高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解学案设计

5.1.2利用二分法求方程的近似值

【教学目标】

重点、难点

重点：理解二分法的原理及其适用条件 ；

难点：掌握二分法的实施步骤 ；

学科素养

  引导学生在思考和解决问题的过程中获得新知，更加有效地进行数学学习，培养数学能力

【知识清单】

知识点一二分法的原理

思考 上节课，我们已经知道 f ( x ） ＝ ln x ＋ 2 x － 6 的零点在区间 ( 2 ， 3 ） 内，如何缩小零点所在区间 （ 2 ， 3 ) 的范围 ?

答案 ① 取区间 （ 2 , 3 ) 的中点 2.5.

② 计算 f ( 2 . 5 ) 的值 ， 用计算器算得 f ( 2 . 5 ） ≈ － 0.084. 因为 f ( 2 . 5 ） · f ( 3 ） <0 ， 所以零点在区间 ( 2 .5 , 3 ) 内 ．

二分法的概念 ：

对于在区间 ［ a ， b ] 上连续不断且 f （ a ) · f （ b ) <0 的函数 y ＝ f ( x ) ， 通过不断地把函数 f （ x ） 的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点 逐步逼近零点 ， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 ．

由函数的零点与相应方程根的关系 , 可用二分法来求 方程的近似解 ．

知识点二用二分法求函数 f ( x ） 零点近似值的步骤

给定精确度 ε ， 用二分法求函数 f ( x ） 零点近似值的步骤 ：

( 1 ) 确定区间 ［ a , b ] ， 验证 f ( a ) · f ( b ） 〈 0 ， 给定精确度 ε ；

（ 2 ） 求区间 （ a ， b ) 的中点 c ;

( 3 ) 计算 f ( c ）；

① 若 f （ c ) ＝ 0 , 则 c 就是函数的零点 ；

② 若 f ( a ） · f （ c ) <0 ， 则令 b ＝ c （ 此时零点 x 0 ∈ ( a ， c ) ）；

③ 若 f ( c ) · f （ b ） 〈 0 ， 则令 a ＝ c ( 此时零点 x 0 ∈ （ c , b ) ）．

( 4 ) 判断是否达到精确度 ε ： 即若｜ a － b | 〈 ε ， 则得到零点近似值 a （ 或 b ）； 否则重复 ( 2 ）～ ( 4 ）．

知识点三精确度与运算次数

思考 1 “ 精确到 0 .1 " 与 “ 精确度为 0 . 1 ” 一样吗？

答案 不一样 ． 比如得数是 1.25 或 1.34 ， 精确到 0 .1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1 .3. 而 “ 精确度为 0.1 ” 指零点近似值所在区间 （ a ， b ) 满足 | a － b ｜ <0 . 1 ， 比如零点近似值所在区间 ( 1 .25 , 1.34 ）． 若精确度为 0.1 , 则近似值可以是 1 .25 ， 也可以是 1.34.

思考 2 如果给定零点所在的初始区间 ［ a , b ] 与精确度 ε ，如何估算二分次数 ?

【经典例题】

例1下列函数中，不能用二分法求零点的是 ( 　　 )

　例2试判断方程 x 3 ＋ 3 x － 5 ＝ 0 在区间 (0,3) 内是否有实数解？若有，求出该解的近似值 ( 精确到 0.01) ．

例3　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发 生了故障，这是一条 10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子， 10 km 长，大约有 200 多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

【课堂达标】

1．在用二分法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（    ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A．1.4 B．1.3 C．1.2 D．1.5

3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

4．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设

，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为

A．f（0.5） B．f（1.125）

C．f（1.25） D．f（1.75）

5．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（      ）

A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）

D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）

6．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(     )

A． B．

C． D．

7．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ）

A． B． C． D．

8．利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：

那么方程的一个根位于下列区间 （ ）

A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）

9．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1 B．x2

C．x3 D．x4

10．下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是（    ）．

A． B． C． D．

11．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（    ）

A． B．

C． D．

12．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点     ，第二次应计算      ，以上横线应填的内容依次为（    ）

A． B．

C． D．

13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．

【能力提升】

15．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)

16．2015年5月12日15：05尼泊尔发生了7.5级地震地震发生后，停水断电，交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条长的线路，每隔有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？

17．利用计算器，求方程的近似解（精确度为0.1）.

18．求函数的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）．

【参考答案】

【经典例题】

例1【答案】　 B

【方法总结】 　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：

(1) 需依据图像估计零点所在的初始区间 [ m ， n ] ( 一般采用估计值的方法完成 ) ．

(2) 取区间端点的平均数 c ，计算 f ( c ) ，确定有解区间是 [ m ， c ] 还是 [ c ， n ] ，逐步缩小区间的 “ 长度 ” ，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

　例2【解】 　 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 x － 5 ，由于 f (0) ＝－ 5<0 ， f (3) ＝ 31>0 ，因此 f (0)· f (3)<0 ，所以 f ( x ) 在 (0,3) 内至少存在一个零点，即原方程在 (0,3) 内必有实数解．

以下用二分法求方程在 (0,3) 内的近似解．

由于 f (1) ＝－ 1<0 ， f (2) ＝ 9>0 ，所以方程的解又必在区间 (1,2) 内，故可取区间 (1,2) 为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：

由上表可知，区间 [1.152 343 75,1.154 296 875] 中的每一个数都精确到 0.01 ，都等于 1.15 ，所以 1.15 就是方程精确到 0.01 的近似解．

例3【解】 　 如图．

他首先从中点 C 查，用随身带的话机向两端测试时，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D ，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 中点 E 来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过 7 次查找，即可将故障发生的范围缩小到 50 ～ 100 m 之间，即一两根电线杆附近．

【课堂达标】

1．B

【解析】

【分析】

直接利用二分法判断.

【详解】

∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，

∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点

又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，

∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点，

由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二分法求方程的近似解，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．

【详解】

由表格中参考数据可得，，

又因为题中要求精确到0.1，

所以近似根为 1.4

故选：A．

【点睛】

本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．

3．C

【解析】

【分析】

由表中参考数据可得，，，又精确度为，由二分法定义即可得答案.

【详解】

由表中参考数据可得，，，

所以，由二分法定义得零点应该存在于区间内，又

精确度为，且，故方程的一个近似根为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了用二分法求方程的近似解问题，属于基础题.

4．C

【解析】

【分析】

先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出

该同学在第二次应计算的函数值.

【详解】

∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．

【点睛】

本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.

5．C

【解析】

【分析】

根据已知能的特殊函数值，可以确定方程的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.

【详解】

由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．

【点睛】

本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.

6．D

【解析】

【分析】

根据零点左右附近，函数值必须改变符号，可以选出答案.

【详解】

根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D．

【点睛】

本题考查了零点存在定理，考查了数形结合能力.

7．B

【解析】

【分析】

二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.

【详解】

二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.

而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.

另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.

根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，

故选：B.

【点睛】

本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.

8．C

【解析】

构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C

点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．

(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．

(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．

9．C

【解析】

观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.

10．C

【解析】

【分析】

根据利用二分法求函数与轴交点的横坐标，该函数的零点必须是变号零点，简单判断可得结果.

【详解】

由题可知：利用二分法求函数与轴交点的横坐标该函数的零点必须是变号零点，

所以根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C

故选：C

【点睛】

本题考查利用二分法求函数零点的条件，熟悉使用二分法的条件，属基础题.

11．B

【解析】

【分析】

直接根据图象分析，只有变号的零点才可以分二分法求解，即可得到答案；

【详解】

B选项中的零点不是变号零点，

该零点不宜用二分法求解，

故选：B.

【点睛】

本题考查二分法求函数零点的理解，考查数形结合思想，属于基础题.

12．A

【解析】

【分析】

首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答．

【详解】

由题意可知：对函数，，，且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，

根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，

所以答案为：，．

故选：．

【点睛】

本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．

13．1.5,1.75,1.875,1.812 5

【解析】

第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．

14．5

【解析】

因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.

故答案为5.

【能力提升】

15．1.56

【解析】

注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.

16．见解析.

【解析】

【分析】

先画出线路图,从中点开始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找这一半的中点,以此类推,即可快速排查故障所在

【详解】

如图,

可首先从中点C开始检查,若段正常，则故障在段；再从段中点D检查,若段正常,则故障在段；再从段中点E检查,……如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,将故障范图缩小到之间,即可迅速找到故障所在

【点睛】

本题考查二分法在实际中的应用

17．一个近似解为1.625，另一个近似解为4.4375.

【解析】

【分析】

先画出的图象可判断方程有一根在,设为,再求得,缩小范围至,进而依次类推,根据二分法的原则,最后根据精确度确定方程的近似解

【详解】

设,作出函数的草图如图所示,通过观察函数的草图得,

,,

所以方程有一根在内,设为,

因为,

所以,

又因为,

所以,

由,则,

由,则，

由于,

所以方程的一个近似解为1.625,

用同样的方法,可求得方程的另一个近似解为4.4375

【点睛】

本题考查利用二分法求方程的近似解,考查计算器的应用

18．1.6875

【解析】

【分析】

利用二分法求方程的近似解即可求解.

【详解】

由于，故可取区间作为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，列表如下：

由上表的计算可知，可取1.6875作为所求函数的一个正零点的近似值．

【点睛】

本题考查了二分法求方程的近似解，需掌握求解的步骤，属于基础题.