高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 章末复习课
展开高考政策|高中“新”课程,新在哪里? 1、科目变化:外语语种增加,体育与健康必修。 第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。 第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。 第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。 2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。 3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。 4、授课方式变化,选课制度将全面推开。 5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。 章末复习课 一、导数的计算 1.此部分内容涉及到导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,作为数形结合的桥梁,导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,进而研究距离最值,难度中低档. 2.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养. 例1 (1)已知函数f(x)=eq \f(ln x,x2),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)等于( ) A.eq \f(ln x,x3) B.eq \f(1,x3) C.eq \f(1-ln x,x3) D.eq \f(1-2ln x,x3) 答案 D 解析 根据题意,知函数f(x)=eq \f(ln x,x2), 其导函数f′(x)=eq \f(ln x′·x2-ln x·x2′,x4) =eq \f(x-2x·ln x,x4)=eq \f(1-2ln x,x3). (2)设f′(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=x·ln(2x-1),则f′(1)=________. 答案 2 解析 因为f(x)=x·ln(2x-1), 所以f′(x)=ln(2x-1)+eq \f(x,2x-1)·(2x-1)′ =ln(2x-1)+eq \f(2x,2x-1),则f′(1)=2. 反思感悟 导数的运算是解决一切导数问题的基础,熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的运算法则,复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,一般我们只解决有两层复合的关系,求导时不要忘了对内层函数求导即可. 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=ln x+2x2-4x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为( ) A.x-y+3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.x+y+3=0 答案 C 解析 由f(x)=ln x+2x2-4x,得f′(x)=eq \f(1,x)+4x-4, 所以f′(1)=1,又f(1)=-2, 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+2=1×(x-1),即x-y-3=0. (2)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为( ) A.-3 B.1 C.2 D.3 答案 A 解析 由f(x)=aln x+x2,得f′(x)=eq \f(a,x)+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3. 二、函数的单调性与导数 1.利用导数研究函数的性质,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题,是最近几年高考的重点内容,难度中高档. 2.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2 已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≥eq \f(1,2)x3+1,求a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x, f′(x)=ex+2x-1,令φ(x)=ex+2x-1, 由于φ′(x)=ex+2>0, 故f′(x)单调递增,注意到f′(0)=0, 故当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. (2)由f(x)≥eq \f(1,2)x3+1得, ex+ax2-x≥eq \f(1,2)x3+1,其中x≥0, ①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,符合题意; ②当x>0时,分离参数a得,a≥-eq \f(ex-\f(1,2)x3-x-1,x2), 记g(x)=-eq \f(ex-\f(1,2)x3-x-1,x2), g′(x)=-eq \f(x-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex-\f(1,2)x2-x-1)),x3), 令h(x)=ex-eq \f(1,2)x2-x-1(x≥0), 则h′(x)=ex-x-1, 令t(x)=h′(x),x≥0,则t′(x)=ex-1≥0, 故h′(x)单调递增,h′(x)≥h′(0)=0, 故函数h(x)单调递增,h(x)≥h(0)=0, 由h(x)≥0可得ex-eq \f(1,2)x2-x-1≥0恒成立, 故当x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 因此,g(x)max=g(2)=eq \f(7-e2,4), 综上可得,a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7-e2,4),+∞)). 反思感悟 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的. 跟踪训练2 设函数f(x)=eq \f(2,x)+ln x,则( ) A.x=eq \f(1,2)为f(x)的极大值点 B.x=eq \f(1,2)为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 答案 D 解析 因为f(x)=eq \f(2,x)+ln x,x>0, 所以f′(x)=-eq \f(2,x2)+eq \f(1,x),令f′(x)=0, 即-eq \f(2,x2)+eq \f(1,x)=eq \f(x-2,x2)=0,解得x=2. 当0