高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解2课时同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解2课时同步练习题，共8页。试卷主要包含了2 利用二分法求方程的近似解等内容，欢迎下载使用。

§1 方程解的存在性及方程的近似解


1.2 利用二分法求方程的近似解


课时2 函数与方程的综合问题


知识点1 函数与方程


1.☉%861@5￥@#%☉(2020·太原五中高一期末)下列区间不能判断函数f(x)=2x-3是否有零点的是( )。


A.[-2,0]B.[0,2]C.[2,4]D.[4,6]


答案：C


解析：函数f(x)=2x-3的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞),所以函数y=f(x)的图像在区间[2,4]上不是一条连续的曲线,故不能用零点存在定理来判断是否存在零点。故选C。


2.☉%*2*6#@28%☉(教材习题改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1 009个,则f(x)的零点的个数为( )。


A.1 009B.1 010C.2 018D.2 019


答案：D


解析：由于奇函数图像关于原点对称且它在(0,+∞)内的零点有1 009个,所以它在(-∞,0)内的零点也有1 009个。又f(x)的定义域为R,所以f(0)=0。即0也是它的零点,故f(x)的零点共有2 019个。故选D。


3.☉%￥8￥02#￥8%☉(2020·常德一中高一检测)函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点( )。


A.至多有一个B.有一个或两个


C.有且仅有一个D.一个也没有


答案：C


解析：若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,若有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾。故选C。


4.☉%5*5@*#11%☉(2020·郑州中牟二高高一月考)函数f(x)=ln x-1x-1的零点的个数是( )。


A.0B.1C.2D.3


答案：C


解析：画图易知y=ln x与y=1x-1的图像有两个交点。故选C。


5.☉%**0*9@90%☉(2020·衡水武邑高一月考)设f(x)=1-(x-a)(x-b)(a

A.a

C.a

答案：B


解析：因为f(x)=1-(x-a)(x-b)(a




6.☉%35￥@4@￥4%☉(2020·三明二中高一月考)已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]。


(1)画出函数y=f(x)的图像,并写出其值域;


答案：解:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图像如图,其值域为[-4,5]。





(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点?


答案：因为函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点,所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两个相异的实数根,即函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点。由(1)所作图像可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4。所以当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点,故当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点。


知识点2 利用二分法求近似解


7.☉%￥*628*￥8%☉(2020·昆明官渡一中高一期中)若函数f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值为 。


答案：a=2或a=-1


解析：由题意知,对于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。


8.☉%2#0*￥04￥%☉(2020·宜昌葛洲坝中学高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=52,那么下一个有根的区间是 。


答案：2,52


解析：令f(x)=x3-2x-5。因为f(2)=23-4-5=-1<0,f52=523-5-5=458>0,f(3)=33-11=16>0,故下一个有根区间为2,52。


9.☉%##0￥8#78%☉(2020·吉林调考)某同学在借助计算器求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0,然后他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8。那么他之后取的x的4个值依次是 。


答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5


解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5)。


10.☉%3#@￥6￥39%☉(2020·上海中学月考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,在(0,2)内无零点,且在(2,+∞)上是增函数,则该函数有 个零点,这几个零点的和等于 。


答案：3 0


解析：由于f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0。因为-2是它的一个零点,所以2也是它的零点,故共有3个零点,它们的和为0。


11.☉%@7*2*@63%☉(2020·马鞍山高一期中)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1)。


答案：解:因为f(1)=1-1-1=-1<0,


f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,


所以函数f(x)在区间[1,1.5]内存在零点,取区间(1,1.5)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表:


因为|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,


所以函数f(x)的零点落在区间(1.312 5,1.375)内,故函数f(x)零点的近似值可取为1.312 5。


12.☉%￥@112@8*%☉(2020·信阳月考)若a满足x+lg x=4,b满足x+10x=4,函数f(x)=x2+(a+b)x+2(x≤0),2(x>0),则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )。


A.1B.2


C.3D.4


答案：C


解析：因为a满足x+lg x=4,b满足x+10x=4,


所以a,b分别为函数y=4-x与函数y=lg x,y=10x图像交点的横坐标。


因为y=x与y=4-x图像交点的横坐标为2,函数y=lg x,y=10x的图像关于y=x对称,所以a+b=4。


所以函数f(x)=x2+4x+2(x≤0),2(x>0)。


当x≤0时,关于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,所以x=-2或x=-1,满足题意;


当x>0时,关于x的方程f(x)=x,即x=2,满足题意。


所以关于x的方程f(x)=x的解的个数是3,故选C。


题型 函数与方程的综合应用


13.☉%9￥4￥*16￥%☉(2020·济宁第一中学高一期中)已知函数f(x)=lgax+x-3(a>0且a≠1)有两个零点x1,x2,且x1

A.0,14B.14,1


C.(1,4)D.(4,+∞)


答案：A


解析：由函数f(x)=lgax+x-3(a>0且a≠1)有两个零点,可知0

14.☉%**9#9@97%☉(2020·衡水中学高一月考)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是( )。


A.1,54B.1,54


C.1,32D.1,32


答案：A


解析：如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a,观察图像可知,若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,a的取值必须满足a>1,4a-14<1,解得1




15.☉%1￥4##2#5%☉(2020·成都树德中学高一月考)已知m∈R,函数f(x)=|2x+1|(x<1),lg2(x-1)(x>1),g(x)=x2-2x+2m-1,若函数y=f(g(x))-m有6个零点,则实数m的取值范围是( )。


A.0,35B.25,34


C.34,1D.(1,3)


答案：A


解析：函数f(x)=|2x+1|(x<1),lg2(x-1)(x>1)。令g(x)=t,y=f(t)与y=m的图像(如图)最多有3个交点。当有3个交点时,02m-2①,又0




16.☉%4￥2@3@#3%☉(2020·余姚中学高一期中)已知函数g(x)=lg22xx+1(x>0)。若关于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数根,则实数m的取值范围是 。


答案：-32,-43


解析：当x>0时,0<2x1+x<2,则lg22x1+x<1,即函数g(x)=lg22xx+1(x>0)的值域是(-∞,1),令|g(x)|=t可得t2+mt+2m+3=0在(0,1)上只有一个根,在[1,+∞)上有一个根。令f(t)=t2+mt+2m+3,故f(0)>0,f(1)≤0,即2m+3>0,3m+4≤0,解得-32

17.☉%@7@#28*3%☉(2020·豫西南部分示范性高中高一期中)已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下,实数a的取值范围。


(1)零点均大于1;


答案：解:由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得Δ=(-2a)2-16≥0,f(1)=5-2a>0,a>1,


解得2≤a<52。


(2)一个零点大于1,一个零点小于1;


答案：由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得f(1)=5-2a<0,解得a>52。


(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内。


答案：由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得f(0)=4>0,f(1)=5-2a<0,f(6)=40-12a<0,f(8)=68-16a>0,解得103

18.☉%3#@#6￥48%☉(2020·定兴三中高一期中)求函数f(x)=|x2-2x|-a2-a(a∈(0,+∞))的零点的个数。


答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,所以函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零点的个数转化为|x2-2x|=a2+1的根的个数,再转化为函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1>0交点的个数,其中函数y=|x2-2x|的增区间为(0,1),(2,+∞),减区间为(-∞,0),(1,2),当x=1时函数值为1,所以函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1>1有两个交点,即方程|x2-2x|=a2+1(a∈(0,+∞))的解的个数是2,所以函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零点的个数是2。


19.☉%2￥5*￥@01%☉(2020·济南一中月考)已知函数f(x)=|3x-1|,a∈13,1,若函数g(x)=f(x)-a有两个不同的零点x1,x2(x1

(1)若a=23,求x1的值;


答案：解:当a=23时,令g(x)=|3x-1|-23=0,得3x=13或53,


因为x1

(2)求x2-x1+x4-x3的最小值。


答案：令g(x)=|3x-1|-a=0,得3x=1±a。


因为x1

令h(x)=|3x-1|-a2a+1=0,得3x=1±a2a+1。


因为x3

所以x2-x1+x4-x3=lg3(1+a)1+a2a+1(1-a)1-a2a+1=lg31+3a1-a=lg341-a-3。


因为y=lg341-a-3在a∈13,1上单调递增,所以当a=13时,x2-x1+x4-x3取最小值,最小值为1。区间
区间中点
中点函数值(或近似值)
(1,1.5)
1.25
-0.297
(1.25,1.5)
1.375
0.225
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.052
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.083