高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 习题课 利用导数研究函数的综合问题

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里? 1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。 第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。 第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。 第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。 2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。 3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。 4、授课方式变化，选课制度将全面推开。 5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。 习题课　利用导数研究函数的综合问题 学习目标　1.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题.2利用导数解决生活中的实际问题． 一、利用导数研究函数的零点个数 例1　给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋a,x)－1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数． 二、由函数的零点个数求参数的范围 例2　已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围． 跟踪训练2　若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－eq \f(4,3). (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围． 三、导数在解决实际问题中的应用 例3　请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5) (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 1．知识清单： (1)研究求函数零点的方法． (2)已知函数的零点求参数的取值范围． (3)导数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数． 1．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为(　　) A.eq \f(10\r(3),3) cm B.eq \f(20\r(3),3) cm C.eq \f(16\r(3),3) cm D.eq \f(\r(3),3) cm 3．已知函数f(x)＝sin x－xcos x，现给出如下结论，其中不正确的结论为(　　) A．f(x)是奇函数 B．0是f(x)的极值点 C．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有且仅有一个零点 D．f(x)的值域为R 4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________． 课时对点练 1．函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 4．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,e2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,e2))) C．(0,4e2) D．(0，＋∞) 5．设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．[－1,1] 6．(多选)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)存在两个不同的零点 B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C．当－e0)无零点，则实数a的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(e,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(e2,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)，＋∞)) 13．方程x2＝ex的实根个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时，帐篷的体积最大． 15．已知方程|ln x|＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为________． 16．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(3,2)x2＋2x＋b(b∈R)． (1)当b＝0时，求f(x)在[－1,3]上的值域； (2)若方程f(x)＝1有三个不同的解，求b的取值范围．