，f(x)是周期为2的偶函数，
∵当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ2x，
作出y=f(x)与y=(1e)|x|图象如下图，

可知每个周期内有两个交点，所以函数g(x)=f(x)−e−|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018×2=4036.
故选D.

11.【答案】C;
【解析】解：在A中，y=x2是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，故A错误；
在B中，y=2x是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增，故B错误；
在C中，y=log21|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减，故C正确；
在D中，y=cosx是偶函数，在(0,+∞)上不是减函数，故D错误．
故选：C．
在A中，y=x2在(0,+∞)上单调递增；在B中，y=2x是非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增；在C中，y=log21|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减；在D中，y=cosx在(0,+∞)上不是减函数．
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

12.【答案】C;
【解析】解：若logm2log2m>log2n，∴1>m>n，
故选：C．
利用对数函数的单调性和特殊点，可得0>log2m>log2n，再利用不等式的性质求得 1>m>n，从而得出结论．
此题主要考查对数函数的单调性和特殊点，不等式的性质，属于基础题．

13.【答案】[0，m4]，[m4，m2]，[m2，3m4]，[3m4，m];
【解析】解：根据题意，用“二分法”求函数y=f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[0,m]，
则第二次所取的区间可能为[0,m2]、[m2,m]，
则第三次所取的区间可能是[0,m4],[m4,m2],[m2,3m4],[3m4,m]，
故答案为：[0,m4],[m4,m2],[m2,3m4],[3m4,m].(写出满足条件的一个区间即可，写开区间也给分)
根据题意，由二分法的步骤分析可得答案．
此题主要考查二分法的应用，注意二分法的步骤，属于基础题．

14.【答案】（−∞，32）∪（52，+∞）;
【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减，
则f(x)在(0,+∞)上递增；
则f(2|a−2|)>f(−2)⇒f(2|a−2|)>f(2)⇒2|a−2|>2，
变形可得：2|a−2|>212，即|a−2|>12，
解可得：a<32或a>52，即a的取值范围为(−∞,32)∪(52,+∞)；
故答案为：(−∞,32)∪(52,+∞)．
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2|a−2|)>f(−2)⇒f(2|a−2|)>f(2)⇒2|a−2|>2，变形可得：2|a−2|>212，解可得a的取值范围，即可得答案．
该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．

15.【答案】124;
【解析】
此题主要考查分段函数求值及指数对数的性质，判断的范围代入相应的解析式求值即可．

解：
因为3<2+log23<4，所以f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).
因为3+log23>4，所以f(3+log23)=(12)3+log23=(12)3.(12)log23=124，
即f(2+log23)=124.
故答案为124.

16.【答案】-9或3;
【解析】解：由题意可得α⩽0−α=9或α>0α2=9
∴α=−9或α=3
故答案为：−9或3
根据分段函数的解析式，结合f(α)=9，即可求得α的值．
该题考查分段函数，解答该题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．

17.【答案】解：（1）lg10=1；
（2）lg100=2；
（3）lg0.01=-2；
（4）lne5=5．;
【解析】
直接利用对数运算法则化简求解即可．
此题主要考查对数运算法则的应用，是基础题．

18.【答案】解：（1）定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=ax−bx2+1，则f（0）=0，即-b=0，解得b=0，
又f(−12)=−25，即−12a14+1=-25，解得a=1，
∴f（x）=xx2+1；
（2）由（1）得f（x）=xx2+1，f（x）在（-1，1）上单调递增，
任取a,b∈（-1，1），且-1＜a＜b＜1，则f（a）-f（b）=aa2+1-bb2+1=(a−b)(1−ab)(a2+1)(b2+1)，
∵-1＜a＜b＜1，∴a-b＜0，1-ab＞0，
∴f（a）-f（b）＜0，即f（a）＜f（b），
∴f（x）在（-1，1）上单调递增，
∵f（3t）+f（2t-1）＜0，∴f（3t）＜-f（2t-1）=f（1-2t），
∴{−1＜3t＜1−1＜1−2t＜13t＜1−2t，解得0＜t＜15，
∴不等式的解集为（0，15）．;
【解析】
(1)由题意得f(0)=0，又f(−12)=−25，求解即可得出答案；
(2)由(1)得f(x)=xx2+1，判断：f(x)在(−1,1)上单调递增，根据单调性和奇偶性，即可得出答案．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：（1）根据题意：f（-x）+g（-x）=2log2（1+x）；
∴-f（x）+g（x）=2log2（1+x），联立f（x）+g（x）=2log2（1-x）得：
f（x）=log2（1-x）-log2（1+x）=log21−x1+x，g（x）=log2（1+x）+log2（1-x）=log2(1−x2)；
即f(x)=log21−x1+x，g(x)=log2(1−x2)；
（2）设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：
g(x1)−g(x2)=log2(1−x12)−log2(1−x22)；
∵0＜x1＜x2＜1；
∴x12＜x22；
∴1−x12＞1−x22；
∴log2(1−x12)＞log2(1−x22)；
∴g（x1）＞g（x2）；
∴g（x）在（0，1）上是减函数；
（3）f(2x)=log21−2x1+2x=log2(−1+21+2x)；
∵1-2x＞0；
∴0＜2x＜1；
∴12＜11+2x＜1；
∴0＜−1+21+2x＜1；
∴f（2x）＜0；
∴m＜0；
∴m的取值范围为（-∞，0）．;
【解析】
(1)根据f(x)，g(x)的奇偶性便有−f(x)+g(x)=2log2(1+x)，联立f(x)+g(x)=2log2(1−x)便可解出f(x)=log21−x1+x，g(x)=log2(1−x2)；
(2)根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈(0,1)，且x11−x22，根据对数函数的单调性便可得出g(x1)>g(x2)，从而得出g(x)在(0,1)上单调递减；
(3)求出f(2x)=log2(−1+21+2x)，根据1−2x>0便可得出1+2x的范围，从而得出−1+21+2x的范围，根据对数函数的单调性便可得出f(2x)的范围，从而便可得出m的取值范围．
考查奇函数、偶函数的定义，对数的运算，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较g(x1)，g(x2)，对数函数的单调性，分离常数法的运用．

20.【答案】解：（1）∵AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，
∴AB=3，
取AB中点G，

则四边形BCEF的面积为12S梯形ABCD=S梯形BCEG+S△EFG，
即12×12×3×(1+2)=12×32×(1+32)+12GF×32，解得GF=36，
故EF=(32)2+(36)2=213，
故灌溉水管EF的长度为213km．
（2）设DE=a，DF=b，
在△ABC中，CA=12+(3)2=2，

∵在△ADC中，AD=DC=CA=2，
∴∠ADC=60°，
∴S△DEF=12absin60°=34ab，
又∵S梯形ABCD=332，
∴34ab=334，解得ab=3，
在△ADC中，由余弦定理可得，EF=a2+b2−ab≥ab=3，当且仅当a=b=3时，等号成立，
故绿地△DEF面积的最大值为334．;

【解析】
(1)根据已知条件，结合12S梯形ABCD=S梯形BCEG+SΔEFG，即可求解．
(2)根据已知条件，结合余弦定理，以及基本不等式的公式，即可求解．
此题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于难题．

21.【答案】解：（1）当a=3时，f（x）=log3x，
∴f（27x）f（3x）=（log327-log3x）（log33+log3x）=（3-log3x）（1+log3x）=-5，
解得：log3x=4，或log3x=-2，
解得：x=81，或x=19；
（2）∵f（3a-1）＞f（a）=1，
①当0＜a＜1时，0＜3a-1＜a，解得：0＜a＜12，
②当a＞1时，3a-1＞a，解得：a＞1，
综上可得：0＜a＜12，或a＞1；
证明：（3）当a=12时，g（x）=f（x）-3x+4=log12x-3x+4为减函数，
由g（2）=-1-9+4=-6＜0，
故g（x）＜0对x∈（2，+∞）恒成立．
故对任意λ＞0，都存在μ=2λ＞0，使得λμ=2，
即对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0对x∈（λμ，+∞）恒成立．;
【解析】
(1)当a=3时，f(x)=log3x，f(27x)f(3x)=(log327−log3x)(log33+log3x)=(3−log3x)(1+log3x)=−5，解得答案；
(2)分讨论满足不等式f(3a−1)>f(a)=1的a的范围，综合讨论结果，可得答案；
(3)当a=12时，g(x)=log12x−3x+4为减函数，且g(x)<0对x∈(2,+∞)恒成立．进而得到答案．
该题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

22.【答案】解：（1）函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P（0，1），
可得log2（1+k）=1，解得1+k=2，即k=1，
可得f（x）=log2（2x+1），由2x+1＞1，可得f（x）＞log21=0，
即f（x）的值域为（0，+∞）；
（2）关于x的方程f（x）=x+m，x∈[0，1]有实根，
可得log2（2x+1）=x+m在[0，1]有解，
即有2x+1=2x•2m，
可得2m=1+2-x，
由0≤x≤1，可得1+2-x∈[32，2]，
可得m的范围为[log232，1]；
（3）g（x）=f（x）+ax为偶函数，
即为g（x）=log2（2x+1）+log22ax=log2（2x+ax+2ax）为偶函数，
可得g（-x）=g（x），即log2（2-x-ax+2-ax）=log2（2x+ax+2ax），
即为2-x-ax+2-ax=2x+ax+2ax，
可得22ax（2x+1）=1+2-x，
即为2x22ax（2x+1）=1+2x，
即有x+2ax=0恒成立，可得2a=-1，即a=-12．;
【解析】
(1)由f(0)=1，可得k=1，由指数函数的值域和对数函数的单调性可得值域；
(2)由题意可得log2(2x+1)=x+m在[0,1]有解，由指数函数的单调性，可得所求范围；
(3)由偶函数的定义，结合对数的运算性质，解方程可得a的值．
该题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程有解的条件，以及函数的值域，考查运算能力，属于基础题．