数学必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解教案设计

《利用二分法求方程的近似解》教学设计

1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．

2.体会函数在解方程中的作用．

重点：利用二分法求方程的近似解．

难点：求方程近似解的精确度的把握．

一、情境导入

情境：怎样工作最合理？

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，大约有多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

首先从整条线路的中点查起，用随身带的话机向两端测试时，发现段正常，断定故障在段；再到段中点，这次发现段正常，可见故障在段；再查中点…每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到左右，即两根电线杆附近，要查多少次？

答案：只要8次就够了．

设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．

二、新知探究

问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？

设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．

方程一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性．

追问1：怎样确定方程有实数解？

答案：方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点．

所以，函数的零点就是的图象与轴交点的横坐标，即方程的实数解．

若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解．

追问2：能否找出方程的一个实数解的存在区间呢？

答案：设，

容易得出，，结合零点存在定理，可知在区间内存在零点，即方程的一个实数解的存在区间为．

追问3：我们已经知道，在区间内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？

答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）

设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解．

追问4：如果要获得精确度为的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？

答案：已知在区间内存在实数解，即函数在区间内存在零点，这个区间长度为．要获得精确度为的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间的中点，又，，则．根据函数零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，即在区间内存在实数解，区间长度为，因此，区间内任意一个数都是满足精确度的近似解．

追问5：如果要获得精确度为的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？

答案：当精确度为时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．

追问6：给定精确度，为什么当时，区间中任意一个值都是满足精确度的近似值？

答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值与其准确值的接近程度．近似值的误差不超过某个数，即，就说它的精确度是．所以当时，所在的区间中任意一个值与的误差都不超过，当然也就不超过．区间中任意一个值都是满足精确度的近似值．

追问7： 我们已经将实数解所在的区间从缩小到了，根据追问5确定的方法，再取区间的中点，用计算器算得．因为，所以零点在区间内．请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小区间，直到区间长度小于为止．将你的计算结果填写在下表中，并据此画出函数在区间内的大致图象．

答案：

追问8：你给出的精确度为的近似解吗？

答案：由知，区间内任意一点都可以作为解的近似值．如：取作为函数零点的近似值，也即方程的近似解．

问题2 上面这种求方程的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？

答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．

取区间的中点，若，则区间内有方程的解．

再取区间的中点… …这样操作下去（如果取到某个区间的中点，恰使，那么就是所求的解；如果区间中点的函数值不等于，且区间某个端点的函数值与异号，那么与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，从而得到近似解．

像这样，对于一般的函数，，若函数的图象是一条连续的曲线，，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．

追问：你能提炼出给定精确度，用二分法求方程的近似解的一般步骤吗？

答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：

其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．

在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．

若方程有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．

三、应用举例

例1: 求方程的一个近似解．（精确度为）

解：考察函数，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．

经试算，，．所以方程在区间内有解．

取区间的中点，，

所以方程在区间内有解．

如此下去，得到方程的解所在的区间，如下表：

至此，可以看出，区间的区间长度为，它小于．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，就是方程精确度为的一个近似解．

四、课堂练习

1．思考辨析

(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．(    )

(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．(    )

(3)当方程的有解区间的区间长度(精度)时，区间内任意一个数都是满足精度的近似解．(    )

2．用二分法求函数的零点时，初始区间可选为(    )

A．(－1，0)     B．(0，1)      C．(1，2)   D．(2，3)

3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么函数零点的一个近似解(精度为)为(    )

A．1.25         B．1.375        C．1.40625      D．1.5

参考答案：

1.(1)只有当函数图象在区间是连续的曲线，且与轴有交点时（即），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2) 使用二分法时，如果取到某个区间的中点，恰使，那么就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．

2.解：，

，

，

，

故函数的零点在区间上，故初始区间可选为．选C．

3.解：根据题意知函数的零点在至之间，又，故方程的一个近似解为，故选C．

五、课堂小结

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．

2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：

(1)函数图像在区间上连续不断；

(2)．

上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．

六、布置作业

教材第页练习第1题．