第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19874" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc19874 \h 2
\l "_Tc25507" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc25507 \h 3
\l "_Tc1797" 高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围 PAGEREF _Tc1797 \h 3
\l "_Tc29921" 方法一：完全分离参数法 PAGEREF _Tc29921 \h 3
\l "_Tc19125" 方法二：部分分离参数法 PAGEREF _Tc19125 \h 7
\l "_Tc13492" 高频考点二：已知零点个数求解参数范围 PAGEREF _Tc13492 \h 12
\l "_Tc5939" 方法一：完全分离参数法 PAGEREF _Tc5939 \h 12
\l "_Tc9585" 方法二：部分分离参数法 PAGEREF _Tc9585 \h 19
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第一部分：知识点必背
1、分离变量法
在处理含参的函数不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程，转化为这样就将把研究含参函数与轴的位置关系的问题转化为不含参的函数与动直线的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数范围
核心知识点：将与0的大小关系转化成和的大小关系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数范围
核心知识点：
将转化成，应用导数方法绘制函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围
方法一：完全分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；
故选：B
例题2．（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若时，，，
，故有，
所以在处的切线方程为，即.
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
例题3．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由题知，，
所以，
当时，
因为，
所以，
所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
极小值为，无极大值.
（2）因为对于任意，都有成立，
所以，
即问题转化为，对于恒成立，
即，对于恒成立，
令，
所以，
令，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以函数，
要使，对于恒成立，只要，
所以，即，
所以实数的取值范围为；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：，使得为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【详解】令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
若命题为真命题，则，即，
若命题为假命题，则，即的取值范围为.
故答案为：.
2．（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）当时，，
所以，
所以函数图象在处的切线方程为，即.
（2）恒成立，即恒成立，
于是恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，单调递增，
所以，对恒成立，即对恒成立，于是恒成立，
设，
当时，单调递增；当时，单调递减，
，
所以的最小值是.
3．（2023秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期末）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）
(1)求的解析式及单调递减区间；
(2)若存在，使函数成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，单调递减区间是和.
(2).
【详解】（1）
解：由及得函数的定义域为，
由题意 解得，
故，此时，
由得或，
所以函数的单调递减区间是和.
（2）解：因为，
由已知，若存在使函数成立，
则只需满足当时，即可．
又，
则，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
∴，又∵，∴．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
又，又，满足题意，
综上所述，的取值范围，即.
方法二：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，
因为，所以函数在R上单调递增.
因为有解，即有解，
所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.
解法一：令，则.
①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，，
解得.综上，实数的取值范围为.
解法二:若，则有解. 令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，即.
若，则有解，易知恒小于零，
所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.
解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，
由有解，得函数的部分图象在直线的下方，
所以，数形结合可知.
若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.
若，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在关于x的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
设，原问题转化为：不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，函数恒过点，，
，当时，单调递减，当时，单调递增，故，两个函数的图象在同一直角坐标系内如下图所示：
要想不等式的解集中，有且仅有两个大于2的整数，只需满足：
，
故选：D
例题3．（2023秋·浙江·高三期末）已知函数 ，若恒成立，则的最小值是______________．
【答案】1
【详解】由题意可知，当时，恒成立，即恒成立，
作出函数的图象如图示，
，即在原点处的切线斜率为1，
由图象可知，当时，即有时，恒成立，
故当时，恒成立，则；
当时，恒成立，即恒成立，
设，所以在内恒成立，
即在上单调递减，所以，则，
综上所述，k的最小值为1，
故答案为：1
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意设g（x）＝xex，y＝ax﹣a，
∵g′（x）＝（x+1）ex，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
∴g（x）min＝g（﹣1），
∵y＝ax﹣a恒过定点P（1，0），
∴结合函数图象得，KPA≤a＜KPB，
又A（﹣2，），B（﹣1，），
∴KPA，KPB，即a，
故选C．
2．（2023春·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是________．
【答案】
【详解】
（1）函数，其中，
设，
因为存在唯一的整数，使得，
所以存在唯一的整数，使得在直线的下方，
因为，所以当时，，
当时，，
当时，，
直线恒过点，斜率为，
故，且，解得
所以的取值范围是
高频考点二：已知零点个数求解参数范围
方法一：完全分离参数法
典型例题
例题1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求的单调区间；
(2)求，，的值；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是；单调递增是和.
(2)
(3)
【详解】（1）根据图象可知时，，即单调递减；
和时，，即 单调递增；
故答案为：单调递减区间是；单调递增是和.
（2）由已知可得：和是的两个根，
由（1）可得的极大值在处取得，故
解得：
故答案为：
（3）由（2）知，的极小值为：
结合的单调性可作其草图，如下所示
函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.
故答案为：
例题2．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数，，..
(1)若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
(2)若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数）.
(1)求在上的最值；
(2)若函数没有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值为，最大值为.
(2)
【详解】（1）解：，
所以，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，，，
所以，函数在上的最小值为，最大值为.
（2）解：因为函数没有零点，
所以方程无实数根，即方程没有实数根，
令，则，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，函数在处取得最大值
因为当时，当时，
所以，函数的值域为，
所以，当方程没有实数根，，即，
所以，实数的取值范围为.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
（1）当时，，
当时，，当时；
故的单调递增区间为，递减区间为.
（2）
由题意知在有两个不等实根，
，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，，，，
作出的图象如图所示：
由图可知，解得且，
即a的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)若有2个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，设，
则，设，
由函数和在上单调递增，
知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以
即在上恒成立；
（2）由，得，令，
则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，
令，得，
当时，当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，
作出函数的大致图象如下：
结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，
故a的取值范围是．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，的导函数为．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，．
当时，，在区间上单调递增，所以无极值点；
当时，令，解得，
所以当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以有一个极大值点，无极小值点．
综上，当时，无极值点；当时，有一个极值点．
（2）当时，方程，即，
则．
令，，则．
令，解得或（舍去）．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，又趋近于0时趋近正无穷；趋近于正无穷时趋近正无穷，
所以，即，故m的取值范围是．
3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（e为自然对数的底数），（），.
(1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值；
(2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设曲线的切点坐标为，
由，所以过该切点的切线的斜率为，因此该切线方程为：
，因为直线与函数的图象相切，
所以，
因为直线与函数的图象相切，且函数过原点，
所以曲线的切点为，于是有，
即；
（2）由可得：，
当时，显然不成立，
当时，由，
设函数，，
，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递减，
当时，，
单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为，
而，当时，，函数图象如下图所示：
方程有两个不同的实数解，
转化为函数和函数的图象，在当时，有两个不同的交点，由图象可知：，
故a的取值范围为.
方法二：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）讨论关于的方程的解的个数．
【答案】答案见解析
【详解】解：关于的方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数．
如图，设直线与曲线切于点，则．
∵，∴，∴，
∴，．
结合图像，知当或时，方程有一个解；
当时，方程有两个解；
当时，方程无解．
例题2．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与直线的公共点个数，并说明理由；
(3)若对于任意，不等式恒成立，直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)曲线与直线的公共点只有一个，证明见解析
(3)实数的取值范围是
【详解】（1）解：函数的定义域是，所以，
则，，
切线方程是：，
故切线方程为：；
（2）解：曲线与直线的公共点只有一个，理由如下：
设，，则
令，则恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，，函数单调递增，，，函数单调递减；
则，故，有且只有一个根，即有且只有一个根，
故曲线与直线的公共点只有一个.
（3）解：若对于任意，不等式恒成立，则
又直线过定点，
则过点作曲线的切线，设切点为，则斜率，
则切线方程为，将代入得：，
设，，则，得，
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，所以关于的方程无解，
则说明过点的切线不存在，则直线不与曲线相切，
又函数的定义域是，所以，得，
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
所以，又时，，且，则可得的大致图象如下：
根据上述结论结合函数图象可知当时，直线与曲线无交点，当时，直线与曲线总有交点，
从而要使对于任意，不等式恒成立，实数的取值范围是.
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数，且，其中是自然对数的底数
(1)当时，求函数的单调区间和最值；
(2)若函数没有零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调减区间是，单调增区间是，最小值是，无最大值
(2)
【详解】（1）当时，
，，令，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
∴单调减区间是，单调增区间是
∴最小值是，无最大值．
（2）由题可知，，其中，
当时，恒成立，在区间上单调递增．
令，即，，如图
因为当时，，，
可知，，必有一个零点，不符合题意．
当时，令，则，
时，，单调递减，当时，，单调递增
当时，即，有一个零点，不符合题意
当时，即，没有零点，符合题意
当时，即，因为，∴，，有一个零点，不符合题意．
综上所述，当时，函数没有零点．
2．（2023·高二校考课时练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
(3)若关于的方程有唯一的实数根，直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)递减区间为，；递增区间为；极小值，极大值；
(3)或.
【详解】（1）函数，求导得：，则，而，由直线点斜式方程得：，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）函数的定义域为R，由（1）知，当或时，，当时，，
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，
函数在处取得极小值，在处取得极大值.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，恒有，
当时，递减，恒有，因此，，而函数在内的值域为，
因此函数在内的值域为，函数的大致图象如图，
方程的实数根，即函数的图象与直线交点的横坐标，
观察图形知，当或时，函数的图象与直线有一个公共点，
所以关于的方程有唯一的实数根，实数的取值范围是或.
x
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减