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初中数学2.1 整式优质学案设计
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这是一份初中数学2.1 整式优质学案设计，共10页。学案主要包含了自主学习；，合作探究，学习小结等内容，欢迎下载使用。
第二章 整式的加减
2.1 整式
第1课时 用字母表示数
学习内容：2.1整式：1．单项式。
学习目标：1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养自主探索知识和合作交流能力。
学习重点和难点：
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
难点：单项式概念的建立。
一、自主学习；
1、先填空，再分析写出式子特点，与同伴交流。
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若x表示正方体棱长，则正方体的体积是 ；
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
2、观察以上式子的运算，有什么共同特点？
3、单项式定义：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
[老师提示] 单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5，0。
4、练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)； (2)abc； (3)b2； (4)﹣5ab2； (5)y； (6)﹣xy2； (7)﹣5。
5、单项式系数和次数：
观察“1”中所列出的单项式，发现单项式是由数字因数和字母因数两部分组成。单项式中的数字因数叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数。
说说四个单项式a2h，2πr，abc，﹣m的数字因数和字母因数及各个字母的指数？
二、合作探究：
1、判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数
和次数。
①x＋1； ②； ③πr2； ④﹣a2b。
2、下面各题的判断是否正确？
①﹣7xy2的系数是7； ②﹣x2y3与x3没有系数； ③﹣ab3c2的次数是0＋3＋2；
④﹣a3的系数是﹣1； ⑤﹣32x2y3的次数是7； ⑥πr2h的系数是。
[老师提示]
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或﹣1时，“1”通常省略不写，如x2，﹣a2b等；
③单项式次数只与字母指数有关。
3、若单项式xmy2的次数是5，则m= ；
4、已知单项式2xmyn+2与3xm+2的次数相同，求n的值。
5、写一个含m，n的3次单项式 ；
6、有一串单项式：﹣x,2x2, ﹣3x3，4x4…, 10x10…
（1）、请写出第2024个单项式；
（2）、请写出第n个单项式。
三、学习小结：
2.1 整式
第2课时 单项式
学习内容：2.1整式：2．多项式。
学习目标和要求：
1．通过本节课的学习，掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。由单项式与多项式归纳出整式，有利于知识的迁移和知识结构体系的更新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
学习重点和难点：
重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
难点：多项式的次数。
一、自主学习：
1．列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 人；
(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 只。
2．观察以上所得出的三个代数式与上节课所学单项式有何区别。
[老师提示]上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项，叫做常数项。如：多项式有三项，它们是，﹣2x，5。其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式是一个二次三项式。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和，是次数最高的项的次数；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(3)多项式不包含单项式
单项式与多项式统称整式
二、合作探究：
1、判断：
①多项式a3﹣a2ｂ＋ab2﹣b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12； （ ）
②多项式3n4﹣2n2＋1的次数为4，常数项为1。 （ ）
[注意]：多项式的次数为最高次项的次数。
2、指出下列多项式的项和次数：
(1)3x﹣1＋3x2； (2)4x3＋2x﹣2y2。
3、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3﹣x＋1； (2)x3﹣2x2y2＋3y2。
4、已知代数式3xn﹣(m﹣1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
5、填空：﹣a2b﹣ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
6、下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？
xy+z a x2+bx ﹣1 π ；
三、学习小结：
2.1 整式
第3课时 多项式
学习内容：多项式
学习目的和要求：
1、通过用整式来表示事物间的关系，逐步掌握数学建模思想；
2、理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。
3、通过尝试和交流，体会多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。
4、初步体验排列组合思想与数学美感，培养审美观。
学习重点和难点：
重点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
难点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
一、 自主学习：
1、教材p58例3：我们知道船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
（1）顺水行驶：船的速度= ；
（2）逆水行驶：船的速度= ；
在上面两个关系式中若用字母V表示静水速度则
船的顺水速度为 船的逆水速度为
当V=20时则
甲船顺水速度 甲船逆水速度
乙船顺水速度 乙船逆水速度
2..请运用加法交换律，任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？
【提示】
有六种不同的排列方式，像x2＋x＋1与1＋x＋x2这样的排列比较整齐。这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。例如：把多项式5x2＋3x﹣2x3﹣1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成﹣2x3＋5x2＋3x﹣1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。
若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成﹣1＋3x＋5x2﹣2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。
二、合作探究
1、请把卡片
＋3x2y2
＋2y
﹣35x3
﹣11x7y5
﹣7xy3
按x降幂排列
2、把多项式2πr﹣1＋3πr3﹣π2r2按r升幂排列。
【提示】：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、﹣π2、3π。
3、把多项式a3﹣b3﹣3a2b＋3ab2重新排列。
(1)按a升幂排列；
(2)按a降幂排列。
4、把多项式x4﹣y4＋3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列。
(1)按字母x的升幂排列得： ；
(2)按字母y的升幂排列得： 。
【注意】：
(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
5．一个三位数百位数字是a，十位数字是b,个位数字是c 则这个三位数表示为 ；
三．学习小结
整式 随堂练习
一、选择题
1.列式表示“比m的平方的3倍大1的数”是( )
A.(3m)2＋1 B.3m2＋1 C.3(m＋1)2 D.(3m＋1)2
2.一个两位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可表示为( )
A.11a﹣1 B.11a﹣10 C.11a＋1 D.11a＋10
3.已知a﹣7b＝﹣2，则4﹣2a＋14b的值是( )
A.0 B.2 C.4 D.8
4.在代数式2xy2,﹣x，3，x+1，ab﹣x2，2x2﹣x+3中是单项式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列说法正确的是( )
A.x2+1是二次单项式 B.﹣m2的次数是2，系数是1
C.﹣23πab的系数是﹣23 D.数字0也是单项式
6.下列叙述中，错误的是( )
A.﹣a的系数是﹣1，次数是1
B.单项式ab2c3的系数是1，次数是5
C.2x﹣3是一次二项式
D.3x2＋xy﹣8是二次三项式
7.一个四次多项式，它的任何一项的次数必是( )
A.都小于4 B.都等于4 C.都不小于4 D.都不大于4
8.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
二、填空题
9.某影剧院第一排有30个座位，以后的每一排都比前一排多4个座位，则第n排的座位是 .
10.若a﹣2b＝3，则9﹣2a＋4b的值为 .
11.若﹣3axym是关于x、y的单项式，且系数为﹣6，次数为3，则a＝____，m＝_____．
12.多项式3﹣2xy2＋4x2yz的次数是 ，项数是 .
13.若多项式3x|m|＋1﹣(n＋1)x＋3是二次二项式，则m＝ ，n＝ .
14.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)
三 、解答题
15.如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个边长分别为a、b的正方形．
（1）用a、b的代数式表示三角形BGF的面积；
（2）当a=4cm，b=6cm时，求阴影部分的面积．
16.移动公司开设了两种通讯业务：①“全球通”用户先交10元月租费，然后每通话一分钟，付话费0.2元；②“快捷通”用户不交月租费，每通话一分钟付话费0.4元.
(1)按一个月通话a分钟计算，请你写出两种收费方式中用户应付的费用？
(2)某用户一个月内通话300分钟，你认为选择哪种移动通讯业务较合适？
17.已知多项式7xm＋kx2﹣(3n＋1)x＋5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为﹣7，求m＋n﹣k的值.
18.观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
(1)按此规律写出第9个单项式；
(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
答案
1.B
2.D.
3.D.
4.C
5.D
6.B
7.D
8.C
9.答案为：4n＋26.
10.答案为：3
11.答案为：2, 2.
12.答案为：四；三.
13.答案为：±1；﹣1.
14.答案为：n2＋4n.
15.解：
16.解：(1)①0.2a＋10；②0.4a
(2)当a=300时，0.2a＋10=70(元)；0.4a=120(元)，
因为70＜100，
所以选择“全球通”移动通讯业务较合适
17.解：由题意，得m=3，k=0，﹣(3n＋1)=﹣7.
解得n=2.
所以m＋n﹣k=3＋2﹣0=5.
18.解：(1)∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，
∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y.
(2)该单项式为(﹣2)n﹣1xny，它的系数是(﹣2)n﹣1，次数是n＋1.
第二章 整式的加减
2.1 整式
第1课时 用字母表示数
学习内容：2.1整式：1．单项式。
学习目标：1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养自主探索知识和合作交流能力。
学习重点和难点：
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
难点：单项式概念的建立。
一、自主学习；
1、先填空，再分析写出式子特点，与同伴交流。
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若x表示正方体棱长，则正方体的体积是 ；
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
2、观察以上式子的运算，有什么共同特点？
3、单项式定义：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
[老师提示] 单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5，0。
4、练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)； (2)abc； (3)b2； (4)﹣5ab2； (5)y； (6)﹣xy2； (7)﹣5。
5、单项式系数和次数：
观察“1”中所列出的单项式，发现单项式是由数字因数和字母因数两部分组成。单项式中的数字因数叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数。
说说四个单项式a2h，2πr，abc，﹣m的数字因数和字母因数及各个字母的指数？
二、合作探究：
1、判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数
和次数。
①x＋1； ②； ③πr2； ④﹣a2b。
2、下面各题的判断是否正确？
①﹣7xy2的系数是7； ②﹣x2y3与x3没有系数； ③﹣ab3c2的次数是0＋3＋2；
④﹣a3的系数是﹣1； ⑤﹣32x2y3的次数是7； ⑥πr2h的系数是。
[老师提示]
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或﹣1时，“1”通常省略不写，如x2，﹣a2b等；
③单项式次数只与字母指数有关。
3、若单项式xmy2的次数是5，则m= ；
4、已知单项式2xmyn+2与3xm+2的次数相同，求n的值。
5、写一个含m，n的3次单项式 ；
6、有一串单项式：﹣x,2x2, ﹣3x3，4x4…, 10x10…
（1）、请写出第2024个单项式；
（2）、请写出第n个单项式。
三、学习小结：
2.1 整式
第2课时 单项式
学习内容：2.1整式：2．多项式。
学习目标和要求：
1．通过本节课的学习，掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。由单项式与多项式归纳出整式，有利于知识的迁移和知识结构体系的更新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
学习重点和难点：
重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
难点：多项式的次数。
一、自主学习：
1．列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生 人；
(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 只。
2．观察以上所得出的三个代数式与上节课所学单项式有何区别。
[老师提示]上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项，叫做常数项。如：多项式有三项，它们是，﹣2x，5。其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式是一个二次三项式。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和，是次数最高的项的次数；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(3)多项式不包含单项式
单项式与多项式统称整式
二、合作探究：
1、判断：
①多项式a3﹣a2ｂ＋ab2﹣b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12； （ ）
②多项式3n4﹣2n2＋1的次数为4，常数项为1。 （ ）
[注意]：多项式的次数为最高次项的次数。
2、指出下列多项式的项和次数：
(1)3x﹣1＋3x2； (2)4x3＋2x﹣2y2。
3、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3﹣x＋1； (2)x3﹣2x2y2＋3y2。
4、已知代数式3xn﹣(m﹣1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
5、填空：﹣a2b﹣ab＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
6、下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？
xy+z a x2+bx ﹣1 π ；
三、学习小结：
2.1 整式
第3课时 多项式
学习内容：多项式
学习目的和要求：
1、通过用整式来表示事物间的关系，逐步掌握数学建模思想；
2、理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。
3、通过尝试和交流，体会多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。
4、初步体验排列组合思想与数学美感，培养审美观。
学习重点和难点：
重点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
难点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
一、 自主学习：
1、教材p58例3：我们知道船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
（1）顺水行驶：船的速度= ；
（2）逆水行驶：船的速度= ；
在上面两个关系式中若用字母V表示静水速度则
船的顺水速度为 船的逆水速度为
当V=20时则
甲船顺水速度 甲船逆水速度
乙船顺水速度 乙船逆水速度
2..请运用加法交换律，任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？
【提示】
有六种不同的排列方式，像x2＋x＋1与1＋x＋x2这样的排列比较整齐。这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。例如：把多项式5x2＋3x﹣2x3﹣1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成﹣2x3＋5x2＋3x﹣1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。
若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成﹣1＋3x＋5x2﹣2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。
二、合作探究
1、请把卡片
＋3x2y2
＋2y
﹣35x3
﹣11x7y5
﹣7xy3
按x降幂排列
2、把多项式2πr﹣1＋3πr3﹣π2r2按r升幂排列。
【提示】：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、﹣π2、3π。
3、把多项式a3﹣b3﹣3a2b＋3ab2重新排列。
(1)按a升幂排列；
(2)按a降幂排列。
4、把多项式x4﹣y4＋3x3y﹣2xy2﹣5x2y3用适当的方式排列。
(1)按字母x的升幂排列得： ；
(2)按字母y的升幂排列得： 。
【注意】：
(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
5．一个三位数百位数字是a，十位数字是b,个位数字是c 则这个三位数表示为 ；
三．学习小结
整式 随堂练习
一、选择题
1.列式表示“比m的平方的3倍大1的数”是( )
A.(3m)2＋1 B.3m2＋1 C.3(m＋1)2 D.(3m＋1)2
2.一个两位数，个位数字为a，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可表示为( )
A.11a﹣1 B.11a﹣10 C.11a＋1 D.11a＋10
3.已知a﹣7b＝﹣2，则4﹣2a＋14b的值是( )
A.0 B.2 C.4 D.8
4.在代数式2xy2,﹣x，3，x+1，ab﹣x2，2x2﹣x+3中是单项式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列说法正确的是( )
A.x2+1是二次单项式 B.﹣m2的次数是2，系数是1
C.﹣23πab的系数是﹣23 D.数字0也是单项式
6.下列叙述中，错误的是( )
A.﹣a的系数是﹣1，次数是1
B.单项式ab2c3的系数是1，次数是5
C.2x﹣3是一次二项式
D.3x2＋xy﹣8是二次三项式
7.一个四次多项式，它的任何一项的次数必是( )
A.都小于4 B.都等于4 C.都不小于4 D.都不大于4
8.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
二、填空题
9.某影剧院第一排有30个座位，以后的每一排都比前一排多4个座位，则第n排的座位是 .
10.若a﹣2b＝3，则9﹣2a＋4b的值为 .
11.若﹣3axym是关于x、y的单项式，且系数为﹣6，次数为3，则a＝____，m＝_____．
12.多项式3﹣2xy2＋4x2yz的次数是 ，项数是 .
13.若多项式3x|m|＋1﹣(n＋1)x＋3是二次二项式，则m＝ ，n＝ .
14.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)
三 、解答题
15.如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个边长分别为a、b的正方形．
（1）用a、b的代数式表示三角形BGF的面积；
（2）当a=4cm，b=6cm时，求阴影部分的面积．
16.移动公司开设了两种通讯业务：①“全球通”用户先交10元月租费，然后每通话一分钟，付话费0.2元；②“快捷通”用户不交月租费，每通话一分钟付话费0.4元.
(1)按一个月通话a分钟计算，请你写出两种收费方式中用户应付的费用？
(2)某用户一个月内通话300分钟，你认为选择哪种移动通讯业务较合适？
17.已知多项式7xm＋kx2﹣(3n＋1)x＋5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为﹣7，求m＋n﹣k的值.
18.观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
(1)按此规律写出第9个单项式；
(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
答案
1.B
2.D.
3.D.
4.C
5.D
6.B
7.D
8.C
9.答案为：4n＋26.
10.答案为：3
11.答案为：2, 2.
12.答案为：四；三.
13.答案为：±1；﹣1.
14.答案为：n2＋4n.
15.解：
16.解：(1)①0.2a＋10；②0.4a
(2)当a=300时，0.2a＋10=70(元)；0.4a=120(元)，
因为70＜100，
所以选择“全球通”移动通讯业务较合适
17.解：由题意，得m=3，k=0，﹣(3n＋1)=﹣7.
解得n=2.
所以m＋n﹣k=3＋2﹣0=5.
18.解：(1)∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，
∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y.
(2)该单项式为(﹣2)n﹣1xny，它的系数是(﹣2)n﹣1，次数是n＋1.
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