【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.2.2真、假命题与定理 教案

这是一份【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.2.2真、假命题与定理 教案，共8页。教案主要包含了真命题与假命题，证明，举反例，基本事实，互逆定理等内容，欢迎下载使用。

第2章　三角形
2.2 命题与证明
第2课时 真、假命题与定理
教学目标
1.会判断一个命题的真假，了解反例的作用.
2.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念.
3.会用基本事实去判定其他命题的真假.
教学重难点
重点：命题的真假判断、举反例.
难点：知道利用反例来判断一个命题是假命题.
教学过程
探究新知
一、真命题与假命题
教师：判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的条件和结论，并判断此命题是否正确.
（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
（3）相等的角是对顶角；
（4）任意两个直角都相等.
学生独立思考，学生代表回答，其他同学纠正补充，最后总结结果：四个语句都是命题.
命题（1）的条件是“两直线相交”，结论是“只有一个交点”；
命题（2）的条件是“两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补”，结论是“这两条直线平行”；
命题（3）的条件是“两个角相等”，结论是“它们是对顶角”；
命题（4）的条件是“两个角是直角”，结论是“它们相等”.
其中（1）（2）（4）是正确命题，（3）是错误命题.
教师总结：我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
也就是说，如果命题的条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题是真命题；如果命题的条件成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题是假命题.
设计意图
通过分析语句，练习了找命题的条件和结论，更容易回答出命题的正确与否.
二、证明
问题：判断一个命题为真命题的依据是什么？
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
三、举反例
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.我们通常把这种方法称为“举反例” .
例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.
注意：所举的反例一定要符合命题的条件，但不满足命题的结论.
四、基本事实、定理与推论
师：在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.
古希腊数学家欧几里得对他那个时代的数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
我们把少数真命题作为基本事实.
举例：两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
教师：请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线.
师生活动
学生代表回答，如果出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，教师点评.
教师归纳：上述问题中（1）（4）（5）的正确性是经过推理证实的，把经过证明为真的命题叫作定理.
定理证明的一般过程：
图示：
定理也可以作为判断其他命题真假的依据.由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.

右边的结论称为三角形内角和定理的推论，也可称为“三角形外角定理”.
五、互逆定理
师：命题“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
学生代表回答，其他同学补充纠正，教师引导，得出结论.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是“如果∠1＝∠2，那么∠1和∠2是对顶角.”
逆命题是假命题.
注意：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
师：命题“内错角相等，两直线平行”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是“两直线平行，内错角相等”.
逆命题是真命题.
师：根据上面的例子，对逆命题和原命题真假的关系进行归纳.
总结：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
例 试着判断下列定理有没有逆定理：
（1）对顶角相等；
（2）等角的补角相等；
（3）两直线平行，同旁内角互补.
学生代表回答，其他同学补充纠正，教师引导，得出结论.
解：（1）其逆命题是：相等的角是对顶角.这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．
（2）其逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.这个逆命题正确，原定理有逆定理．
（3）其逆命题是：同旁内角互补，两直线平行.这个逆命题正确，原定理有逆定理．
归纳：判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
课堂练习
1.下列命题是真命题的是（　　）
A.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2＝b2，那么a＝b
D.如果两角是同位角，那么这两角一定相等
2. 下列命题是假命题的是（　　）
A.如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D.两直线平行，内错角相等
3.下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加上同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等.
4.举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
图1
5. 完成下面的证明过程：
已知：如图1所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.
证明：∵ ∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（ ），
∴ ∠1＝ （等量代换），
∴ ∥ （ ），
∴ ∠C＝∠4（ ）.
又∵ ∠C＝∠D（已知），
∴ ∠D＝∠4（ ），
∴ DF∥AC（ ），
∴ ∠A＝∠F（ ）.
参考答案
1.A 2.C
3.解：（1）（4）假命题，（2）（3）（5）真命题.
4．（1）直角三角形的两个锐角的和不是钝角；
图2
（2）-1和-3的积是-1×（-3）>0，-1和-3不是正数；
（3）两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如图2），它们的同位角不相等.
5.证明：∵ ∠1＝∠2（已知），∠2＝∠3（对顶角相等），
∴ ∠1＝∠3（等量代换），
∴ DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠C＝∠D（已知），
∴ ∠D＝∠4（等量代换），
∴ DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容：

布置作业
教材第55页练习
板书设计
2.2　命题与证明
第2课时　真、假命题与定理
1.真命题与假命题：
2.基本事实：
3.定理和推论：
4.证明：
5.举反例：
6.互逆定理：

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