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高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第4章 4.3.2 第3课时 数列的综合应用
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第3课时 数列的综合应用
学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程．
导语
一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
一、数列在实际问题中的应用
例1 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
解 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
跟踪训练1 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg 6≈0.778，lg ≈0.097)．
(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；
(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元．
解 (1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，
a2＝a1＝a1，
a3＝a2＝a2，…，
an＋1＝an＝an，
∴＝，即数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝
＝1 600，
即前n年旅游业总收入为1 600万元．
(2)由(1)知Sn＝1 600，
令Sn>8 000，即1 600>8 000，
∴n>6，即lgn>lg 6，
∴n>≈8，
∴大约从第9年开始，旅游业总收入超过8 000万元．
二、数列在平面几何中的应用
例2 如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________．
答案 π
解析 设第n个正三角形的内切圆的半径为an，
∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，
∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列，
∴an＝×n－1a，
设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn＝π(a＋a＋…＋a)
＝πa
＝πa
＝×π＝π
＝π.
反思感悟 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性．
跟踪训练2 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则( )
A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)m
C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m
答案 B
解析 由题意，从外到内正方形的边长依次为a1＝m，a2＝＝，a3＝＝，…，则数列是以首项为m，公比为的等比数列，所以Sn＝4·，当n→∞时，
Sn→3(3＋)m.
1.知识清单：
(1)数列在平面几何中的应用．
(2)数列在实际问题中的应用．
2．方法归纳：构造法、转化法．
3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错．
1．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案．若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个数为( )
A．64 B．128 C．224 D．512
答案 B
解析 设最下层的浮雕像的数量为a1，
依题意有公比q＝2，n＝7，S7＝＝1 016，
解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，
所以a5＝27＝128.
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为( )
A.米 B.米
C.米 D.米
答案 B
解析 由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，
且a1＝100，q＝，an＝10－2；
∴乌龟爬行的总距离为Sn＝＝＝(米)．
3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，＝M(1＋p)10，∴x＝.选B.
4．将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上．上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放．如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________.
答案 9－
解析 最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5；
第二个正方体的棱长为1×＝，
它的侧面积为4×2，
第3个小正方形的边长为×＝2，
它的侧面积为4×2×2；
第n个小正方形的边长为n－1，
它的侧面积为4×2(n－1)＝4×n－1，
则它们的表面积为
5＋4×
＝5＋4×＝9－＝9－.
课时对点练
1．某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A．a(1＋25%)5 B．a(1＋25%)4
C．4a D．a(1＋25%)6
答案 A
解析 森林中原有木材量为a，一年后为a(1＋25%)，两年后为a(1＋25%)2，…，五年后为a(1＋25%)5.
2．某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩
C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩
答案 A
解析 记2018年为第一年，第n年退耕an万亩，
则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，
则问题转化为求数列{an}的前8项和，
所以数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1)．
所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)万亩．
3．有一套丛书共6册，计划2018年出版第一册，每两年出版一册，那么出版齐这套丛书的年份是( )
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
答案 D
解析 因为2018年出版第一册，每两年出版一册，
所以2020年出版第二册；
2022年出版第三册；
2024年出版第四册；
2026年出版第五册；
2028年出版第六册；
即出版齐这套丛书的年份是2028年，故选D.
4．观察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41，…，则式子35是第( )
A．22项 B．23项 C．24项 D．25项
答案 C
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，故35是第24项．
故选C.
5．我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
答案 D
解析 设1997年总产值为1，由于我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，说明2017年的工农业总产值是1997年工农业总产值的4倍，则(1＋x)20＝4.
6．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 C
解析 从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1，则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝而a14＝119<120，所以前120个圈中的●个数为14，故选C.
7．某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)
答案 6.6
解析 由题意可知，第一年要比上年增长10%，
那么第一年产值就是1＋10%＝1.1，
第二年又比第一年增加10%，
所以第二年产值是1.12，
…，
以此类推，第五年产值是1.15，
∴总产量为1.1＋1.12＋…＋1.15＝≈11×0.6＝6.6.
8．农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2016年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入约为_________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)
答案 17 386
解析 农民人均收入来源于两部分，
一是工资收入为7 800×(1＋6%)6＝7 800×1.066≈11 076(元),
二是其他收入为5 350＋6×160＝6 310(元)，
因此，2021年该地区农民人均收入为11 076＋6 310＝17 386(元)．
9．如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数．
2 ……第1行
4 6 ……第2行
8 10 12 ……第3行
14 16 18 20 ……第4行
… …
(1)求第5行的第2个数；
(2)问数32在第几行第几个；
(3)记第i行的第j个数为ai，j(如a3,2表示第3行第2个数，即a3,2＝10)，求＋＋＋＋＋的值．
解 (1)记an＝2n，由数阵可知，
第5行的第2个数为a12.
因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24.
(2)因为an＝32，所以n＝16.
由数阵可知，32在第6行第1个数．
(3)由数阵可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…－＝.
10．首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”．某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元．
(1)若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案：
①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；
②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？
解 (1)设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金300n万元，付出维护费用构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共10n＋×20＝10n2，
因此利润y＝300n－(810＋10n2)，
令y>0，解得3
(2)方案①：纯利润y＝300n－(810＋10n2)＝－10(n－15)2＋1 440，
所以15年后共获利润：1 440＋100＝1 540(万元)．
方案②：年平均利润W＝＝300－≤300－2＝120.
当且仅当＝10n，即n＝9时取等号．
所以9年后共获利润：120×9＋460＝1 540(万元)．
综上，两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②.
11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1 000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为( )
A．20%,14 580元 B．10%,14 580元
C．20%,10 800元 D．10%,10 800元
答案 B
解析 设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780.
a1＋a1(1－q)2＝36 200，解得q＝0.1，a1＝20 000，
故a1(1－q)3＝14 580.
12．2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利( )
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
答案 D
解析 由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝(2n＋6)千万元，
第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为＋×1＋×2＋…＋×n－1
＝＝千万元，
∴f(n)＝n－1－(2n＋6)＝千万元．
∵f(n＋1)－f(n)
＝－
＝，∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)＜0，故当n<4时，f(n)单调递减；
当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＞0，故当n≥4时，f(n)单调递增．
又f(1)＝－＜0，f(7)＝7－21≈17－21＝－4＜0，f(8)＝8－23≈25－23＝2＞0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
该项目将从2023年开始并持续赢利．
13．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的设备费用高42万元，第七实验室比第四实验室的设备费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
答案 C
解析 设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1,2,3，…，10)，
则
所以
解得
故a10＝a1q9＝1 536.
依题意x＋1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709万元．
14．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 a＝，第三行第一列为，第四行第一列为，第四行第三列为，所以b＝＋＝，第五行第一列为4，第五行第三列为3，所以c＝23－4＝，∴a＋b＋c＝＋＋＝1，应选A.
15．程先生买了一套总价为80万元的住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率为0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款________元(精确到0.01元)．(参考数据1.005360≈6.022 6)
(注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为[a(1＋0.5)%－x]元)
答案 2 997.75
解析 设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则
an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，
an＋k＝1.005(an－1＋k)，
an＝1.005an－1＋0.005k.
所以k＝－200x，{an－200x}是公比为1.005的等比数列，
即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.
由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.
利用计算器可以求得x＝0.299 775，即每月还款2 997.75元．
16．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(2018年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 5＝0.699 0)
解 (1)2018年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元，
所以n年内的总投入为
Sn＝1 000＋1 000＋…＋1 000n－1＝＝5 000，
2018年收入为500万元，第2年收入为500×万元，
第n年收入为500×n－1万元．
所以，n年内的总收入为
Tn＝500＋500×＋…＋500×n－1
＝＝2 000×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，
即2 000×－5 000>0，
化简得5×n＋2×n－7>0，
设x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x<或x>1(舍去)．
即n<，由此得n≥5.
答 至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入．
第3课时 数列的综合应用
学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程．
导语
一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！
一、数列在实际问题中的应用
例1 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)
解 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
跟踪训练1 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg 6≈0.778，lg ≈0.097)．
(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；
(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元．
解 (1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，
a2＝a1＝a1，
a3＝a2＝a2，…，
an＋1＝an＝an，
∴＝，即数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝
＝1 600，
即前n年旅游业总收入为1 600万元．
(2)由(1)知Sn＝1 600，
令Sn>8 000，即1 600>8 000，
∴n>6，即lgn>lg 6，
∴n>≈8，
∴大约从第9年开始，旅游业总收入超过8 000万元．
二、数列在平面几何中的应用
例2 如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________．
答案 π
解析 设第n个正三角形的内切圆的半径为an，
∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，
∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列，
∴an＝×n－1a，
设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn＝π(a＋a＋…＋a)
＝πa
＝πa
＝×π＝π
＝π.
反思感悟 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性．
跟踪训练2 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则( )
A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)m
C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m
答案 B
解析 由题意，从外到内正方形的边长依次为a1＝m，a2＝＝，a3＝＝，…，则数列是以首项为m，公比为的等比数列，所以Sn＝4·，当n→∞时，
Sn→3(3＋)m.
1.知识清单：
(1)数列在平面几何中的应用．
(2)数列在实际问题中的应用．
2．方法归纳：构造法、转化法．
3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错．
1．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案．若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍，该洞窟浮雕像总共有1 016个，则第5层浮雕像的个数为( )
A．64 B．128 C．224 D．512
答案 B
解析 设最下层的浮雕像的数量为a1，
依题意有公比q＝2，n＝7，S7＝＝1 016，
解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，
所以a5＝27＝128.
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为( )
A.米 B.米
C.米 D.米
答案 B
解析 由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，
且a1＝100，q＝，an＝10－2；
∴乌龟爬行的总距离为Sn＝＝＝(米)．
3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，＝M(1＋p)10，∴x＝.选B.
4．将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上．上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放．如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________.
答案 9－
解析 最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5；
第二个正方体的棱长为1×＝，
它的侧面积为4×2，
第3个小正方形的边长为×＝2，
它的侧面积为4×2×2；
第n个小正方形的边长为n－1，
它的侧面积为4×2(n－1)＝4×n－1，
则它们的表面积为
5＋4×
＝5＋4×＝9－＝9－.
课时对点练
1．某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A．a(1＋25%)5 B．a(1＋25%)4
C．4a D．a(1＋25%)6
答案 A
解析 森林中原有木材量为a，一年后为a(1＋25%)，两年后为a(1＋25%)2，…，五年后为a(1＋25%)5.
2．某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩
C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩
答案 A
解析 记2018年为第一年，第n年退耕an万亩，
则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，
则问题转化为求数列{an}的前8项和，
所以数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1)．
所以到2025年一共退耕10a(1.18－1)万亩．
3．有一套丛书共6册，计划2018年出版第一册，每两年出版一册，那么出版齐这套丛书的年份是( )
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
答案 D
解析 因为2018年出版第一册，每两年出版一册，
所以2020年出版第二册；
2022年出版第三册；
2024年出版第四册；
2026年出版第五册；
2028年出版第六册；
即出版齐这套丛书的年份是2028年，故选D.
4．观察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41，…，则式子35是第( )
A．22项 B．23项 C．24项 D．25项
答案 C
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，故35是第24项．
故选C.
5．我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
答案 D
解析 设1997年总产值为1，由于我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，说明2017年的工农业总产值是1997年工农业总产值的4倍，则(1＋x)20＝4.
6．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 C
解析 从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1，则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝而a14＝119<120，所以前120个圈中的●个数为14，故选C.
7．某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)
答案 6.6
解析 由题意可知，第一年要比上年增长10%，
那么第一年产值就是1＋10%＝1.1，
第二年又比第一年增加10%，
所以第二年产值是1.12，
…，
以此类推，第五年产值是1.15，
∴总产量为1.1＋1.12＋…＋1.15＝≈11×0.6＝6.6.
8．农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2016年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入约为_________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42)
答案 17 386
解析 农民人均收入来源于两部分，
一是工资收入为7 800×(1＋6%)6＝7 800×1.066≈11 076(元),
二是其他收入为5 350＋6×160＝6 310(元)，
因此，2021年该地区农民人均收入为11 076＋6 310＝17 386(元)．
9．如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数．
2 ……第1行
4 6 ……第2行
8 10 12 ……第3行
14 16 18 20 ……第4行
… …
(1)求第5行的第2个数；
(2)问数32在第几行第几个；
(3)记第i行的第j个数为ai，j(如a3,2表示第3行第2个数，即a3,2＝10)，求＋＋＋＋＋的值．
解 (1)记an＝2n，由数阵可知，
第5行的第2个数为a12.
因为an＝2n，所以第5行的第2个数为24.
(2)因为an＝32，所以n＝16.
由数阵可知，32在第6行第1个数．
(3)由数阵可知a1,1＝2，a2,2＝6，a3,3＝12，a4,4＝20，a5,5＝30，a6,6＝42.所以＋＋＋＋＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋－…－＝.
10．首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”．某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元．
(1)若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案：
①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；
②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？
解 (1)设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金300n万元，付出维护费用构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共10n＋×20＝10n2，
因此利润y＝300n－(810＋10n2)，
令y>0，解得3
(2)方案①：纯利润y＝300n－(810＋10n2)＝－10(n－15)2＋1 440，
所以15年后共获利润：1 440＋100＝1 540(万元)．
方案②：年平均利润W＝＝300－≤300－2＝120.
当且仅当＝10n，即n＝9时取等号．
所以9年后共获利润：120×9＋460＝1 540(万元)．
综上，两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②.
11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得资金1 000元，则B，C所分得资金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配资金，且甲与丙共获得资金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为( )
A．20%,14 580元 B．10%,14 580元
C．20%,10 800元 D．10%,10 800元
答案 B
解析 设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780.
a1＋a1(1－q)2＝36 200，解得q＝0.1，a1＝20 000，
故a1(1－q)3＝14 580.
12．2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利．根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利( )
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
答案 D
解析 由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8＋2(n－1)＝(2n＋6)千万元，
第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为＋×1＋×2＋…＋×n－1
＝＝千万元，
∴f(n)＝n－1－(2n＋6)＝千万元．
∵f(n＋1)－f(n)
＝－
＝，∴当n≤3时，f(n＋1)－f(n)＜0，故当n<4时，f(n)单调递减；
当n≥4时，f(n＋1)－f(n)＞0，故当n≥4时，f(n)单调递增．
又f(1)＝－＜0，f(7)＝7－21≈17－21＝－4＜0，f(8)＝8－23≈25－23＝2＞0.
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
该项目将从2023年开始并持续赢利．
13．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的设备费用高42万元，第七实验室比第四实验室的设备费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
答案 C
解析 设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为an万元(n＝1,2,3，…，10)，
则
所以
解得
故a10＝a1q9＝1 536.
依题意x＋1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709万元．
14．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 a＝，第三行第一列为，第四行第一列为，第四行第三列为，所以b＝＋＝，第五行第一列为4，第五行第三列为3，所以c＝23－4＝，∴a＋b＋c＝＋＋＝1，应选A.
15．程先生买了一套总价为80万元的住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率为0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款________元(精确到0.01元)．(参考数据1.005360≈6.022 6)
(注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为[a(1＋0.5)%－x]元)
答案 2 997.75
解析 设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则
an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50，
an＋k＝1.005(an－1＋k)，
an＝1.005an－1＋0.005k.
所以k＝－200x，{an－200x}是公比为1.005的等比数列，
即an－200x＝(a0－200x)·1.005n.
由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360.
利用计算器可以求得x＝0.299 775，即每月还款2 997.75元．
16．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(2018年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 5＝0.699 0)
解 (1)2018年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元，
所以n年内的总投入为
Sn＝1 000＋1 000＋…＋1 000n－1＝＝5 000，
2018年收入为500万元，第2年收入为500×万元，
第n年收入为500×n－1万元．
所以，n年内的总收入为
Tn＝500＋500×＋…＋500×n－1
＝＝2 000×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0，
即2 000×－5 000>0，
化简得5×n＋2×n－7>0，
设x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，
解此不等式，得x<或x>1(舍去)．
即n<，由此得n≥5.
答 至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入．
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