数学八年级暑期专项02 几何梳理（原卷版+解析版）

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专项②——几何梳理
一、基础几何
① 勾股求边
② 平行四边形性质
③ 平行四边形判定
二、中档小综合
三、尺规作图
① 角平分线+作弧
② 作弧（求作□）
③ 过一点作已知直线的垂线
④ 作垂直平分线（到两点的距离相等）
四、倒二压轴几何
① 菱形求证（综合）——二次≌
② 勾股、等积综合求边
③ 特殊底角（30°、45°、60°）——>过顶点作垂直
④ 半角模型
⑤ 三垂模型
⑥ 手拉手模型
⑦ 等边三角形求证（定点定长——共圆）
⑧ 动态分析范围——找临界

专项②——几何梳理
一、基础几何
① 勾股求边
1. （2022 初二下期末仓山区考）如图，菱形的对角线相交于点O，若，求的长．

2. （2022 初二下期末外国语）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）

② 平行四边形性质
3. （2022 初二下期末一中）如图，四边形ABCD是平行四边形，DF=BE，求证：AE=CF．

4. （2022 初二下期末厦门双十）如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF．

5. （2022 初二下期末仓山区考）如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，若，求证：．

6. （2022 初二下期末十六中）如图所示，已知点，在的对角线上，且．求证：．

③ 平行四边形判定
7. （2022 初二下期末晋安九校联考）已知：如图，点E，F分别在□的AB，DC边上，且，连接DE，BF．求证：四边形DEBF是平行四边形．

8. （2022 初二下期末福州质检）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．

9. （2022 初二下期末屏东）如图，在中，，点在的延长线上，且．
求证：四边形是矩形．

10．（2022 初二下期末立志）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．

11. （2022 初二下期末外国语）如图，矩形ABCD对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．

二、中档小综合
12. （2022 初二下期末晋安九校联考倒五）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．

13. （2022 初二下期末福州质检倒三）如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G，F．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的长．

三、尺规作图
① 角平分线+作弧
14. （2022 初二下期末十六中倒五）已知：如图1，为锐角三角形，．

求作：菱形．
作法：如图2．

①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
③以点为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点，点和点分别位于的两侧，连接，；则四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：由作法可知，平分．
，
．
，
四边形是平行四边形（）（填推理的依据）．
，
四边形是菱形（）（填推理的依据）．

② 作弧（求作□）
15. （2022 初二下期末外国语倒五）如图，在中，，D为AB边上的点．
（1）求作：平行四边形ADCE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，已知，求四边形ADCE的面积．

16. （2022 初二下期末仓山区考倒三）如图1，．
（1）尺规作图：求作；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，在（1）的条件下，M、N分别是上的点，连接，交于点O，若把面积分成相等的两部分．求证：．

③ 过一点作已知直线的垂线
17. （2022 初二下期末台江区考倒四）如图，中，是中线．
（1）过点C作，垂足E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当时，求的长．

④ 作垂直平分线（到两点的距离相等）
18. （2022 初二下期末厦门双十倒四）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，，．
（1）尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；②求线段CF的长．

19. （2022 初二下期末屏东倒三）如图，在中，，以为底作等腰三角形，且，直线，垂足为．
（1）在直线上确定一点，使得是以为底等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的情况下，连接，与交于点，求证：点平分．

四、倒二压轴几何
① 菱形求证（综合）——二次≌
20. （2022 初二下期末仓山区考倒二）如图，正方形，点E，F是对角线上的两点，，连接，，和关于直线对称．点G在上，连接．
（1）求的度数；
（2）如备用图，延长交于点H．连接
①求证：四边形是菱形；
②求值．

② 勾股、等积综合求边
21. （2022 初二下期末一中倒二）如图，正方形ABCD中，，在边CD的右侧作等腰三角形DCE．使，记为，连接AE，过点D作，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．
（1）求的大小（用的代数式表示）；
（2）试判断AF和EF的数量关系和位置关系并证明；
（3）当时，求点E到CD的距离．

③ 特殊底角（30°、45°、60°）——>过顶点作垂直
22. （2022 初二下期末立志倒二）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC，垂足为F．
（1）如图1，连接DE交AC于点M，若∠DEF＝15°．
①求∠ADE的度数；
②求DM的长；
（2）如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG＝BE，连接BF，DG，求证：DG＝BF．

23. （2022 初二下期末十六中倒一）平行四边形中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点O．
（1）如图，若，求的度数；
（2）若，
①当的长为多少时，四边形是矩形．
②设，，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围.

④ 半角模型
24. （2022 初二下期末晋安九校联考倒二）
（1）如图1所示，已知正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：；
（2）如图2所示，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）中的结论证明：．

25. （2022 初二下期末厦门双十倒二）如图1，在正方形ABCD中，E是AB边上的一动点（不与B重合），，，DH交BC于点G，连接BH．
（1）若，E为AB的中点，请直接写出线段DE和DH的长度．______，______．
（2）探究线段BH与AE的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，连接EG，比较∠GEH和∠BEH的大小关系，并说明理由．

⑤ 三垂模型
26. （2022 初二下期末福州质检倒二）在正方形中，，为对角线、的交点．
（1）如图1，延长，使，作正方形，使点落在的延长线上，连接、．求证：；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，连接、.求点到的距离．

⑥ 手拉手模型
27. （2022 初二下期末外国语倒二）在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点，连接AE，过点B作于点F，交AD于点H．
（1）如图1，求证：；
（2）当点E运动到CD的中点时，连接DF．
①求证：FD平分；
②若正方形边长为2，求DF的长．

⑦ 等边三角形求证（定点定长——共圆）
28. （2022 初二下期末台江区考倒二）已知菱形ABCD，∠BAD＝60°，直线BH不经过点A，D，点A关于直线BH的对称点为E，CE交直线BH于点P，连接AP．
（1）如图1，当直线BH经过点C时，点E恰好在DB的延长线上，点P与点C重合，则∠AEP＝______°，线段EA与EP之间的数量关系为______，说明理由；
（2）当直线BH不经过点C，且在菱形ABCD外部，时，如图2，
①依题意补全图2；
②（1）中的结论是否发生改变？若不改变，请证明；若改变，说明理由．

⑧ 动态分析范围——找临界
29. （2022 初二下期末屏东）如图，中，，，，的平分线交于点，的平分线交于点，连接，
（1）证明：；
（2）点在线段上（不包括端点），是否存在的情形？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

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