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    新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.1.2 第2课时 分段函数(含解析)

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    这是一份新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.1.2 第2课时 分段函数(含解析),共11页。

    2课时 分段函数

    学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.

    知识点 分段函数

    1.一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.

    2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.

    3.作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.

    思考 分段函数是一个函数还是几个函数?

    答案 分段函数是一个函数,而不是几个函数.

    1分段函数由几个函数构成.( × )

    2.函数f(x)是分段函数.(  )

    3.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系,但它们是一个函数.(  )

    4.分段函数各段上的函数值集合的交集为.( × )

    一、分段函数求值

    1 已知函数f(x)

    (1)f(5)f(1)f 

    (2)f(a22)a4,求实数a的取值范围.

    解 (1)由-5(,-2]1(2,2),-(,-2],知f(5)=-51=-4

    f(1)3×158f f 

    f 3×5.

    (2)因为a222

    所以f(a22)2(a22)12a23

    所以不等式f(a22)a4化为2a2a10

    解得a1a

    即实数a的取值范围是[1,+)

    (教师)

    延伸探究

    1本例条件不变,若f(a)3,求实数a的值.

    解 a2时,f(a)a13

    a2>2,不合题意,舍去;

    当-2<a<2时,f(a)3a53

    a=-(2,2),符合题意;

    a2时,f(a)2a13

    a2[2,+),符合题意.

    综上可得,当f(a)3时,a的值为-2.

    2本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围.

    解 x2时,f(x)>2x可化为x1>2x

    x<1,所以x2

    当-2<x<2时,f(x)>2x可化为3x5>2x

    x>5,所以-2<x<2

    x2时,f(x)>2x可化为2x1>2x,则x.

    综上可得,x的取值范围是{x|x<2}

    (学生)

    反思感悟 (1)分段函数求值的方法

    先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

    然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.

    (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.

    跟踪训练1 (1)已知函数f(x)f(f(1))等于(  )

    A.-  B2  C4  D11

    答案 C

    解析 由函数的解析式可得,f(1)1223

    f(f(1))f(3)34.

    (2)函数f(x)f(x0)8,则x0________.

    答案 10

    解析 x02时,f(x0)x28,即x6

    x0=-x0(舍去)

    x0>2时,f(x0)x08x010.

    综上可知,x0=-x010.

    二、分段函数的图象及应用

    2 已知函数f(x)=-x22g(x)x,令φ(x)min{f(x)g(x)}(f(x)g(x)中的较小者)

    (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)

    (2)求函数φ(x)的定义域,值域.

    解 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)g(x)的图象如图.

    由图中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象如图.

    令-x22x,得x=-2x1.

    结合图,得出φ(x)的解析式为φ(x)

    (2)由图知,φ(x)的定义域为Rφ(1)1

    φ(x)的值域为(1]

    (学生)

    反思感悟 分段函数图象的画法

    (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.

    (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.

    跟踪训练2 xR,则函数y2|x1|3|x|的值域为________

    答案 {y|y2}

    解析 x1时,y2(x1)3x=-x2

    0x<1时,y=-2(x1)3x=-5x2

    x<0时,y=-2(x1)3xx2.

    y

    根据函数解析式作出函数图象,如图所示.

    由图象可以看出,函数的值域为{y|y2}

    三、分段函数的实际应用

    3 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BFx,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.

    解 过点AD分别作AGBCDHBC,垂足分别是GH.

    因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°

    AB2cm

    BC7 cm,所以ADGH3 cm.

    (1)当点FBG上,即x[0,2]时,yx2

    (2)当点FGH上,即x(2,5]时,

    y×22x2

    (3)当点FHC上,即x(5,7]时,

    yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF

    (73)×2(7x)2=-(x7)210.

    综合(1)(2)(3),得函数的解析式为

    y

    图象如图所示.

    (学生)

    反思感悟 分段函数的实际应用

    (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.

    (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.

    跟踪训练3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

    (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;

    (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.

    解 (1)阴影部分的面积为

    50×180×190×175×165×1360.

    阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.

    (2)根据图象,有s

    相应的图象如图所示:

    1.函数f(x)|x1|的图象是(  )

    答案 B

    解析 方法一 函数的解析式可化为y画出此分段函数的图象,故选B.

    方法二 f(1)2,知图象过点(1,2),排除ACD.

    2.著名的Dirichlet函数D(x)D等于(  )

    A0   B1

    C.   D.

    答案 B

    解析 D(x){0,1}D(x)为有理数,D1.

    3.已知函数f(x)f(2)________.

    答案 1

    解析 f(2)1.

    4.函数y的定义域为________,值域为________

    答案 (0)(0,+) {2}(0,+)

    解析 定义域为各段的并集,即(0)(0,+)

    因为x>0,所以x2>0,由于值域为各段的并集,

    所以函数的值域为{2}(0,+)

    5.函数f(x)f(x)3,则x的值是________

    答案 

    解析 x1时,x23,得x1,舍去;

    当-1<x<2时,x23xx=-(舍去)

    1知识清单:

    (1)分段函数的概念及求值.

    (2)分段函数的图象及应用.

    2.方法归纳:分类讨论、数形结合法.

    3.常见误区:

    (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.

    (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.

    1.设函数f(x)f(f(3))等于(  )

    A.  B3  C.  D.

    答案 D

    解析 f(3)1f(f(3))21.

    2.设xR,定义符号函数sgn x则函数f(x)|x|sgn x的图象大致是(  )

    答案 C

    解析 由题意知f(x)

    f(x)的图象为C中图象所示.

    3.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(  )

    答案 B

    解析 根据题意,知这列火车从静止开始匀加速行驶,所以排除AD,然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间,排除C.

    4.设函数f(x)f 4,则b等于(  )

    A1  B.  C.  D.

    答案 D

    解析 f f f .

    b<1,即b>时,3×b4

    解得b(舍去)

    b1,即b时,2×4

    解得b.

    5.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为(  )

    A13立方米   B14立方米

    C18立方米   D26立方米

    答案 A

    解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y

    y16m,可知x>10.

    2mx10m16m,解得x13.

    6.已知f(x)f f ________.

    答案 4

    解析 f(x)

    f f f 

    f f ×2

    f 2×

    f f 4.

    7.函数f(x)的定义域为________,值域为________

    答案 (1,1) (1,1)

    解析 定义域为各段的并集,

    (0,1){0}(1,0)(1,1)

    值域为各段的并集(0,1){0}(1,0)(1,1)

    8.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是__________________

    答案 f(x)

    解析 由题图可知,图象是由两条线段组成,

    当-1x<0时,设f(x)axb

    (1,0)(0,1)代入解析式,

    0x1时,设f(x)kx

    (1,-1)代入,则k=-1.

    f(x)

    9.已知函数f(x)1(2<x2)

    (1)用分段函数的形式表示函数f(x)

    (2)画出函数f(x)的图象;

    (3)写出函数f(x)的值域.

    解 (1)0x2时,f(x)11

    当-2<x<0时,f(x)11x.

    所以f(x)

    (2)函数f(x)的图象如图所示.

    (3)(2)知,f(x)(2,2]上的值域为[1,3)

    10.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:

    全月应纳税所得额

    税率

    不超过3 000元的部分

    3%

    超过3 000元至12 000元的部分

    10%

    超过12 000元至25 000元的部分

    20%

     

    某职工每月收入为x元,应交纳的税额为y元.

    (1)请写出y关于x的函数关系式;

    (2)有一职工八月份交纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少?

    解 (1)由题意,

    y

    (2)该职工八月份交纳了54元的税款,

    5 000<x8 000(x5 000)×3%54

    解得x6 800.

    故这名职工八月份的工资是6 800元.

    11.设f(x)f(5)的值是(  )

    A24  B21  C18  D16

    答案 A

    解析 f(5)f(f(10))

    f(10)f(f(15))f(18)21

    f(5)f(21)24.

    12.已知实数a0,函数f(x)f(1a)f(1a),则a的值为________

    答案 

    解析 a>0时,1a<1,1a>1

    2(1a)a=-1a2a,解得a=-(舍去)

    a<0时,1a>1,1a<1

    1a2a22aa,解得a=-.

    13.已知函数f(x)则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为______________

    答案 

    解析 由题意可得

    解得1x<

    解得x<<x<1.

    综上所述,使f(x)<2成立的x的值组成的集合为.

    14.若定义运算ab则函数f(x)x(2x)的值域为________

    答案 (1]

    解析 由题意得f(x)

    画出函数f(x)的图象得值域为(1]

    15.已知函数f(x)f(1x)2,则x的取值范围是(  )

    A   B[0,2]

    C[2,0]   D{1}[0,2]

    答案 D

    解析 当-11x1,即0x2时,f(1x)2,满足条件,所以0x2

    1x<11x>1x<0x>2时,f(1x)4(1x)x32

    解得x=-1,满足条件,

    综上有0x2x=-1.

    16.如图,该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9时离开家,15时回家.根据这个曲线图,请你回答下列问题:

    (1)最初到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?

    (2)何时开始第一次休息?休息多长时间?

    (3)第一次休息时,离家多远?

    (4)11001200他骑了多少千米?

    (5)他在900100010001030的平均速度分别是多少?

    (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐?

    解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时,离家30千米.

    (2)1030开始第一次休息,休息了半小时.

    (3)第一次休息时,离家17千米.

    (4)11001200他骑了13千米.

    (5)9001000的平均速度是10千米/时;10001030的平均速度是14 千米/时.

    (6)12时到13时停止前进,并休息用午餐较为符合实际情形.

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