新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第4章 再练一课(范围:§4.1~§4.2)(含解析)
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1.函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=x2
答案 A
解析 函数f(x)过定点为(1,1),代入选项验证可知A选项不过A点.
2.已知a=0.70.5,b=0.70.8,c=()0.8,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
答案 D
解析 ∵函数y=0.7x为R上的减函数,0.5<0.8,
∴1=0.70>a=0.70.5>b=0.70.8,而1=()0<c=()0.8,∴b<a<c.
3.函数y=e2-e|x|(e为无理数,且e≈2.718 28…)的图象可能是( )
答案 B
解析 易知函数y=e2-e|x|是偶函数,排除选项A;
当x>0时,y=e2-ex是减函数,所以排除选项D;
当x=0时,y=e2-1>0,排除选项C.
4.若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,+∞)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即=-,∴=,∴a=1,故f(x)=(x≠0),根据题意,令t=2x,由f(x)>3可得>3⇔-3>0⇔<0⇔1<t<2,即1<2x<2,解得x∈(0,1).
5.(多选)已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x),g(x)满足( )
A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)
B.f(-2)<f(3)
C.f(x)-g(x)=π-x
D.f(2x)=2f(x)g(x)
答案 ABD
解析 A正确,f(-x)==-f(x),
g(-x)==g(x),
所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x);
B正确,因为函数f(x)为增函数,所以f(-2)<f(3);
C不正确,f(x)-g(x)=-==-π-x;
D正确,f(2x)==2··=2f(x)g(x).
6.函数y=3·ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点________.
答案 (2,4)
解析 对于函数y=3·ax-2+1(a>0且a≠1),
令x-2=0,求得x=2,y=4,
可得它的图象经过定点(2,4).
7.函数y=的值域是________,单调递增区间是________.
答案
解析 令t==
=,
则0≤t≤,∴y=t∈,
即函数y=的值域是;
函数y=的定义域为[-1,2].
当0≤t≤时,y=t单调递减,
当≤x≤2时,函数t单调递减,
∴函数y的增区间为.
8.函数f(x)=-9-x+x-1+,x∈[-1,+∞)的值域为________.
答案
解析 f(x)=-9-x+x-1+
=-2x+3×x+,
令t=x,
因为x∈[-1,+∞),所以t∈(0,3],
原函数的值域等价于函数g(t)=-t2+3t+=-2+3(0<t≤3)的值域,
所以g(t)在上单调递增,上单调递减,
g=3,g(3)=,
所以f(x)∈.
9.若f(x)=是奇函数.
(1)求a的值;
(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥2m2-m,求实数m的取值范围.
解 (1)由题意得,f(x)的定义域为{x|x≠0}.
f(1)=2+a,f(-1)=-1-2a,
因为f(x)=是奇函数.
所以f(1)=-f(-1),得a=1;经检验a=1满足题意.
(2)根据(1)可知f(x)=,
化简可得f(x)=1+,
当x∈(0,+∞)时,f(x)>1,
对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥2m2-m,
所以1≥2m2-m,即-≤m≤1.
故m的取值范围为.
10.已知g(x)=x2-2ax+1在区间[1,3] 上的值域为[0,4].
(1)求实数a的值;
(2)若不等式g(2x)-k·4x≥0在当x∈[1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.
解 (1)g(x)=(x-a)2+1-a2,
当a<1时,g(x)在[1,3]上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=2-2a=0,即a=1,与a<1矛盾.故舍去.
当1≤a≤3时,g(x)min=g(a)=1-a2=0,即a=±1,故a=1,
此时g(x)=(x-1)2,满足x∈[1,3]时其函数值域为[0,4].
当a>3时,g(x)在[1,3]上单调递减,
g(x)min=g(3)=10-6a=0,即a=,舍去.
综上所述a=1.
(2)由已知得(2x)2-2×2x+1-k·4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,即 k≤2-2+1在x∈[1,+∞)上恒成立,
令t=,且t∈,则上式可化为k≤t2-2t+1,t∈恒成立.记h(t)=t2-2t+1,
∵t∈时,h(t)单调递减,
∴h(t)min=h=,故k≤,
∴k的取值范围为.
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>
f(-),则a的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
答案 C
解析 由f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),可得2|a-1|<,即|a-1|<,∴<a<.
12.已知实数a>0且a≠1,若函数f(x)=的值域为[4,+∞),则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(0,1)∪(1,2] D.[2,+∞)
答案 D
解析 实数a>0且a≠1,若函数f(x)=的值域为[4,+∞),
当0<a<1时,当x>2时,f(x)的取值范围为(0,a2),与值域为[4,+∞)矛盾,所以0<a<1不成立,
当a>1时,对于函数f(x)=6-x,x≤2,函数的值域为[4,+∞).所以只需当x>2时f(x)的取值范围为[4,+∞)的子集即可.即a2≥4,解得a≥2(舍去a≤-2),
综上可知a的取值范围为[2,+∞).
13.关于x的不等式a·9x+2·3x-1<0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a<-2 B.a≤-1
C.a≤-2 D.a<-1
答案 B
解析 ∵a·9x+2·3x-1<0对任意x>0恒成立,
∴a<=-2·,令t=∈(0,1),
∴a·9x+2·3x-1<0对任意x>0恒成立等价于a<t2-2t对任意t∈(0,1)恒成立,
∵t2-2t=(t-1)2-1>-1,∴a≤-1.
14.已知函数f(x)=2 019x-2 019-x+1,则不等式f(2x-1)+f(2x)>2的解集为________.
答案
解析 设g(x)=f(x)-1=2 019x-2 019-x,则g(-x)=2 019-x-2 019x=-g(x),∴g(x)是奇函数,易知g(x)=2 019x-2 019-x是R上的增函数.
由f(2x-1)+f(2x)>2得f(2x-1)-1+f(2x)-1>0,即g(2x-1)+g(2x)>0,
∴g(2x-1)>g(-2x),即2x-1>-2x,解得x>.
15.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,函数g(x)=x2-2x+m,如果对于任意x1∈[-2,2],存在x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-5,-2)
C.[-5,-2] D.(-∞,-2]
答案 C
解析 ∵f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
∴f(0)=0,
当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1∈(0,3],
则当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-3,3],
若对于∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],
使得g(x2)=f(x1),
则等价为g(x)max≥3且g(x)min≤-3,
∵g(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,x∈[-2,2],
∴g(x)max=g(-2)=8+m,g(x)min=g(1)=m-1,
则满足8+m≥3且m-1≤-3,
解得m≥-5且m≤-2,故-5≤m≤-2.
16.已知函数f(x)=.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值为3,求实数a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值.
解 (1)当a=1时,f(x)=,
令g(x)=x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
而y=t在R上为减函数,
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
即函数f(x)的单调递减区间是(2,+∞),单调递增区间是(-∞,2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=h(x),
因为f(x)的最大值为3,所以h(x)的最小值为-1,
当a=0时,f(x)=-4x+3,无最大值;
当a≠0时,有解得a=1,
所以当f(x)的最大值为3时,实数a的值为1.
(3)由指数函数的性质知,要使f(x)=的值域为(0,+∞),
应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R.
当a=0时,h(x)=-4x+3,值域为R,符合题意;
当a≠0时,h(x)为二次函数,其值域不为R,不符合题意.
故当f(x)的值域是(0,+∞)时,实数a的值为0.