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第29章《投影与视图》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版）
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这是一份第29章《投影与视图》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版），文件包含第29章《投影与视图》解析版docx、第29章《投影与视图》原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
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知识点1：平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
细节剖析：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
知识点2：中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
细节剖析：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
知识点3：中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
细节剖析：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.
知识点4：正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
(3)立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
细节剖析：
(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
知识点5：三视图
1.三视图的概念
（1）视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
（3）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系
（1）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
细节剖析：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
知识点6：画几何体的三视图
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
细节剖析：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
知识点7：由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
细节剖析：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
考点提优练
考点01：中心投影
1．（2021秋•薛城区期末）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ）号窗口．
A．1B．2C．3D．4
解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口．
故选：C．
2．（2020•南岸区自主招生）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3mB．4mC．4.5mD．5m
解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝5（m），
故选：D．
3．（2022秋•永康市校级月考）如图，桥拱关于水面AB反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽AB＝6米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是 米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是 （3﹣） 米．
解：如图，连接AP，OP，AO，CO，CD，OP交AB于点T，交CD于点J．
由题意AB⊥OP，PT＝OT，
∴AP＝AO＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠AOT＝60°，
∵AT＝TB＝AB＝3米，
∴PT＝OT＝＝（米），OA＝2OT＝2（米），
∵＝，
∴∠COJ＝∠COA＝30°，
∴OJ＝CO•cs30°＝3（米），
∴JT＝OJ﹣OT＝3﹣，
故答案为：，（3﹣）．
4．（2021秋•晋中期末）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 中心投影 （填写“平行投影”或“中心投影”）．
解：“皮影戏”中的皮影是中心投影，
故答案为：中心投影．
5．（2022秋•市南区期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．
解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，
∴EA∥GO，
∴△AEB∽△OGB，
∴＝，
∴＝，
解得AB＝2（m）；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝5（m），
同理可得△DFC∽△DGO，
∴＝，
即 ＝，
解得AC＝7.5（m）．
答：小方行走的路程AC为7.5m．
6．（2020秋•韩城市期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，＝，
∴＝，
∴OD＝4．
∴灯泡的高为4m．
7．（2018秋•潜山市期末）如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．
解：如图，设M是AD的中点．
∵AD∥PH，
∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC，
∴AB：HB＝AD：PH，AC：AM＝HC：PH，
即2.4：（2.4+AH）＝1.6：PH，1.05：0.8＝（1.05+HA）：PH，
解得：PH＝7.2m．
即路灯的高度为7.2米．
考点02：平行投影
8．（2022秋•莱西市期中）如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB＝20cm，∠ABB1＝70°，则投影A1B1的长为（ ）
A．20sin70°cmB．20cs70°cmC．20tan70°cmD．
解：如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，
∴AH＝A1B1，
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin70°＝20•sin70°（cm），
∴A1B1＝AH＝20sin70°（cm）．
故选：A．
9．（2021•苏州自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果打算搬运其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，求最多可以搬走（ ）小正方体．
A．27B．26C．25D．24
解：第1列最多可以搬走9个小正方体；
第2列最多可以搬走8个小正方体；
第3列最多可以搬走3个小正方体；
第4列最多可以搬走5个小正方体；
第5列最多可以搬走2个小正方体．
9+8+3+5+2＝27个．
故最多可以搬走27个小正方体．
故选：A．
10．（2021秋•莱阳市期末）小兰身高160cm，她站立在阳光下的影子长为80cm；她把手臂竖直举起，此时影子长为100cm，那么小兰的手臂超出头顶 40 cm．
解：设手臂竖直举起时总高度xcm，则＝，
解得x＝200，
200﹣160＝40（cm），
故小兰的手臂超出头顶40cm，
故答案为：40
11．（2021秋•紫金县月考）一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么 乙 （填“甲”或“乙”照片）是参加400m比赛时照的．
解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长；
∵比赛是在上午进行，
∴则甲照片是参加100m的，乙照片是参加400m的．
故答案为：乙．
12．（2021秋•太平区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
13．（2021秋•简阳市 期中）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
＝，
即：＝，
∴BN＝20（m），
∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）
答：楼高为21.2m．
考点03：视点、视角和盲区
14．（2022•河北二模）如图是某电影院中一个圆形影厅的示意图，AD是⊙O的直径，且AD＝30m，弦AB是圆形影厅的屏幕，在C处观众的视角∠ACB＝45°，则AB＝（ ）
A．20mB．15mC．mD．m
解：连接OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∴AB＝OA，
∵AD＝30m，
∴OA＝15（m），
∴AB＝15（m），
故选：D．
15．（2020秋•路南区期末）如图，从点D观测建筑物AC的视角是（ ）
A．∠ADCB．∠DABC．∠DCAD．∠DCE
解：从点D观测建筑物AC的视角是∠ADC．
故选：A．
16．（2020•永康市模拟）航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：
（1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高 （36﹣36） m；
（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为 m．（忽略遥控器所在高度）
解：（1）由题意：tan＝＝，
∵拍摄区域面积为现在的2倍，
∴可拍摄区域半径为48m，设航拍器飞行高度为hm，
则有tan＝＝，
∴h＝36，
该航拍器还要升高（36﹣36）m，
故答案为（36﹣36）．
（2）如图，由题意航拍器在以O为圆心，2000m为半径的圆上运动．
航拍器可拍摄区域的最大直径为EE′，此时PE⊥OP，PE′⊥OP′，
则有＝，
∴OE＝（m），
故答案为．
17．（2021秋•茶陵县期末）驾驶员在驾驶车辆行驶过程中都会产生视觉盲区，如图，△ABC、△FED区域分别为该驾驶员在驾车行驶过程中的左右盲区，铅直高度AC、FD分别为盲高，BC、ED分别为盲宽，驾驶员视线PB与地面所在水平线BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．
（1）求盲高AC；
（2）求右盲区△FED面积．
解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC2+BC2＝22，
∴AC＝
（2）∵DF＝AC＝（m），
在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，∠E＝30°，
∴EF＝2DF＝2
∴DE＝＝
所以右盲区△FED面积＝××＝（m2）．
18．（2021•碑林区校级三模）小明周末到公园里散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一座景观塔BD（如图），假设小明行走到M处时正好透过树顶C看到景观塔的第5层顶端E处，此时他的视角为30°，已知树高AC＝10米，景观塔BD共6层（塔顶高度和小明的身高忽略不计），每层5米．请问，小明再向前走多少米刚好看不到景观塔BD？（结果保留根号）
解：连接DC并延长交BM于点N，
由题意得，BE＝5×5＝25（米），BD＝5×6＝30（米），
在Rt△ACM中，
∵∠M＝30°，AC＝10，
∴AM＝10，
在Rt△BEM中，
∵∠M＝30°，BE＝25，
∴BM＝25，
∴AB＝BM﹣AM＝25﹣10＝15，
∵AC∥BD，
∴△ACN∽△BDN，
∴＝＝＝，
设NA＝x，则NB＝x+15，
∴＝，
解得，x＝，
∴MN＝MA﹣NA＝10﹣＝（米），
答：小明再向前走米刚好看不到景观塔BD．
考点04：简单几何体的三视图
19．（2022秋•小店区月考）如图的四个几何体，它们各自从正面，上面看得到的形状图不相同的几何体的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：正方体的主视图，俯视图相同，都是正方形；
三棱柱的主视图是矩形（包括中间的一条虚线），俯视图是三角形．
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆．
圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆（包括圆心）．
故选：C．
20．（2021•远安县二模）如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③
解：从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；
从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；
从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．
故选：D．
21．（2021秋•临淄区期末）若一个几何体的从正面、左面、上面看到的形状都相同，则这个几何体可能是 正方体或球 ．（至少填两种图形）
解：正方体从正面看，左面看，上面看到的平面图形为全等的正方形；
球从正面看，左面看，上面看到的平面图形为全等的圆，
故答案为：正方体或球．
22．（2015秋•常熟市校级月考）如图，一长方体木板上有两个洞，一个是正方形状的，一个是圆形状的，对于以下4种几何体，你觉得哪一种作为塞子既可以堵住圆形空洞又可以堵住方形空洞？ ② （填序号）．
解：圆柱的俯视图是圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是长方形，可以堵住方形空洞，故圆柱是最佳选项，
故答案为②．
23．（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm，宽为12cm的长方形硬纸板．把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积V＝ （18﹣2x）•（12﹣2x）•x cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的值；如果不是正方形，请说明理由．
解：（1）由题意得，长方体盒子的长（18﹣2x）、宽（12﹣2x）、高x，因此体积为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
故答案为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
（2）把x＝2代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝14×8×2＝224，
把x＝4代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝10×4×4＝160，
故答案为：224，160；
（3）它的形状不可能是正方形，
当18﹣2x＝x时，即x＝6，而当x＝6时，图①的长边变为0，因此折不成长方体，故从正面看是正方形是不可能的．
考点05：简单组合体的三视图
24．（2022秋•南岗区校级月考）如图，该几何体由5个小正方体组合而成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
解：这个几何体的主视图是：
故选：D．
25．（2022•开封二模）如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变
B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变
D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
解：移动前后的组合体的三视图如下：
所以左视图改变，俯视图不变，
故选：C．
26．（2022秋•蕉城区校级月考）如图，是由8个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标有①、②、③、④的四个小正方体中随机取走一个，所得新几何体与原几何体主视图相同的概率是 ．
解：共有4种可能，其中拿走①是主视图是相同的，
∴相同的概率是．
故答案为：．
27．（2019秋•碑林区校级月考）水平放置的长方体的底面是长和宽分别是4和6的长方形，它的左视图的面积是12，则这个长方体的体积等于 48或72 ．
解：如图1它的左视图的面积为12，长为4，因此宽为3，即长方体的高为3，因此体积为：4×6×3＝72，
如图2，它的左视图的面积为12，长为6，因此宽为2，即长方体的高为2，因此体积为：4×6×2＝48．
故答案为：48或72．
28．（2022秋•子洲县校级月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作―些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ ①③④ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 3 个正方体纸盒．
解：（1）①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④；
（2）①这个几何体的体积＝2×2×2×6＝48；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加3个正方体．
故答案为：3．
（2021秋•峡江县期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
解：主视图，左视图如图所示：
考点06：由三视图判断几何体
30．（2022•宝安区校级模拟）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
解：由三视图可知这个几何体是：
故选：A．
31．（2022秋•东平县校级月考）由四个相同的小正方体搭建的一个积木，从正面、左面，上面看这个积木时，看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A．B．C．D．
解：这个几何体是：
故选：A．
32．（2022秋•梁溪区校级期中）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是 11πcm ．
解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：＝11π（cm），
故答案为：11πcm．
33．（2022秋•朝阳区校级期中）若干桶方便面摆放在桌面上，如图所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有 7 桶．
解：观察俯视图可知，方便面共有3+2+2＝7（桶）．
故答案为：7．
34．（2022•瑞安市二模）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明想用一把刻度尺测量出螺纹直径．已知刻度尺紧靠螺纹，经过点A且交CD于点P，若测得AP长为13mm，正六边形ABCDEF的边长为7.5mm，则CP长为 0.5 mm，螺纹直径为 mm．
解：如图，连接AD，设AP与⊙O切于点G，连接OG，连接AC，则AC＝mm，
∵AP＝13mm，
由勾股定理得PC＝＝0.5（mm），
延长AP，过D做DH⊥AP于H，△ACP∽△DHP，
∴＝，即＝，
解得DH＝，
由中位线定理得OG＝mm，
则螺纹直径为mm．
故答案为：0.5，．
35．（2022秋•莱芜区校级月考）根据如图所示的形状图（单位．：mm），求该几何体的体积．
解：这个几何体由两个圆柱组成，体积＝π×42×4+π×82×16＝1040π（mm2）．
36．（2022•迁安市二模）第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而一“墩”难求；为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个．
（1）求这两次技术改造日产量的平均增长率；
（2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒（单位：cm），请计算此类盲盒的表面积．
解：（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2420，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两次技术改造日产量的平均增长率为10%；
（2）π×42+π×4×8+8×8
＝16π+32π+64
＝48π+64．
故此类盲盒的表面积是48π+64．
考点07：作图-三视图
37．（2020•青县二模）小丽在两张6×10的网格纸（网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度）中分别画出了如图所示的物体的左视图和俯视图，这个物体的体积等于（ ）
A．24B．30C．48D．60
解：如图，补全几何体左角，根据左视图与俯视图标记几何体的尺寸．
这个物体的体积：8×2×4﹣×4×1×2＝64﹣4＝60，
故选：D．
38．（2022秋•市南区校级期中）如图是由10个相同的小立方体组成的一个几何体．
（1）分别画出从正面，左面，上面看的形状图．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
解：（1）如图所示：
（2）[6×10﹣（2×8）﹣7]×2×2＝148（cm2）．
故这个堆积几何体的表面积（不含底面）是148cm2．
39．（2022秋•南岸区校级月考）（1）分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图．
（2）如图所示是由几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图．
解：（1）这个几何体的主视图、左视图、俯视图如下：
（2）这个几何体的主视图和左视图如下：
x/cm
1
2
3
4
5
V/cm3
160
224
216
160
80
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知识点1：平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
细节剖析：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
知识点2：中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
细节剖析：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
知识点3：中心投影与平行投影的区别与联系
1.联系：
（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.
（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.
2.区别：
（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.
（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
细节剖析：
在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.
知识点4：正投影
正投影的定义：
如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.
(3)立体图形的正投影.
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
细节剖析：
(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
知识点5：三视图
1.三视图的概念
（1）视图
从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
（2）正面、水平面和侧面
用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
（3）三视图
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.三视图之间的关系
（1）位置关系
三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
（2）大小关系
三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.
细节剖析：
物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.
知识点6：画几何体的三视图
画图方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
(1)确定主视图的位置，画出主视图；
(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
细节剖析：
画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.
知识点7：由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
细节剖析：
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
考点提优练
考点01：中心投影
1．（2021秋•薛城区期末）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（ ）号窗口．
A．1B．2C．3D．4
解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口．
故选：C．
2．（2020•南岸区自主招生）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3mB．4mC．4.5mD．5m
解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝5（m），
故选：D．
3．（2022秋•永康市校级月考）如图，桥拱关于水面AB反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽AB＝6米，则水面AB与该桥拱的最高点P之间的距离是 米，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面AB的距离是 （3﹣） 米．
解：如图，连接AP，OP，AO，CO，CD，OP交AB于点T，交CD于点J．
由题意AB⊥OP，PT＝OT，
∴AP＝AO＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠AOT＝60°，
∵AT＝TB＝AB＝3米，
∴PT＝OT＝＝（米），OA＝2OT＝2（米），
∵＝，
∴∠COJ＝∠COA＝30°，
∴OJ＝CO•cs30°＝3（米），
∴JT＝OJ﹣OT＝3﹣，
故答案为：，（3﹣）．
4．（2021秋•晋中期末）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 中心投影 （填写“平行投影”或“中心投影”）．
解：“皮影戏”中的皮影是中心投影，
故答案为：中心投影．
5．（2022秋•市南区期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．
解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，
∴EA∥GO，
∴△AEB∽△OGB，
∴＝，
∴＝，
解得AB＝2（m）；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝5（m），
同理可得△DFC∽△DGO，
∴＝，
即 ＝，
解得AC＝7.5（m）．
答：小方行走的路程AC为7.5m．
6．（2020秋•韩城市期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，＝，
∴＝，
∴OD＝4．
∴灯泡的高为4m．
7．（2018秋•潜山市期末）如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH．
解：如图，设M是AD的中点．
∵AD∥PH，
∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC，
∴AB：HB＝AD：PH，AC：AM＝HC：PH，
即2.4：（2.4+AH）＝1.6：PH，1.05：0.8＝（1.05+HA）：PH，
解得：PH＝7.2m．
即路灯的高度为7.2米．
考点02：平行投影
8．（2022秋•莱西市期中）如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB＝20cm，∠ABB1＝70°，则投影A1B1的长为（ ）
A．20sin70°cmB．20cs70°cmC．20tan70°cmD．
解：如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，
∴AH＝A1B1，
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin70°＝20•sin70°（cm），
∴A1B1＝AH＝20sin70°（cm）．
故选：A．
9．（2021•苏州自主招生）墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果打算搬运其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，求最多可以搬走（ ）小正方体．
A．27B．26C．25D．24
解：第1列最多可以搬走9个小正方体；
第2列最多可以搬走8个小正方体；
第3列最多可以搬走3个小正方体；
第4列最多可以搬走5个小正方体；
第5列最多可以搬走2个小正方体．
9+8+3+5+2＝27个．
故最多可以搬走27个小正方体．
故选：A．
10．（2021秋•莱阳市期末）小兰身高160cm，她站立在阳光下的影子长为80cm；她把手臂竖直举起，此时影子长为100cm，那么小兰的手臂超出头顶 40 cm．
解：设手臂竖直举起时总高度xcm，则＝，
解得x＝200，
200﹣160＝40（cm），
故小兰的手臂超出头顶40cm，
故答案为：40
11．（2021秋•紫金县月考）一天上午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么 乙 （填“甲”或“乙”照片）是参加400m比赛时照的．
解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长；
∵比赛是在上午进行，
∴则甲照片是参加100m的，乙照片是参加400m的．
故答案为：乙．
12．（2021秋•太平区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
13．（2021秋•简阳市 期中）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
＝，
即：＝，
∴BN＝20（m），
∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）
答：楼高为21.2m．
考点03：视点、视角和盲区
14．（2022•河北二模）如图是某电影院中一个圆形影厅的示意图，AD是⊙O的直径，且AD＝30m，弦AB是圆形影厅的屏幕，在C处观众的视角∠ACB＝45°，则AB＝（ ）
A．20mB．15mC．mD．m
解：连接OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∴AB＝OA，
∵AD＝30m，
∴OA＝15（m），
∴AB＝15（m），
故选：D．
15．（2020秋•路南区期末）如图，从点D观测建筑物AC的视角是（ ）
A．∠ADCB．∠DABC．∠DCAD．∠DCE
解：从点D观测建筑物AC的视角是∠ADC．
故选：A．
16．（2020•永康市模拟）航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：
（1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高 （36﹣36） m；
（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为 m．（忽略遥控器所在高度）
解：（1）由题意：tan＝＝，
∵拍摄区域面积为现在的2倍，
∴可拍摄区域半径为48m，设航拍器飞行高度为hm，
则有tan＝＝，
∴h＝36，
该航拍器还要升高（36﹣36）m，
故答案为（36﹣36）．
（2）如图，由题意航拍器在以O为圆心，2000m为半径的圆上运动．
航拍器可拍摄区域的最大直径为EE′，此时PE⊥OP，PE′⊥OP′，
则有＝，
∴OE＝（m），
故答案为．
17．（2021秋•茶陵县期末）驾驶员在驾驶车辆行驶过程中都会产生视觉盲区，如图，△ABC、△FED区域分别为该驾驶员在驾车行驶过程中的左右盲区，铅直高度AC、FD分别为盲高，BC、ED分别为盲宽，驾驶员视线PB与地面所在水平线BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．
（1）求盲高AC；
（2）求右盲区△FED面积．
解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AC2+BC2＝22，
∴AC＝
（2）∵DF＝AC＝（m），
在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，∠E＝30°，
∴EF＝2DF＝2
∴DE＝＝
所以右盲区△FED面积＝××＝（m2）．
18．（2021•碑林区校级三模）小明周末到公园里散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一座景观塔BD（如图），假设小明行走到M处时正好透过树顶C看到景观塔的第5层顶端E处，此时他的视角为30°，已知树高AC＝10米，景观塔BD共6层（塔顶高度和小明的身高忽略不计），每层5米．请问，小明再向前走多少米刚好看不到景观塔BD？（结果保留根号）
解：连接DC并延长交BM于点N，
由题意得，BE＝5×5＝25（米），BD＝5×6＝30（米），
在Rt△ACM中，
∵∠M＝30°，AC＝10，
∴AM＝10，
在Rt△BEM中，
∵∠M＝30°，BE＝25，
∴BM＝25，
∴AB＝BM﹣AM＝25﹣10＝15，
∵AC∥BD，
∴△ACN∽△BDN，
∴＝＝＝，
设NA＝x，则NB＝x+15，
∴＝，
解得，x＝，
∴MN＝MA﹣NA＝10﹣＝（米），
答：小明再向前走米刚好看不到景观塔BD．
考点04：简单几何体的三视图
19．（2022秋•小店区月考）如图的四个几何体，它们各自从正面，上面看得到的形状图不相同的几何体的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：正方体的主视图，俯视图相同，都是正方形；
三棱柱的主视图是矩形（包括中间的一条虚线），俯视图是三角形．
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆．
圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆（包括圆心）．
故选：C．
20．（2021•远安县二模）如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③
解：从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；
从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；
从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．
故选：D．
21．（2021秋•临淄区期末）若一个几何体的从正面、左面、上面看到的形状都相同，则这个几何体可能是 正方体或球 ．（至少填两种图形）
解：正方体从正面看，左面看，上面看到的平面图形为全等的正方形；
球从正面看，左面看，上面看到的平面图形为全等的圆，
故答案为：正方体或球．
22．（2015秋•常熟市校级月考）如图，一长方体木板上有两个洞，一个是正方形状的，一个是圆形状的，对于以下4种几何体，你觉得哪一种作为塞子既可以堵住圆形空洞又可以堵住方形空洞？ ② （填序号）．
解：圆柱的俯视图是圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是长方形，可以堵住方形空洞，故圆柱是最佳选项，
故答案为②．
23．（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm，宽为12cm的长方形硬纸板．把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积V＝ （18﹣2x）•（12﹣2x）•x cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的值；如果不是正方形，请说明理由．
解：（1）由题意得，长方体盒子的长（18﹣2x）、宽（12﹣2x）、高x，因此体积为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
故答案为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
（2）把x＝2代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝14×8×2＝224，
把x＝4代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝10×4×4＝160，
故答案为：224，160；
（3）它的形状不可能是正方形，
当18﹣2x＝x时，即x＝6，而当x＝6时，图①的长边变为0，因此折不成长方体，故从正面看是正方形是不可能的．
考点05：简单组合体的三视图
24．（2022秋•南岗区校级月考）如图，该几何体由5个小正方体组合而成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
解：这个几何体的主视图是：
故选：D．
25．（2022•开封二模）如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变
B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变
D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
解：移动前后的组合体的三视图如下：
所以左视图改变，俯视图不变，
故选：C．
26．（2022秋•蕉城区校级月考）如图，是由8个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，现从标有①、②、③、④的四个小正方体中随机取走一个，所得新几何体与原几何体主视图相同的概率是 ．
解：共有4种可能，其中拿走①是主视图是相同的，
∴相同的概率是．
故答案为：．
27．（2019秋•碑林区校级月考）水平放置的长方体的底面是长和宽分别是4和6的长方形，它的左视图的面积是12，则这个长方体的体积等于 48或72 ．
解：如图1它的左视图的面积为12，长为4，因此宽为3，即长方体的高为3，因此体积为：4×6×3＝72，
如图2，它的左视图的面积为12，长为6，因此宽为2，即长方体的高为2，因此体积为：4×6×2＝48．
故答案为：48或72．
28．（2022秋•子洲县校级月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作―些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ ①③④ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 3 个正方体纸盒．
解：（1）①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④；
（2）①这个几何体的体积＝2×2×2×6＝48；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加3个正方体．
故答案为：3．
（2021秋•峡江县期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
解：主视图，左视图如图所示：
考点06：由三视图判断几何体
30．（2022•宝安区校级模拟）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
解：由三视图可知这个几何体是：
故选：A．
31．（2022秋•东平县校级月考）由四个相同的小正方体搭建的一个积木，从正面、左面，上面看这个积木时，看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A．B．C．D．
解：这个几何体是：
故选：A．
32．（2022秋•梁溪区校级期中）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是 11πcm ．
解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：＝11π（cm），
故答案为：11πcm．
33．（2022秋•朝阳区校级期中）若干桶方便面摆放在桌面上，如图所给的是它的三视图，则这一堆方便面共有 7 桶．
解：观察俯视图可知，方便面共有3+2+2＝7（桶）．
故答案为：7．
34．（2022•瑞安市二模）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明想用一把刻度尺测量出螺纹直径．已知刻度尺紧靠螺纹，经过点A且交CD于点P，若测得AP长为13mm，正六边形ABCDEF的边长为7.5mm，则CP长为 0.5 mm，螺纹直径为 mm．
解：如图，连接AD，设AP与⊙O切于点G，连接OG，连接AC，则AC＝mm，
∵AP＝13mm，
由勾股定理得PC＝＝0.5（mm），
延长AP，过D做DH⊥AP于H，△ACP∽△DHP，
∴＝，即＝，
解得DH＝，
由中位线定理得OG＝mm，
则螺纹直径为mm．
故答案为：0.5，．
35．（2022秋•莱芜区校级月考）根据如图所示的形状图（单位．：mm），求该几何体的体积．
解：这个几何体由两个圆柱组成，体积＝π×42×4+π×82×16＝1040π（mm2）．
36．（2022•迁安市二模）第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而一“墩”难求；为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个．
（1）求这两次技术改造日产量的平均增长率；
（2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒（单位：cm），请计算此类盲盒的表面积．
解：（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2420，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两次技术改造日产量的平均增长率为10%；
（2）π×42+π×4×8+8×8
＝16π+32π+64
＝48π+64．
故此类盲盒的表面积是48π+64．
考点07：作图-三视图
37．（2020•青县二模）小丽在两张6×10的网格纸（网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度）中分别画出了如图所示的物体的左视图和俯视图，这个物体的体积等于（ ）
A．24B．30C．48D．60
解：如图，补全几何体左角，根据左视图与俯视图标记几何体的尺寸．
这个物体的体积：8×2×4﹣×4×1×2＝64﹣4＝60，
故选：D．
38．（2022秋•市南区校级期中）如图是由10个相同的小立方体组成的一个几何体．
（1）分别画出从正面，左面，上面看的形状图．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
解：（1）如图所示：
（2）[6×10﹣（2×8）﹣7]×2×2＝148（cm2）．
故这个堆积几何体的表面积（不含底面）是148cm2．
39．（2022秋•南岸区校级月考）（1）分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图．
（2）如图所示是由几个小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图．
解：（1）这个几何体的主视图、左视图、俯视图如下：
（2）这个几何体的主视图和左视图如下：
x/cm
1
2
3
4
5
V/cm3
160
224
216
160
80
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