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第23讲 相似与圆-讲义2021-2022学年人教版九年级数学下册学案
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第23讲 相似与圆
知识导航
1.垂径定理及其推论.
2.圆周角定理及其推论.
3.切线的判定及其性质.
4.切线长定理.
5.三角形相似的判定及其性质.
【板块一】 求线段比值
方法技巧
1.构造A型或X型相似求比值.
2.用等线段代换求比值.
3.利用两比值相乘求比值.
题型一 直接计算法求比值
【例1】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值.
【解析】(1)略；
(2)连接CD，由(1)可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，∴R2＋122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6.∵＝＝，∴DP＝6，易得BP＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝6，可证△BCM∽△CDM，∴＝，得MD＝2，∴＝＝.
题型二 构造A型或X型相似求比值.
【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若BC＝6，AB＝3，求的值.
【解析】(1)延长AO交BC于点E，连接OB.∵OB＝OC，AB＝AC，∴点A、O均在BC的垂直平分线上，∴BE＝EC，AO⊥BC；
(2)延长CO交⊙O于点F.AE＝＝9.设AO＝x，则OE＝9－x，32＋(9－x)2＝x2，x＝5.∴FC＝2x＝10.∵BC＝6.∠FBC＝90°，∴BF＝8.可证AE∥FB.∴＝＝.
题型三 先等量代换后用三角形相似求比值
【例3】如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，C为上－点，CD交AB于点F.若F为AO的中点，求的值.
【解析】过点D作CD的垂线交CB的延长线于点E.易证∠C＝∠DOB＝45°.
∵CD⊥DE，∴∠E＝∠C＝45°，∴CD＝DE.设OF＝AF＝1，则AO＝OD＝OB＝2，BD＝2，BF＝3.连接AD，易证∠BDE＝∠ADC＝∠ABC，△CBF∽△EDB，∴＝＝，∵DE＝CD，∴＝.
题型四 运用乘积求比值(·＝)
【例4】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作AB的垂线分别交AB，AE于点H，D.若＝，AE＝4BE，求的值.
【解析】易证△ACB∽△AHC，＝＝，易证△AEB∽△AHD，＝＝4，∴·＝×4＝6，故＝6.
针对练习1
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)若＝，求的值.
解：(1)略；
(2)连接OC，则OC∥BD，∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，∴＝，＝，∴＝，∵＝，设EA＝2k，AO＝3k，∴EB＝8k，EO＝5k，∴＝＝.
2. 如图，△ABC内接于. AH⊥BC于点H，连接OC，过点A作的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求的值.
解：（1）连接AO并延长交于点D.连接CD.易证∠BAH=∠DAC=∠ACO；
（2）连接BD. ∵AD为直径. ∴∠ACD=90.易证△ABH∽△ADC.
∴ ∴ .
可证. 又∠E=∠E
∴ ∴ .
3. 如图，以Rt△ABC斜边AB上一点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D，与AB交于另一点E，BC交于点F，连接OD，BD.
（1）求证：∠AOD=2∠CBD；
（2）若，求的值.
解：（1）略；
（2） 连接EF交OD于点H，设CF=.则CE=17. EF=4，
可得EH=HF=2，DH=CF=，设OH=，则OD=OE=+，
，，∴ , ∴.
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，以AB为直径作，交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.
（1）求证：DH为的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值.
解：（1）略；
（2）设EA=AH=2，则EH=HC=4，AC=6. OD=AC=3，OD//AC得
. . 易证△FOD∽△FDB，
∴.∴.故.
【板块二】求线段长
方法技巧
1.用方程思想求线段长.
2.用全等（或相似）找线段之间的关系.
3.用特殊边角关系找线段之间的关系.
题型一 用全等找线段关系，列方程求解
【例1】如图，∠ABD=90°，AB是的直径，交AD于点C.CE∥AB交于点E，AE=2AC.AB=.求CD的长.
【解析】连接BE，BC.易证△BCA≌△AEB，
∴AE=BC=2AC.设AC=,则BC=2，AB=，=1
易证△ABC∽△ADB.∴=AC·AD.得AD=5.
∴CD=AD-AC=5-1=4.
题型二 用相似找线段关系，列方程求解
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC上一点，以OC为半径作与AB相切于点D，交AC于点E，OB交CD于点F.
（1）求证：OB·DE=；
（2）若，AB=10，求半径.
【解析】（1）易证=OF·OB，DE=2OF，OC=CE.
∴DE·0B，.∴OB·DE=；
（2）设OF=，则OB=5，，
∴OC=..由DE∥OB可得.
∴，.,,.
题型三 利用特殊边角关系找联系
【例3】如图，点O，E分别为△ABC的外心和内心，AB=AC，AE的延长线交于点D，交BC于点F.
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠BAC=30°，BD=，求OE的长.
【解析】（1）连接BE，易证∠DBE=∠DEB，∴BD=DE；
（2） 连接BO.易证AF⊥BC，BF=FC.∴点O在AD上.
设BF=.∠BOF=2∠BAF=∠BAC=30°.∴OB=2BF=2，OF=，DF=.
易证△BDF∽△ADB.∴，
解得，∴OE=OD－DE=OB－BD=2－
针对练习2
1.如图，AB是的直径，点C在上，CD是的切线，AD⊥CD，垂足为D，E是AB延长线上点.CE交于点F，连接OC，AC.
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）连接BF，若∠DAO=105°，∠E=30°，AC=4+，求BF的长.
解：（1）略；
（2）过点O作OG⊥CE，垂足为G.易证∠C0A=75°，∠OCG=45°.
设CG=，则GF=CG=OG=.
OE=2.GE=.EF=，AE=（2+）.易证△EFB∽△EAC.
∴，，∴.
2.如图，△ABC内接于，AB是的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交于点E，连接BE，BI，BE=EI，BI平分∠ABC，若OI⊥AE于点I，BA=，求CD的长.
解：易证∠BAE=∠CBE=∠CAE.OI⊥AE，
∴AI－EI=BE.设BE=,则AE=2，，
，，，.易证△BED∽△AEB.
∴.可得ED=，.易证△ABE∽△ADC，
，得CD= .
3. 如图，A，B，C三点在上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE.
（1）求证：DF是的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长.
解：（1）略；
（3） 连接CD，易证△ABD≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.
∵DE=5， ∴CE=3. EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5.
∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8.
∴AB=BC=8. ∵DE/AB. ∴△ABF∽△MEF.
∴. ∴ME=4. ∴DM=DE－EM=1.
【板块三】求线段之积
方法技巧
1.直接法：分别求出两条线段长.
2.整体法：利用三角形相似求两条线段之积.
题型一 利用母子相似求同一直线上两条线段之积
【例1】如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，是△ABC的外接圆，AD是的直径.
（1）求证：PA是的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，∠P=45°，CP=AP，若AG·AB=15，求CP的长。
【解析】（1）略；
（2）易证△ACG∽△ABC，得=AG·AB=15，
过点C作CM⊥AP，垂足为点M，设CP=，则AP=，
易证CM=MP=，则AM=，AC=，
∴5=15，=3，x=.故CP==.
题型二 利用射影定理求同一直线上两条线段之积
【例2】在中，，AD⊥AB交BC延长线于点D，连接AO，AB=8.
（1）求BC·BD的值；
（2）若OA=5，求CD的长.
【解析】（1）延长AO交BC于点E，易证AE⊥BC，
BE=EC=BC.易证△ABE∽△DBA，∴=BE·BD=64.
∴BC·BD=64. BC·BD=128.
（2）过.点O作OF⊥AB于点F，则AF=BF=4，OF=3，
易证△AOF∽△ABE，得BE=.BC=2BE=.由（1）知BD=. CD=BD－BC=.
题型三 利用相似求不在同一条直线上两条线段之积
【例3】如图，AB，CD都是的直径，DB的延长线与过点C的切线交于点P，CE⊥AB，垂足为点E.AD=2，求CE·CP的值.
【解析】连接BC，AC，易证四边形ADBC为矩形，∴CB=AD=2.
易证△CEB∽△CBP，得CE·CP==4.
针对练习3
1.如图.CD为的直径，AD，AB，BC分别与相切于点D，E，C（AD
（2）若DE·OB=40，求AD·BC的值.
解：（1）略：
（2）连接QA，CE. EC交0B于点K.易证：OK=DE，
△OCK∽△OBC，∴，
易证△AOD≌△AOE，∴∠AOD=∠A0E，同法证明，
∠BOE=∠BOC，易证△ADO∽△OCB. ∴AD·BC=OD.OC==20.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D在AB的延长线上，且BD=6，过点D作DE ⊥AD交AC的延长线于点E，以DE为直径的交AE于点F.
（1）求的半径；
（2）设CD交于点Q，求BQ·BE的值.
解：（1）的半径为6；
（2）易证B.Q，E三点共线，易证△BDQO∽△BED，BQ·BE==36.
3.如图，I为△ABC的内心，AB=AC，BI的延长线交△ABC的外接圆于点D，∠BDC的平分线交AC于点E.若EC=1，AE=4.求BI·ID的值.
解：连接Al，Cl.易证DI=DC. 易证△ABI∽△DCE，
得BI·CD=AB·CE=5.
∵ID=CD.
∴BI·ID=BI·CD=5.
【板块四】经典图形研究
方法技巧
1．切割图（也叫弦切图）中相似问题（切割线定理）
2．切割线加垂直的图中，作高构造矩形求解．
3．双切图中隐含射影定理的结论（知二求五）．
题型一 切割图
【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，过点C的切线与AB的延长线交于点P，弦CE=AC，连接EB并延长并CP于点H．
（1）求证：BH⊥CP；
（2）若AC=6，AB=，求PH的长．
【解析】（1）略；
（2）连接CO，CB，BC=，易证△PCB∽△PAC，，设PB=x，则PC=2PB=2x，PA=2PC=4x，AB=PA－PB=3x=，x=．BP=，PC=，PO=．BH∥OC，得，∴PH=PC=
题型二 切割图+垂直
【例2】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，求的值．
【解析】连接OD，BC，过点O作OM⊥AE，垂足为点M，设AC=6，则AB=10，AM=MC=3，易证四边形MODE为矩形，∴ME=OD=5，AE=3+5=8，OD∥AE得
题型三 双切图
【例3】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
【解析】（1）略；
（2）连接OP交AB于点K，连接OB，BC，易证BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，易证BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得，设PK=x，则有，解得（负根舍去），PK=，可得
题型四 多切线图
【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AB=AC．
（1）求证：BD=DC；
（2）若，O的半径为1，求EF的长．
【解析】（1）AE=AF，BD=BE，CD=CF，AB=AC，则AB－AE=AC－AF，BE=CF，∴BD=DC；
（2）连接OE，AO，OD，证A，O，D三点共线．设EF交AO于点H．设AE=2x，EB=3x，则AB=5x，BD=BE=3x，易证△AEO∽ADB，∴，得AO=，AE=．又，EH=，∴
题型五 切径图（切线+过切点的直径）
【例5】如图，AB是⊙O的直径，AT是O的直径，BT交O于点C，D是O上一点，∠ATB=2∠CDO，AB=40，AT=30，求CD的长．
【解析】延长DO交BT于点F．连接AC，OC．易证∠ATB=∠CAB=∠COB，又∠ATB=2∠CDO=∠COF，∴∠COF=∠COB，∵OC=OB，∴OF⊥BT，CF=FB=BC，BT=，易证ABCTBA，得，BC=32，∴CF=BF=16，OF=．FD=12=20=32，∴DC=
针对练习4
1．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长．
解：（1）易证△OFD∽△OCP，∴，∴，∵OD=OC，∴；
（2）如图，过点C作CM⊥OP于点M，连接EC，EO，设OC=OB=r，在Rt△POC中，，，∴r=2．可得EF=CM=，
在Rt△OEF中，，∴EC=2OF=，∵EC∥OB，∴，∵GH∥CM，，∴GH=
2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求DF的长．
解：（1）略；
（2）连接OD，过点O作OM⊥AC，垂足为M，易证四边形ODEM为矩形．∴ME=OD=5，AM=8－5=3，∴OM=4，易证△ODF∽△AMO，∴，DF=
3．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弦AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D，E，交AB于点H，交AC于点F，P是ED延长线一点，且PC=PF．
（1）求证：PC是O的切线；
（2）若，求证：CF=EF；
（3）在（2）条件下，若OH=1，AH=2，直接写出线段PC的长．
解：（1）（2）略；
（3）由（2）可知：AD=CD，∠ACD=∠CAD．∵∠PCD=∠CAD，∵OH=1，AH=2，∴OD=3，DH=，DE=2DH=，AD=，，，∴DF=，∵PC=PF，，，∴，
∴PD=，∴，∴PC=
4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，延长AB交DC延长线于点F，连接AC交OE于点G，设AB=4，BC=1
（1）求△ADF的周长；
（2）直接写出的值．
解：（1）可求出DE=AD=4，证△FBC∽△FAD，∴，∴，，∴FB=，FA=，在Rt△FBC中，，
∴FD=FC+CE+DE=，△ADF的周长为16
（2）连接OC，AE，证OC∥AE，△COG∽△AEG，△FCO∽△FEA，∴，，，又FC=,FE=FC+CE=FC+BC=，∴
第23讲 相似与圆
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1.垂径定理及其推论.
2.圆周角定理及其推论.
3.切线的判定及其性质.
4.切线长定理.
5.三角形相似的判定及其性质.
【板块一】 求线段比值
方法技巧
1.构造A型或X型相似求比值.
2.用等线段代换求比值.
3.利用两比值相乘求比值.
题型一 直接计算法求比值
【例1】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值.
【解析】(1)略；
(2)连接CD，由(1)可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，∴R2＋122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6.∵＝＝，∴DP＝6，易得BP＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝6，可证△BCM∽△CDM，∴＝，得MD＝2，∴＝＝.
题型二 构造A型或X型相似求比值.
【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若BC＝6，AB＝3，求的值.
【解析】(1)延长AO交BC于点E，连接OB.∵OB＝OC，AB＝AC，∴点A、O均在BC的垂直平分线上，∴BE＝EC，AO⊥BC；
(2)延长CO交⊙O于点F.AE＝＝9.设AO＝x，则OE＝9－x，32＋(9－x)2＝x2，x＝5.∴FC＝2x＝10.∵BC＝6.∠FBC＝90°，∴BF＝8.可证AE∥FB.∴＝＝.
题型三 先等量代换后用三角形相似求比值
【例3】如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，C为上－点，CD交AB于点F.若F为AO的中点，求的值.
【解析】过点D作CD的垂线交CB的延长线于点E.易证∠C＝∠DOB＝45°.
∵CD⊥DE，∴∠E＝∠C＝45°，∴CD＝DE.设OF＝AF＝1，则AO＝OD＝OB＝2，BD＝2，BF＝3.连接AD，易证∠BDE＝∠ADC＝∠ABC，△CBF∽△EDB，∴＝＝，∵DE＝CD，∴＝.
题型四 运用乘积求比值(·＝)
【例4】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作AB的垂线分别交AB，AE于点H，D.若＝，AE＝4BE，求的值.
【解析】易证△ACB∽△AHC，＝＝，易证△AEB∽△AHD，＝＝4，∴·＝×4＝6，故＝6.
针对练习1
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)若＝，求的值.
解：(1)略；
(2)连接OC，则OC∥BD，∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，∴＝，＝，∴＝，∵＝，设EA＝2k，AO＝3k，∴EB＝8k，EO＝5k，∴＝＝.
2. 如图，△ABC内接于. AH⊥BC于点H，连接OC，过点A作的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求的值.
解：（1）连接AO并延长交于点D.连接CD.易证∠BAH=∠DAC=∠ACO；
（2）连接BD. ∵AD为直径. ∴∠ACD=90.易证△ABH∽△ADC.
∴ ∴ .
可证. 又∠E=∠E
∴ ∴ .
3. 如图，以Rt△ABC斜边AB上一点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D，与AB交于另一点E，BC交于点F，连接OD，BD.
（1）求证：∠AOD=2∠CBD；
（2）若，求的值.
解：（1）略；
（2） 连接EF交OD于点H，设CF=.则CE=17. EF=4，
可得EH=HF=2，DH=CF=，设OH=，则OD=OE=+，
，，∴ , ∴.
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，以AB为直径作，交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.
（1）求证：DH为的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值.
解：（1）略；
（2）设EA=AH=2，则EH=HC=4，AC=6. OD=AC=3，OD//AC得
. . 易证△FOD∽△FDB，
∴.∴.故.
【板块二】求线段长
方法技巧
1.用方程思想求线段长.
2.用全等（或相似）找线段之间的关系.
3.用特殊边角关系找线段之间的关系.
题型一 用全等找线段关系，列方程求解
【例1】如图，∠ABD=90°，AB是的直径，交AD于点C.CE∥AB交于点E，AE=2AC.AB=.求CD的长.
【解析】连接BE，BC.易证△BCA≌△AEB，
∴AE=BC=2AC.设AC=,则BC=2，AB=，=1
易证△ABC∽△ADB.∴=AC·AD.得AD=5.
∴CD=AD-AC=5-1=4.
题型二 用相似找线段关系，列方程求解
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC上一点，以OC为半径作与AB相切于点D，交AC于点E，OB交CD于点F.
（1）求证：OB·DE=；
（2）若，AB=10，求半径.
【解析】（1）易证=OF·OB，DE=2OF，OC=CE.
∴DE·0B，.∴OB·DE=；
（2）设OF=，则OB=5，，
∴OC=..由DE∥OB可得.
∴，.,,.
题型三 利用特殊边角关系找联系
【例3】如图，点O，E分别为△ABC的外心和内心，AB=AC，AE的延长线交于点D，交BC于点F.
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠BAC=30°，BD=，求OE的长.
【解析】（1）连接BE，易证∠DBE=∠DEB，∴BD=DE；
（2） 连接BO.易证AF⊥BC，BF=FC.∴点O在AD上.
设BF=.∠BOF=2∠BAF=∠BAC=30°.∴OB=2BF=2，OF=，DF=.
易证△BDF∽△ADB.∴，
解得，∴OE=OD－DE=OB－BD=2－
针对练习2
1.如图，AB是的直径，点C在上，CD是的切线，AD⊥CD，垂足为D，E是AB延长线上点.CE交于点F，连接OC，AC.
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）连接BF，若∠DAO=105°，∠E=30°，AC=4+，求BF的长.
解：（1）略；
（2）过点O作OG⊥CE，垂足为G.易证∠C0A=75°，∠OCG=45°.
设CG=，则GF=CG=OG=.
OE=2.GE=.EF=，AE=（2+）.易证△EFB∽△EAC.
∴，，∴.
2.如图，△ABC内接于，AB是的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交于点E，连接BE，BI，BE=EI，BI平分∠ABC，若OI⊥AE于点I，BA=，求CD的长.
解：易证∠BAE=∠CBE=∠CAE.OI⊥AE，
∴AI－EI=BE.设BE=,则AE=2，，
，，，.易证△BED∽△AEB.
∴.可得ED=，.易证△ABE∽△ADC，
，得CD= .
3. 如图，A，B，C三点在上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE.
（1）求证：DF是的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长.
解：（1）略；
（3） 连接CD，易证△ABD≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.
∵DE=5， ∴CE=3. EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5.
∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8.
∴AB=BC=8. ∵DE/AB. ∴△ABF∽△MEF.
∴. ∴ME=4. ∴DM=DE－EM=1.
【板块三】求线段之积
方法技巧
1.直接法：分别求出两条线段长.
2.整体法：利用三角形相似求两条线段之积.
题型一 利用母子相似求同一直线上两条线段之积
【例1】如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，是△ABC的外接圆，AD是的直径.
（1）求证：PA是的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，∠P=45°，CP=AP，若AG·AB=15，求CP的长。
【解析】（1）略；
（2）易证△ACG∽△ABC，得=AG·AB=15，
过点C作CM⊥AP，垂足为点M，设CP=，则AP=，
易证CM=MP=，则AM=，AC=，
∴5=15，=3，x=.故CP==.
题型二 利用射影定理求同一直线上两条线段之积
【例2】在中，，AD⊥AB交BC延长线于点D，连接AO，AB=8.
（1）求BC·BD的值；
（2）若OA=5，求CD的长.
【解析】（1）延长AO交BC于点E，易证AE⊥BC，
BE=EC=BC.易证△ABE∽△DBA，∴=BE·BD=64.
∴BC·BD=64. BC·BD=128.
（2）过.点O作OF⊥AB于点F，则AF=BF=4，OF=3，
易证△AOF∽△ABE，得BE=.BC=2BE=.由（1）知BD=. CD=BD－BC=.
题型三 利用相似求不在同一条直线上两条线段之积
【例3】如图，AB，CD都是的直径，DB的延长线与过点C的切线交于点P，CE⊥AB，垂足为点E.AD=2，求CE·CP的值.
【解析】连接BC，AC，易证四边形ADBC为矩形，∴CB=AD=2.
易证△CEB∽△CBP，得CE·CP==4.
针对练习3
1.如图.CD为的直径，AD，AB，BC分别与相切于点D，E，C（AD
（2）若DE·OB=40，求AD·BC的值.
解：（1）略：
（2）连接QA，CE. EC交0B于点K.易证：OK=DE，
△OCK∽△OBC，∴，
易证△AOD≌△AOE，∴∠AOD=∠A0E，同法证明，
∠BOE=∠BOC，易证△ADO∽△OCB. ∴AD·BC=OD.OC==20.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D在AB的延长线上，且BD=6，过点D作DE ⊥AD交AC的延长线于点E，以DE为直径的交AE于点F.
（1）求的半径；
（2）设CD交于点Q，求BQ·BE的值.
解：（1）的半径为6；
（2）易证B.Q，E三点共线，易证△BDQO∽△BED，BQ·BE==36.
3.如图，I为△ABC的内心，AB=AC，BI的延长线交△ABC的外接圆于点D，∠BDC的平分线交AC于点E.若EC=1，AE=4.求BI·ID的值.
解：连接Al，Cl.易证DI=DC. 易证△ABI∽△DCE，
得BI·CD=AB·CE=5.
∵ID=CD.
∴BI·ID=BI·CD=5.
【板块四】经典图形研究
方法技巧
1．切割图（也叫弦切图）中相似问题（切割线定理）
2．切割线加垂直的图中，作高构造矩形求解．
3．双切图中隐含射影定理的结论（知二求五）．
题型一 切割图
【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，过点C的切线与AB的延长线交于点P，弦CE=AC，连接EB并延长并CP于点H．
（1）求证：BH⊥CP；
（2）若AC=6，AB=，求PH的长．
【解析】（1）略；
（2）连接CO，CB，BC=，易证△PCB∽△PAC，，设PB=x，则PC=2PB=2x，PA=2PC=4x，AB=PA－PB=3x=，x=．BP=，PC=，PO=．BH∥OC，得，∴PH=PC=
题型二 切割图+垂直
【例2】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，求的值．
【解析】连接OD，BC，过点O作OM⊥AE，垂足为点M，设AC=6，则AB=10，AM=MC=3，易证四边形MODE为矩形，∴ME=OD=5，AE=3+5=8，OD∥AE得
题型三 双切图
【例3】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
【解析】（1）略；
（2）连接OP交AB于点K，连接OB，BC，易证BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，易证BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得，设PK=x，则有，解得（负根舍去），PK=，可得
题型四 多切线图
【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AB=AC．
（1）求证：BD=DC；
（2）若，O的半径为1，求EF的长．
【解析】（1）AE=AF，BD=BE，CD=CF，AB=AC，则AB－AE=AC－AF，BE=CF，∴BD=DC；
（2）连接OE，AO，OD，证A，O，D三点共线．设EF交AO于点H．设AE=2x，EB=3x，则AB=5x，BD=BE=3x，易证△AEO∽ADB，∴，得AO=，AE=．又，EH=，∴
题型五 切径图（切线+过切点的直径）
【例5】如图，AB是⊙O的直径，AT是O的直径，BT交O于点C，D是O上一点，∠ATB=2∠CDO，AB=40，AT=30，求CD的长．
【解析】延长DO交BT于点F．连接AC，OC．易证∠ATB=∠CAB=∠COB，又∠ATB=2∠CDO=∠COF，∴∠COF=∠COB，∵OC=OB，∴OF⊥BT，CF=FB=BC，BT=，易证ABCTBA，得，BC=32，∴CF=BF=16，OF=．FD=12=20=32，∴DC=
针对练习4
1．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长．
解：（1）易证△OFD∽△OCP，∴，∴，∵OD=OC，∴；
（2）如图，过点C作CM⊥OP于点M，连接EC，EO，设OC=OB=r，在Rt△POC中，，，∴r=2．可得EF=CM=，
在Rt△OEF中，，∴EC=2OF=，∵EC∥OB，∴，∵GH∥CM，，∴GH=
2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求DF的长．
解：（1）略；
（2）连接OD，过点O作OM⊥AC，垂足为M，易证四边形ODEM为矩形．∴ME=OD=5，AM=8－5=3，∴OM=4，易证△ODF∽△AMO，∴，DF=
3．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弦AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D，E，交AB于点H，交AC于点F，P是ED延长线一点，且PC=PF．
（1）求证：PC是O的切线；
（2）若，求证：CF=EF；
（3）在（2）条件下，若OH=1，AH=2，直接写出线段PC的长．
解：（1）（2）略；
（3）由（2）可知：AD=CD，∠ACD=∠CAD．∵∠PCD=∠CAD，∵OH=1，AH=2，∴OD=3，DH=，DE=2DH=，AD=，，，∴DF=，∵PC=PF，，，∴，
∴PD=，∴，∴PC=
4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，延长AB交DC延长线于点F，连接AC交OE于点G，设AB=4，BC=1
（1）求△ADF的周长；
（2）直接写出的值．
解：（1）可求出DE=AD=4，证△FBC∽△FAD，∴，∴，，∴FB=，FA=，在Rt△FBC中，，
∴FD=FC+CE+DE=，△ADF的周长为16
（2）连接OC，AE，证OC∥AE，△COG∽△AEG，△FCO∽△FEA，∴，，，又FC=,FE=FC+CE=FC+BC=，∴
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