第02讲 常用逻辑用语(逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第02讲 常用逻辑用语 (精练)
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）命题“，”的否定是（    ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】含全称量词的命题的否定是含存在量词的命题，
命题“，”的否定是，．
故选：B．
2．（2023秋·广东云浮·高一统考期末）若，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2023秋·河南·高一校联考期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，，即，得，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集，
所以，由各选项可知 “”满足题意，
所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.
故选：D．
4．（2023春·甘肃武威·高一民勤县第一中学校考开学考试）“不等式在R上恒成立”的必要不充分条件是（    ）
A．m>0 B．m< C．m<1 D．m>
【答案】A
【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.
易知D选项是充要条件，不成立；
A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，不可推导，C不成立.
故选：A.
5．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以命题“，”为真命题，
所以时，，
因为，
所以当时，，
所以.
故选：A
6．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若不等式的一个充分条件为，
则，所以，解得.
则实数的取值范围是.
故选：D.
7．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得，解得，
综上，实数的取值范围为
故选：A
8．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由得，函数在上为增函数，
∴，
故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）已知集合,若是的充分条件,则a可以是（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【详解】解:因为是的充分条件,
所以,所以有.
故选:AB
10．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（    ）
A． B．0 C． D．
【答案】ABC
【详解】因为，为真命题，所以方程有实根.
当时，符合题意；
当时，由方程有实根，可得，所以.
综上，实数的值可以是，和.
故选:ABC.
三、填空题
11．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）已知命题，若命题是假命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为命题为假命题，
则命题：，为真命题，
所以在上恒成立，
因为当且仅当，也即时取等号，
所以，
故答案为：.
12．（2023秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为______.
【答案】[0，3]
【详解】由得，
∵的充分不必要条件是
∴，解得，经检验或3均满足条件，
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）已知命题．
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由，
【答案】(1)
(2)假，理由见解析
【详解】（1）由命题，
可得命题p的否定为，
（2）命题为假命题，
因为（当且仅当时取等号），
故命题为假命题
14．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）解：当时，，又，
所以，；
（2）解：因为是的必要条件，所以，即，
所以有，解得，
所以实数m的取值范围为.
15．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）已知关于x的不等式对恒成立．
(1)求实数的取值集合；
(2)已知集合，若“，都有成立”为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）关于x的不等式对恒成立，
，
解得；
（2）由（1）得，
若“，都有成立”为真命题，
则，
当，即时，，符合
当，即时，或，
解得或.
综合得或.
16．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考开学考试）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
(1)求实数取值的集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）令，命题：“，不等式成立”是真命题，则，解得或，
即
（2）因为不等式的解集为，且是的必要不充分条件，则是的真子集；
①当，即时，解集，或，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件；
③当，即时，解集
或，此时或
综上①②③可得或
B能力提升
1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【详解】因为命题“”是假命题，
所以命题“”是真命题，
即在上恒成立，
因为当时，，
所以在上恒成立，
而，
所以，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
2．（2023·高一课时练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【详解】若命题是假命题，则恒成立，
则，解得.
故答案为：.
3．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若命题“，成立.”是真命题，则实数a的取值范围是________
【答案】
【详解】令，则在上有解，
开口向上且对称轴为，，
所以或，解得.
故答案为：
4．（2022·全国·高二假期作业）已知命题，，则的否定形式是_____；若是真命题，则的取值范围是________.
【答案】     ，     .
【详解】命题：，.
所以，：，.
若是真命题，则方程在内有实根，
即在内有实根，
即直线与曲线（）有公共点，
显然直线恒过点，当直线与曲线相切时，设切点为，
则切线斜率，解得，.
由图可知，当直线与曲线有公共点时，或，
所以，的取值范围是.
故答案为：①，；②.

5．（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）若对，成立.则实数的取值范围为______.若，成立，则实数的取值范围是______.
【答案】         
【详解】若，成立，
设，只要，
因为，
所以，
所以即，所以实数的取值范围为；
若成立，即成立，
只要，
因为且，
所以当时，，
所以，所以实数的取值范围为
故答案为：
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合．
(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)依题意，
，
，，所以.
由于是的充分不必要条件，
所以.
(2)由于命题为假命题，
所以为真命题，
即为真命题，
构造函数，是开口向上的二次函数，
所以，即.
2．（2023·全国·高三专题练习）在①，，②，使得区间，满足这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知命题p:，，命题q：______，p，q都是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】答案见解析
【详解】选条件①，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
由命题q为真命题，即方程有解，则，解得或，
又p，q都是真命题，从而有或，
所以实数a的取值范围是.
选条件②，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
因命题q为真命题，由区间得，又，即或，解得或，
又p，q都是真命题，从而有，
所以实数a的取值范围是.
3．（2023·全国·高三专题练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或
【详解】对于成立，而，有，
∴，∴
存在，使得不等式成立，只需
而，∴，∴；
（1）若为真，则；
（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或.