高中数学2.4 圆的方程优秀同步训练题

第二章 直线和圆的方程

章末测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分)

1．(2020·福建高二学业考试)已知直线：，：，若，则实数(    )

A．－2 B．－1 C．0 D．1

【答案】D

【解析】已知直线：，：，因为，所以故选：D

2．(2020·洮南市第一中学高一月考)直线与互相垂直，则的值是(    ).

A．-0.25 B．1 C．-1 D．1或-1

【答案】D

【解析】当时，，此时，，显然两直线垂直，

当时，此时，，显然两直线不垂直，

当且时，因为，所以，解得：，

综上可知：或.故选D.

3．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)直线()过定点，则点的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据直线得，

故直线过定点为直线和的交点，

联立方程得，解得 ，所以定点的坐标为.故选：B.

4．(2020·广东高二期末)设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件,

【答案】C

【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且解得故选

5．(2020·黑龙江高一期末)若曲线y＝与直线y＝k(x﹣2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)

A． B． C．(1，+∞) D．(1，3]

【答案】A

【解析】作出曲线y＝的图像，

直线y＝k(x﹣2)+4恒过定点，

当直线与曲线相切时，原点到直线的距离等于，，解得，

由图可知， ，故选：A

6．(2020·浙江柯城。衢州二中高三其他)已知直线与圆有公共点，则的最大值为(    )

A．4 B． C． D．

【答案】C

【解析】因为表示圆，所以，解得，

因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，

即 ，解得，此时，

 因为，在递增，所以的最大值.

故选：C

7．(2020·广东高一期末)若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝(    )

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】由直线与平行可得即，

则直线与的距离为，

所以，解得或(舍去)，所以.故选：A.

8．(2020·北京市第五中学高三其他)过直线y＝x上的一点作圆的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为(    )

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【解析】如图所示，过圆心作垂直直线于点，直线分别与圆相切，切点分别为，根据几何知识可知，直线也关于直线对称，所以直线的夹角为(或其补角)．

在中，，，所以，而为锐角，即有，．

故选：C．

二、多选题(每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分)

9．(2020·江苏省苏州第十中学校高一期中)圆和圆的交点为A，B，则有(    )

A．公共弦AB所在直线方程为

B．线段AB中垂线方程为

C．公共弦AB的长为

D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

【答案】ABD

【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，

两式作差可得，

即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；

对于B，圆的圆心为，，

则线段AB中垂线斜率为，

即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；

对于C，圆，圆心到的距离为

，半径

所以，故C不正确；

对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为

，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD

10．(2020·江苏徐州.高一期末)已知直线，则下列说法正确的是(    )

A．若，则m=-1或m=3 B．若，则m=3

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【解析】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；

，则，，C错，D正确．

故选：BD．

11．(2020·江苏扬州.高一期末)已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为(    )

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】圆的标准方程为：，故.

又因为弦的中点为，

故点在圆内，所以即.

综上，.

故选：AB.

12．(2020·江苏省江阴高级中学高一期中)下列说法正确的是(    )

A．直线必过定点

B．直线在轴上的截距为

C．直线的倾斜角为60°

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】ABD

【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；

令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；

可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；

设过点且垂直于直线的直线的斜率为

因为直线的斜率为，所以，解得

则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；

故选：ABD

第II卷(非选择题)

三、填空题(每题5分，共20分)

13．(2020·湖南张家界。高一期末)圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________.

【答案】

【解析】圆的圆心为，与直线相切，

圆心到直线的距离等于半径，即，

圆的方程为．

故答案为：．

14．(2020·勃利县高级中学高一期末)经过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为_____.

【答案】x+2y﹣4＝0；

【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y﹣1＝k(x﹣2)，k＜0，

令x＝0可得，y＝1﹣2k，令y＝0可得x＝2﹣，

则＝，

当且仅当﹣4k＝﹣即k＝﹣时取等号，

此时直线方程y﹣1＝﹣(x﹣2),即x+2y﹣4＝0．

故答案为：x+2y﹣4＝0．

15．(2020·包头市田家炳中学高二期中)在圆内，过点的最短弦的弦长为_____；

【答案】

【解析】圆化简得：，

点在圆内部，记圆心为，

根据几何性质知过且与垂直的弦最短，，

由垂径定理得弦长为.

故答案为：

16．(2019·浙江拱墅。杭州四中高二期中)圆与圆内切，则的值为______.

【答案】或

【解析】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，

解得或.故答案为：或.

四、解答题(17题10分，其余12分，共70分)

17．(2020·福建高二学业考试)已知圆的方程为．

(1)写出圆心的坐标与半径长；

(2)若直线过点，试判断与圆的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)圆心的坐标为，半径长；(2)相交，理由见解析．

【解析】(1)圆心的坐标为，半径长．

(2)当直线垂直于轴时，直线方程为，与圆有2个交点；

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，

将代入整理，得，

因为，且恒成立，所以直线与圆相交．

综上所述，直线与圆相交．

18．(2020·勃利县高级中学高一期末)已知圆C：(x+2)2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.

(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

(2)若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

【答案】(1)相交，理由见解析；(2)

【解析】(1)直线：，也即，

故直线恒过定点，

又，故点在圆内，

此时直线一定与圆相交.

(2)设点，

当直线斜率存在时，，

又，，

即，

化简可得：；

当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.

故点的轨迹方程为：.

19．(2020·民勤县第一中学高一期末(理))已知圆和直线.

(1)证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；

(2)求直线被圆截得的弦长最小时直线的方程；

(3)已知点P()在圆C上，求的最大值.

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).

【解析】(1)因为

所以令解得

所以直线过定点.

而，即点在圆内部.

所以直线与恒交于两点.

(2).过圆心与点的直线的方程为，

被圆截得的弦长最小时，直线必与直线垂直，

所以直线的斜率，

所以直线的方程为，即.

(3)因为，表示圆上的点到的距离的平方，

因为圆心到原点的距离

所以

20．(2020·广东高一期末)在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．

(1)求圆C的方程；

(2)设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；

(3)设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，

∴圆C的半径，

则圆C的方程为；

(2)∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，

∴点到直线的距离，解得，

∴k的取值范围为；

(3)联立，得，

由，解得，

设，

则，

∵，∴，

即，

∴，解得，符合题意，

∴．

21．(2020·武汉市新洲区第一中学高一月考)已知圆C：关于直线对称，圆心C在第四象限，半径为1.

(1)求圆C的标准方程；

(2)是否存在直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，或.

【解析】(1)将圆C化为标准方程，得

∴ 圆心C()，半径

由已知得或

又C在第四象限， ∴

 ∴圆C的标准方程为

(2)当直线过原点时，l斜率存在，则设 ，则

此时直线方程为；

当直线不过原点时，设 ，则

解得 ，此时直线方程为：或

综上，所求直线的方程为：或

22．(2020·江苏淮安。高一期末)平面直角坐标系中，已知点，圆与x轴的正半轴的交于点Q．

(1)若过点P的直线与圆O相切，求直线的方程；

(2)若过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B．

①设线段的中点为M，求点M纵坐标的最小值；

②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．

【答案】(1)和；(2)①； ②是定值，．

【解析】(1)圆的圆心为，半径为2，

若过点直线垂直于x轴，则方程为，与圆相切，符合题意；

若过点直线不垂直于x轴，设直线的斜率与k，

则直线方程为，即，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以切线方程为；

综上得：切线的方程为和；

(2)①设点，因为M为弦中点，所以，

又因为，，

所以由得化简得．

联立得或；

又因为点M在圆内部，

所以点M的轨迹是圆中以点和为端点的一段劣弧(不包括端点)，

由即，令得，

根据点在内部，所以点M纵坐标的最小值是；

②由题意点,联立得，

设，则，

所以

．

所以是定值，定值为．