第02讲函数的单调性与最大（小）值（讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24821" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc24821 \h 2
\l "_Tc21033" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc21033 \h 4
\l "_Tc20884" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20884 \h 5
\l "_Tc9199" 高频考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc9199 \h 5
\l "_Tc7675" 角度1：求函数的单调区间 PAGEREF _Tc7675 \h 5
\l "_Tc29618" 角度2：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc29618 \h 5
\l "_Tc8553" 角度3：复合函数的单调性 PAGEREF _Tc8553 \h 7
\l "_Tc23648" 角度4：根据函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc23648 \h 7
\l "_Tc11546" 高频考点二：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc11546 \h 9
\l "_Tc3134" 角度1：利用函数单调性求最值 PAGEREF _Tc3134 \h 9
\l "_Tc14416" 角度2：根据函数最值求参数 PAGEREF _Tc14416 \h 10
\l "_Tc24399" 角度3：不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc24399 \h 11
\l "_Tc4512" 角度4：不等式有解问题 PAGEREF _Tc4512 \h 12
\l "_Tc18927" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc18927 \h 13
\l "_Tc9134" ①开放性试题 PAGEREF _Tc9134 \h 13
\l "_Tc32029" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc32029 \h 13
\l "_Tc12474" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc12474 \h 13
\l "_Tc14930" ②数形结合的思想 PAGEREF _Tc14930 \h 14
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第一部分：知识点必背
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2023春·高一校考开学考试）函数的单增区间为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数，则的单调递增区间为__________.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数的增区间为______.
3．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是______．
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（多选）（2023秋·福建龙岩·高一统考期末）若二次函数在区间上是增函数，则可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
例题4．（2023秋·重庆江北·高一字水中学校考期末）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______．
练透核心考点
1．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知为增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）若是上的严格减函数，则实数的取值范围为______．
4．（2023·高一课时练习）已知函数，是严格减函数，则实数的取值范围是______．
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是______.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间为__________．
练透核心考点
1．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是____________.
2．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数的单调递增区间是____________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．或
C．D．
例题4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．
例题2．（2023春·甘肃武威·高一统考开学考试）函数（）的值域是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值为________．
例题4．（2023·高一单元测试）函数的最大值为____________
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2B．
C．D．－
2．（2023·高一课时练习）函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）已知函数，，则此函数的值域是____.
4．（2023·高一课时练习）若函数（）的最大值为，最小值为.则______.
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数的取值范围是______.
例题4．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023·高一课时练习）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A．B．3C．D．1
3．（2023秋·浙江杭州·高二统考期末）写出使不等式恒成立的一个实数的值__________．
4．（2023秋·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________.
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高一专题练习）设函函，若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
例题4．（2023·高一课时练习）设函数，已知不等式的解集为或.
(1)求和的值；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高一课时练习）设k为实数，已知关于x的函数
(1)若对于∀x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范围；
(2)若对于∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足y≤m成立，求k的取值范围．
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）命题：，成立的充要条件是__________．
例题3．（2023·江苏·高一专题练习）（1）关于的不等式的有解，求的取值范围.
若不等式对满足的所有都成立，求的范围.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________．
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）
2．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）请写出同时满足下列两个条件的函数___________.
（1）在定义域内单调递增，（2）
3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数：________.
（1）；（2）在上是增函数.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知两个条件：①；②在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·江苏连云港·高一统考期末）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知命题是假命题，则实数的取值范围是___________.
3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
②数形结合的思想
1．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）对于实数，，定义符号：当时，；当时，．函数的最小值为___．
2．（2023·山东聊城·高一校考阶段练习）表示，两者中较大的一个．记，，，则的最小值为____________．
3．（2023秋·天津·高一统考期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值；
(3)直接写出的单调区间．
4．（2023·高三课时练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间，并指出其增减性；
(2)设集合{使方程有四个不相等的实根}，求.
5．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)求函数的零点．
(2)画出函数的图象；
(3)写出函数的单调递增区间；
(4)若，求实数的值．增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减