数学八年级暑期专项01 运算梳理（原卷版+解析版）

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 专项①——运算梳理
一、计算
① 二次根式
1. （2022 初二下期末 外国语）计算：
【答案】1
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法及平方差公式进行计算，再合并即可．
【详解】解：原式=
=
=
=1
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2. （2022 初二下期末 晋安九校联考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再计算加、减；
（2）利用乘法分配律和平方差公式去括号，再相加、减即可．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：

．
【点睛】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点．
3. （2022 初二下期末 一中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘法及平方差公式可进行求解；
（2）先对二次根式进行化简，然后再进行二次根式的加减运算．
【小问1详解】
解：原式=；
【小问2详解】
解：原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．



4. （2022 初二下期末 仓山区考）计算：
【答案】1-
【解析】
【分析】先算乘法，算术平方根，取绝对值，再合并；
【详解】原式
＝1-；
【点睛】本题考查二次根式的运算和绝对值的运算，解题的关键是掌握绝对值的运算及二次根式运算的相关法则．
5. （2022 初二下期末 屏东）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的化简及性质，完全平方差公式展开后，进行加减运算．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及性质，完全平方差公式，二次根式的加减法，解题的关键是掌握相应的运算法则．
6. （2022 初二下期末 厦门双十）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2；（2）+1．
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先利用二次根式的乘法和除法计算，再合并，即可求解．
【详解】解：（1）
=3-2+
=2；
（2）


=+1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
7. （2022 初二下期末 台江区考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】（1）分别化简各项，再作加减法即可求解；
（2）利用平方差公式展开，再作加减法即可求解．
【详解】（1）；


；
（2）．


．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用．
② 一元二次方程
8．（2022 初二下期末 立志）解方程：
（1）（x+1）2＝16；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x+1）2＝16，
∴x+1＝4或x+1＝﹣4，
解得x1＝3，x2＝﹣5；
（2）∵2x2﹣5x+3＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9. （2022 初二下期末 十六中）解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
分析】（1）运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先去括号，然后移项合并同类项，最后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
（x-5）(x+1)=0，
∴，；
【小问2详解】
解：


x(x-2)=0
∴，．
【点睛】题目主要考查应用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程方法解题关键．
10. （2022 初二下期末 一中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【小问1详解】

，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
，
移项，得，
合并同类项，得，
配方法，得，
即，
∴ ，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选用解法是解题的关键．
11. （2022 初二下期末 福州质检）解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12. （2022 初二下期末 台江区）考解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移向合并同类项，再利用配方法进行求解即可；
（2）先去移项把原方程变为，然后利用因式分解的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：




∴，
【小问2详解】
解：


∴，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
二、一元二次方程的根
① 已知根的情况，判断△，列不等式
13. （2022 初二下期末 十六中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】且m≠0
【解析】
【分析】根据根与判别式的关系得到关于m的不等式，解不等式即可得解．
【详解】解：由已知可得：
（2m-3）2-4m2>0，且m≠0
解之可得：且m≠0．
【点睛】本题考查一元二次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及一元一次不等式的解法是解题关键 ． 　


② 求证总有实数根
14．（2022 初二下期末 立志）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；
（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；
【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
∴1+a+3+a+1＝0，
解得a＝﹣2.5；
（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
15. （2022 初二下期末 屏东）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）a>4
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可．
【小问1详解】
证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1)
=a2-4a+4
=(a-2)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：x2-ax+a-1=0，
x=，
∴x1=1，x2=a-1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a-1>3，
解得a>4，
即a的取值范围为a>4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
16. （2022 初二下期末 外国语）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，，即，从而列出关于方程，解出即得出结果．
【小问1详解】
解：，
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，


，
即，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．
17. （2022 初二下期末 一中 倒五）已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 ．
【答案】(1)证明见解析； (2)5+
【解析】
【分析】（1）方程为一元二次方程，计算出根的判别式，由此即可得出结论；
（2）根据勾股定理可以解得，算出的周长.
【详解】（1）方程为一元二次方程，

∴一元二次方程有两个实数根.
即：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根．
（2）由题意：
在中，



(不合题意，舍去)
的周长
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.