高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二章直线和圆的方程
综合测试题(原卷版)
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y－1＝0的倾斜角为( )
A．30°　　 B．60°
C．120° D．150°
2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是( )
A．外离　　 B．外切
C．相交　　 D．内含
3．已知直线l经过点(2,1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0
4．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6－2 B．8
C．4 D．10
5．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
7．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝( )
A．14　　 B．34
C．14或45　　 D．34或14
8．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 B．2
C．0 D．－1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法错误的是( )
A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件
B．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
10．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
11．已知ab≠0，点M(a，b)为圆x2＋y2＝r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( )
A．m∥l B．l⊥m
C．l与圆相交 D．l与圆相离
12．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知三角形的三个顶点是A(6,7)，B(4,0)，C(0,3)，则AB边上的高所在的直线方程的点斜式为 　.
14．设O为原点，点M在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上运动，则|OM|的最大值为_ _.
15．倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x＋a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a＝ 　.
16．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是 　.当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是 　.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2023·大连海湾高级中学高一检测)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线方程；
(2)求过点P且与原点距离最大的直线方程．








18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程






．
19．(本小题满分12分)过点M(1,2)的直线l：
(1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线l的方程；
(2)若l与坐标轴交于A、B两点，原点O到l的距离为1时，求直线l的方程以及△AOB的面积．








20．(本小题满分12分)已知圆C经过P(－3，－3)，Q(2,2)两点，且圆心C在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．







21．(本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.

问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)








22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l被圆C截得的弦长为2，求k的值；
(2)是否存在实数k，使圆C上存在点P，满足P点关于坐标原点O的对称点Q恰好在直线l上，若存在，求出k的值或范围，若不存在，请说明理由．




第二章直线和圆的方程
综合测试题(解析版)
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y－1＝0的倾斜角为( D )
A．30°　　 B．60°
C．120° D．150°
[解析]　∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－.
设其倾斜角为θ(θ∈[0°，180°))，则tan θ＝－.
∴θ＝150°.故选D.
2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是( C )
A．外离　　 B．外切
C．相交　　 D．内含
[解析]　将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，所以C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.从而|C1C2|＝＝3，所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2.因此两圆的位置关系为相交．
3．已知直线l经过点(2,1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为( A )
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0
[解析]　因为直线l与直线2x－y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k满足：k×2＝－1，
即k＝－，
又直线l经过点(2,1)，由直线方程的点斜式得
y－1＝－×(x－2)，
即x＋2y－4＝0，
故选A.
4．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( B )
A．6－2 B．8
C．4 D．10
[解析]　易知点A关于x轴对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＝10.故所求最短路程为10－2＝8.
5．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝( A )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
[解析]　由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1,3)，
代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12.故选A.
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( D )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
[解析]　∵点P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，
∴点P为切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．
又圆心为(2,0)，设切线斜率为k，
∴·k＝－1，解得k＝.
∴切线方程为x－y＋2＝0.
7．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝( D )
A．14　　 B．34
C．14或45　　 D．34或14
[解析]　设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
圆C2的方程可化为(x－7)2＋(y－1)2＝50－a.
由两圆相切得，|C1C2|＝r1＋r2或|C1C2|＝|r1－r2|，
∵|C1C2|＝＝5，
∴r2＋1＝5或|1－r2|＝5⇒r2＝4或r2＝6或r2＝－4(舍去)．
因此，50－a＝16或50－a＝36⇒a＝34或a＝14，故选D.
8．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( C )
A．1 B．2
C．0 D．－1
[解析]　如图，由题意可知平行四边形OAMB为菱形，

又∵OA＝OM，∴△AOM为正三角形．
又OA＝2，∴OC＝1，且OC⊥AB.
∴＝1，∴k＝0.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法错误的是( ACD )
A．“a＝－1”是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件
B．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角θ的取值范围是∪
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
[解析]　当a＝0时，两直线方程分别为y＝1和x＝2，此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线的斜率k＝－sin α，则－1≤k≤1，即－1≤tan θ≤1，则θ∈∪，故B说法正确；当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程为x＝x1或y＝y1，此时直线方程＝不成立，故C说法错误；若直线过原点，则直线方程为y＝x，此时也满足条件，故D说法错误．
10．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( BC )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
[解析]　所给直线上的点到定点M距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．
A．因为d＝＝3>4.故直线上不存在点M距离等于4，不是“切割型直线”；
B．因为d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；
C．因为d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；
D．因为d＝＝>4，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”．
11．已知ab≠0，点M(a，b)为圆x2＋y2＝r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( AD )
A．m∥l B．l⊥m
C．l与圆相交 D．l与圆相离
[解析]　因为kMO＝，
∴直线m的方程为y－b＝－(x－a)，
即ax＋by－a2－b2＝0，∵M在圆内，∴a2＋b2 ∴m∥l.又圆心到l距离为d＝>r，∴l与圆相离．
12．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( ACD )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
[解析]　圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，∴直线AB与圆心相离，所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：

当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，CD选项正确．故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知三角形的三个顶点是A(6,7)，B(4,0)，C(0,3)，则AB边上的高所在的直线方程的点斜式为 y－3＝－(x－0)　.
[解析]　因为kAB＝＝，
所以AB边上的高所在的直线的斜率为－，
所以AB边上的高所在的直线的方程为y－3＝－(x－0)．
故答案为y－3＝－(x－0)．
14．设O为原点，点M在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上运动，则|OM|的最大值为_6__.
[解析]　圆心C的坐标为(3,4)，
∴|OC|＝＝5，
∴|OM|max＝5＋1＝6.
15．倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x＋a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a＝ ±1　.
[解析]　倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为：y＝(x－a)，即x－y－a＝0，圆心(－a,0)到直线的距离为＝|a|，所以3a2＋1＝4，得a＝±1.
16．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是 半径为2的圆　.当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是 2　.
[解析]　以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，因为＝，所以＝，
两边平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8.
当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为×2×2＝2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2023·大连海湾高级中学高一检测)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线方程；
(2)求过点P且与原点距离最大的直线方程．
[解析]　(1)当直线斜率不存在时，方程x＝2适合题意．
当直线斜率存在时，设直线方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0，
则＝2，解得k＝.
∴直线方程为3x－4y－10＝0.
∴所求直线方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线，kOP＝－，则所求直线的斜率为2.
∴直线方程为y－(－1)＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
[解析]　(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，又d＝，
∴＝，解得m＝±1，∴所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．(本小题满分12分)过点M(1,2)的直线l：
(1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线l的方程；
(2)若l与坐标轴交于A、B两点，原点O到l的距离为1时，求直线l的方程以及△AOB的面积．
[解析]　(1)当l过原点时，设l方程为y＝kx，
∴2＝k，
∴l方程为y＝2x，
当l不过原点时，设l方程为＋＝1，
①a＝b时，把M(1,2)代入得＋＝1，∴a＝3，l方程为x＋y－3＝0；
②a＝－b时，把M(1,2)代入得－＝1，a＝－1，l方程为x－y＋1＝0.
综上所述，直线l的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
(2)依题，直线l斜率存在，设其为k，设l方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
∴原点O到l的距离d＝＝1，则k＝，
∴直线l的方程为3x－4y＋5＝0；△AOB的面积S＝××＝.
20．(本小题满分12分)已知圆C经过P(－3，－3)，Q(2,2)两点，且圆心C在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
[解析]　(1)设圆心C(c,0)，则半径R2＝(c＋3)2＋9＝(c－2)2＋4，则c＝－1，R2＝13，圆C方程：(x＋1)2＋y2＝13.
(2)由于kPQ＝＝1，且l∥PQ，设l：y＝x＋b，则线段AB的中垂线(过圆心C)为：x＋y＋1＝0，则线段AB中点⇒，以线段AB为直径的圆半径r2＝2＝13－2＝13－，则以线段AB为直径的圆方程为：2＋2＝13－，又由题意知过原点，
则2＋2＝13－，则b＝4或－3，
所以直线l：x－y＋4＝0或x－y－3＝0.
21．(本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.

问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
[解析]　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程x2＋y2＝252.

直线AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．
设持续时间为t，
则t＝＝0.5(h)，
即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h.
22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l被圆C截得的弦长为2，求k的值；
(2)是否存在实数k，使圆C上存在点P，满足P点关于坐标原点O的对称点Q恰好在直线l上，若存在，求出k的值或范围，若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，化为标准方程：(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设圆心C到直线l的距离为d，则d＝＝，
因为直线l被圆C截得的弦长为2，
所以d2＋()2＝4，解得：d＝＝1，解得：k＝2＋或k＝2－；
(2)假设存在点P，符合题意．
因为点P在圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4，
所以P点关于坐标原点O的对称点Q在(x＋2)2＋(y＋2)2＝4，
所以直线l与(x＋2)2＋(y＋2)2＝4有公共点，即，
整理得：(1＋k2)x2＋(4＋2k)x＋1＝0，
只需：Δ＝(4＋2k)2－4(1＋k2)≥0，解得：k≥－.