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第08讲 拓展一：基本不等式-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）
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这是一份第08讲 拓展一：基本不等式-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考），文件包含第08讲拓展一基本不等式解析版docx、第08讲拓展一基本不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16460" 基本不等式必背知识 PAGEREF _Tc16460 \h 1
\l "_Tc31379" 基本不等式高频考点类型 PAGEREF _Tc31379 \h 3
\l "_Tc14944" 类型一：直接法 PAGEREF _Tc14944 \h 3
\l "_Tc25474" 类型二：凑配法 PAGEREF _Tc25474 \h 6
\l "_Tc20784" 类型三：分离法 PAGEREF _Tc20784 \h 8
\l "_Tc9430" 类型四：换元法 PAGEREF _Tc9430 \h 11
\l "_Tc3074" 类型五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc3074 \h 13
\l "_Tc18321" 类型六：消元法 PAGEREF _Tc18321 \h 16
\l "_Tc15196" 类型七：对钩函数 PAGEREF _Tc15196 \h 18
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基本不等式必背知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.
5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点类型
类型一：直接法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A. 当时，，故错误；
B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
C. 当时，，故错误；
D.由重要不等式得，故错误；
故选：B
例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是2D．的最小值是2
【答案】B
【详解】对于A，D：不能保证x>0，故错；
对于B：，当且仅当x=0时取等号，故正确；
对于C: ，令，则，
则，,所以上是增函数，
所以在上的最小值是，故C错;
故选：B
例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的最小值是
C．当时，
D．的最小值是
【答案】BC
【详解】若，则，显然不满足，A错误；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；
若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.
故选：BC.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（ ）
A．有最小值2B．有最小值2
C．时，有最大值-2D．时，有最小值2
【答案】C
【详解】解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；
对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；
对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选;C.
3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对A，当且仅当即等号成立；
对B，当且仅当即等号成立；
对C，当且仅当即时等号成立；
对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．
故选：D．
类型二：凑配法
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．4
C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【详解】因为，
所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：B
例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以＝，
当且仅当，即时等号成立，
故选：C.
例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【详解】因为,
,
当且仅当，即时取得等号，
即的最小值为12，
故选：C
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，
则
（当且仅当，也即时取等号）
所以的最小值为，
故选：.
2．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：D.
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________；
【答案】3
【详解】，当，即时取等号，又，故当时取得最小值.
故答案为：3.
4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．
【答案】(1)4
(2)5
【详解】（1）由题意可得：，解得.
（2）由（1）可得：，
∵，则，
∴，当且仅当，即时等号成立，
所以，函数f(x)的最小值为5.
类型三：分离法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】C
【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：C.
例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】A
【详解】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．
【答案】
【详解】当时，
当，.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时
，即.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.
综上所述，函数的值域为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________.
【答案】
【详解】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）
求函数的最小值．
【答案】
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最小值.
类型四：换元法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
例题2．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数 的最小值为______．
【答案】7
【详解】令，；则
(当且仅当，即时，等号成立)，
故函数 ，的最小值为
故答案为：7
2．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．
【答案】
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
类型五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．8D．9
【答案】D
【详解】由正数m，n满足，即，所以，
所以，
当且仅当，即时，取得等号.
故选：D.
例题3．（2023春·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.
【答案】##1.6
【详解】因为，所以.
所以
,
当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
故答案为:.
练透核心考点
1．（2023春·海南·高一统考学业考试）设，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【详解】因为，，且，则有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
2．（多选）（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1B．的最小值是4
C．的最大值是D．的最小值是1
【答案】AC
【详解】正数x，y满足.
对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.
所以的最大值是1.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；
对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，
所以，
所以当时，的最大值是.故C正确；
对于D：因为正数x，y满足，所以，
所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.
故选：AC
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）正实数a，b满足，则的最小值为__________．
【答案】##
【详解】解：由题得.
当且仅当时，取等号，所以的最小值为.
故答案为：
类型六：消元法
典型例题
例题1．（2023秋·天津·高三统考期末）若，，，则的最小值为_______．
【答案】##
【详解】因为，，，
所以，
又因为可得，
所以，
，
又因为
，
当且仅当即时取等，
则，
所以的最小值为.
故答案为：.
例题2．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的最小值为8
C．的最小值为3D．的最小值为4
【答案】ABD
【详解】因为，所以且a > 0，可得.
又且b > 0，可得，故A正确；
,即，当且仅当时等号成立，故B正确；
因为，所以.
所以,
当且仅当时等号成立，故C错；
将代入，可得
,
当且仅当时等号成立，此时，故D正确.
故选：ABD.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）
A．有最小值为+1B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4
【答案】A
【详解】解：因为 a＞0，b＞0，且2a+b＝1，
所以，
所以，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值为+1，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
则，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
类型七：对钩函数
典型例题
例题1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（ ）．
A．有最小值4B．有最大值4C．无最小值D．有最大值5
【答案】C
【详解】因为，令，则，由于在单调递减，在单调递增，故在单调递减，故，
故选：C．
例题2．（2023·高一课时练习）下列函数的最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；
对于B，，因为，
根据对勾函数的性质可得，故B错误；
对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.
故选：C.
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解法1：
时，，则，即，
故在上恒成立，
令，则，故，
∵在上单调递减，在上单调递增，且，
∴当时，，则，
故，即的取值范围为．
解法2：
令开口向上，
若，则，解得，
故的取值范围为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．（其中）
C．D．（其中）
【答案】B
【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故错误；
对于B，因为，所以，
所以，当，即时，等号成立，故正确；
对于C，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故错误；
对于D，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
即，故错误.
故选：B.
3．（2023·高一课时练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（1，4）
【答案】A
【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16460" 基本不等式必背知识 PAGEREF _Tc16460 \h 1
\l "_Tc31379" 基本不等式高频考点类型 PAGEREF _Tc31379 \h 3
\l "_Tc14944" 类型一：直接法 PAGEREF _Tc14944 \h 3
\l "_Tc25474" 类型二：凑配法 PAGEREF _Tc25474 \h 6
\l "_Tc20784" 类型三：分离法 PAGEREF _Tc20784 \h 8
\l "_Tc9430" 类型四：换元法 PAGEREF _Tc9430 \h 11
\l "_Tc3074" 类型五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc3074 \h 13
\l "_Tc18321" 类型六：消元法 PAGEREF _Tc18321 \h 16
\l "_Tc15196" 类型七：对钩函数 PAGEREF _Tc15196 \h 18
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
基本不等式必背知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.
5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点类型
类型一：直接法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A. 当时，，故错误；
B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
C. 当时，，故错误；
D.由重要不等式得，故错误；
故选：B
例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是2D．的最小值是2
【答案】B
【详解】对于A，D：不能保证x>0，故错；
对于B：，当且仅当x=0时取等号，故正确；
对于C: ，令，则，
则，,所以上是增函数，
所以在上的最小值是，故C错;
故选：B
例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的最小值是
C．当时，
D．的最小值是
【答案】BC
【详解】若，则，显然不满足，A错误；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；
若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；
若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.
故选：BC.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（ ）
A．有最小值2B．有最小值2
C．时，有最大值-2D．时，有最小值2
【答案】C
【详解】解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；
对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；
对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选;C.
3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对A，当且仅当即等号成立；
对B，当且仅当即等号成立；
对C，当且仅当即时等号成立；
对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．
故选：D．
类型二：凑配法
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．4
C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【详解】因为，
所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：B
例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以＝，
当且仅当，即时等号成立，
故选：C.
例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【详解】因为,
,
当且仅当，即时取得等号，
即的最小值为12，
故选：C
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，
则
（当且仅当，也即时取等号）
所以的最小值为，
故选：.
2．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：D.
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________；
【答案】3
【详解】，当，即时取等号，又，故当时取得最小值.
故答案为：3.
4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．
【答案】(1)4
(2)5
【详解】（1）由题意可得：，解得.
（2）由（1）可得：，
∵，则，
∴，当且仅当，即时等号成立，
所以，函数f(x)的最小值为5.
类型三：分离法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】C
【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：C.
例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】A
【详解】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．
【答案】
【详解】当时，
当，.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时
，即.
若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.
综上所述，函数的值域为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________.
【答案】
【详解】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）
求函数的最小值．
【答案】
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最小值.
类型四：换元法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
例题2．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）函数在上的最大值为_______________．
【答案】
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022秋·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数 的最小值为______．
【答案】7
【详解】令，；则
(当且仅当，即时，等号成立)，
故函数 ，的最小值为
故答案为：7
2．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．
【答案】
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
类型五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．8D．9
【答案】D
【详解】由正数m，n满足，即，所以，
所以，
当且仅当，即时，取得等号.
故选：D.
例题3．（2023春·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.
【答案】##1.6
【详解】因为，所以.
所以
,
当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
故答案为:.
练透核心考点
1．（2023春·海南·高一统考学业考试）设，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【详解】因为，，且，则有，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
2．（多选）（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1B．的最小值是4
C．的最大值是D．的最小值是1
【答案】AC
【详解】正数x，y满足.
对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.
所以的最大值是1.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；
对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，
所以，
所以当时，的最大值是.故C正确；
对于D：因为正数x，y满足，所以，
所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.
故选：AC
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）正实数a，b满足，则的最小值为__________．
【答案】##
【详解】解：由题得.
当且仅当时，取等号，所以的最小值为.
故答案为：
类型六：消元法
典型例题
例题1．（2023秋·天津·高三统考期末）若，，，则的最小值为_______．
【答案】##
【详解】因为，，，
所以，
又因为可得，
所以，
，
又因为
，
当且仅当即时取等，
则，
所以的最小值为.
故答案为：.
例题2．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的最小值为8
C．的最小值为3D．的最小值为4
【答案】ABD
【详解】因为，所以且a > 0，可得.
又且b > 0，可得，故A正确；
,即，当且仅当时等号成立，故B正确；
因为，所以.
所以,
当且仅当时等号成立，故C错；
将代入，可得
,
当且仅当时等号成立，此时，故D正确.
故选：ABD.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）
A．有最小值为+1B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4
【答案】A
【详解】解：因为 a＞0，b＞0，且2a+b＝1，
所以，
所以，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值为+1，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
则，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
类型七：对钩函数
典型例题
例题1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（ ）．
A．有最小值4B．有最大值4C．无最小值D．有最大值5
【答案】C
【详解】因为，令，则，由于在单调递减，在单调递增，故在单调递减，故，
故选：C．
例题2．（2023·高一课时练习）下列函数的最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；
对于B，，因为，
根据对勾函数的性质可得，故B错误；
对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.
故选：C.
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】解法1：
时，，则，即，
故在上恒成立，
令，则，故，
∵在上单调递减，在上单调递增，且，
∴当时，，则，
故，即的取值范围为．
解法2：
令开口向上，
若，则，解得，
故的取值范围为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】命题p：“，”，即，
设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，
故选：B．
2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．（其中）
C．D．（其中）
【答案】B
【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故错误；
对于B，因为，所以，
所以，当，即时，等号成立，故正确；
对于C，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故错误；
对于D，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
即，故错误.
故选：B.
3．（2023·高一课时练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（1，4）
【答案】A
【详解】由题意知：在[3,4]上的最大值大于或等于在[4,8]上的最大值即可．
当时，，
由对勾函数的性质得：在[3,4]上单调递增，故．
当时，单调递增，则，
所以，可得．
故选：A
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
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