第28章《锐角三角函数》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版）

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知识点1：锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)csA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
细节剖析：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、csA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
细节剖析：
1. 函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，csA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、csA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜csA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=csB； csA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cs2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
知识点2：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即

细节剖析：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
知识点3：解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：； 坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

细节剖析：
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
考点提优练
考点01：同角三角函数的关系
1．（2020秋•文登区期末）若sinα＞csα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．45°＜α＜90°
解：∵csα＝sin（90°﹣α），sinα＞csα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
2．（2020秋•望江县期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．2
解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以csA＝＝＝，
故选：A．
3．（2021•蒙阴县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，则cs∠BCD的值为 ．
解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinA＝＝，
∴设BC＝3x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝4x，
∴csA＝＝＝，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cs∠BCD＝csA＝，
故答案为：．
4．（2020秋•南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny．据此判断下列等式成立的是 ②③④ （填序号）．
①cs（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx•csx；③sin（x﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny；④sin90°＝1．
解：cs（﹣60°）＝cs60°＝，因此①不正确；
sin2x＝sin（x+x）＝sinx•csx+csx•sinx＝2sinx•csx，因此②正确；
sin（x﹣y）＝sinx•cs（﹣y）+csx•sin（﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny，因此③正确；
sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cs60°+cs30°sin60°＝×+×＝+＝1，因此④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
5．（2020秋•定远县校级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AC＝12，求tanA和BC的值．
解：∵csA＝＝，而AC＝12，
∴AB＝13，
∴BC＝＝5，
∴tanA＝＝，
答：tanA＝，BC＝5．
6．（2020秋•新吴区月考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝25，求△ABC的周长和tanA的值．
解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝25，
∴sinA＝＝．
∴BC＝AC＝＝20．
∴在△ABC中，∠C＝90°，＝15．
∴tanA＝．
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝25+20+15＝60．
考点02：特殊角的三角函数值
7．（2022秋•工业园区期中）tan45°的值等于（ ）
A．B．C．1D．
解：tan45°＝1，
故选：C．
8．（2021秋•七里河区校级期末）已知6csα＝3，且α是锐角，则α＝（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
解：∵6csα＝3，
∴csα＝，
∴锐角α＝30°．
故选：D．
9．（2022•东莞市一模）在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
解：由题意得，tanB＝，sinA＝，
则∠A＝60°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
10．（2022秋•莱西市期中）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是 等边三角形 ．
解：∵，
∴tanB﹣＝0，2sinA﹣＝0．
∴tanB＝，∠B＝60°；sinA＝，∠A＝60°．
∴∠C＝60°
∴△ABC的形状是等边三角形．
11．（2022秋•莱西市期中）计算：
（1）；
（2）cs60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．
解：（1）原式＝
＝
＝﹣1﹣
＝﹣；
（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
考点03：解直角三角形的应用
12．（2022秋•北辰区期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ）
A．10mB．5mC．15mD．20m
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝5，∠A＝30°
∴AB＝10，
∴大树的高度为10+5＝15（m）．
故选：C．
13．（2022•沂源县二模）如图，某车型车门设计属于剪刀门设计，即车门关闭时位置如图中四边形ABCD，车门打开是绕点A逆时针旋转至CD与AD垂直，已知四边形ABCD与四边形AB'C'D'在同一平面，若AD∥BC，∠D＝45°，∠DAB'＝30°，CD＝60cm，，则AB的长约为（ ）
A．60cmB．51cmC．42cmD．21cm
解：设AD与B′C′交于G，
过B′作B′F⊥AD于F，延长D′C′交AD于E，
由旋转的性质得，∠D′＝∠D＝45°，AB′＝AB，C′D′＝CD＝60cm，
∵D′C⊥AD，
∴∠AED′＝90°，
∴△AED′是等腰直角三角形，
∴AE＝D′E，
∵AD∥BC，
∴AD′∥B′C′，
∴△GC′E是等腰直角三角形，
∴C′E＝GE，
∴AG＝C′D′＝60，
∵∠FGB′＝∠C′GE＝45°，
∴FG＝FB′，
∵∠DAB′＝30°，
∴AF＝FB′，
∴FB′+FB′＝60，
∴FB′＝30（﹣1），
∴AB＝AB′＝2FB′＝60（﹣1）＝42cm．
故选：C．
14．（2022秋•莱西市期中）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝50°，则房顶A离地面EF的高度为 7.6 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，BC＝6m，
∴BD＝BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝，
∴AD＝BD•tan∠ABC＝3•tan50°≈3×1.19＝3.57（m）．
∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝4+3.57≈7.6（m）．
故答案为：7.6．
15．（2022春•义乌市月考）某小区为方便垃圾分类投放垃圾，通过招标选择了一种双层长方体垃圾桶，上层采用手动翻盖，下层采安装旋转出桶装置，如图所示．已知整体AB＝112cm，BC＝40cm，CP＝50cm，侧面如图1所示，EG为隔板，等分上下两层．下方内桶BCGH绕底部轴（CP）旋转打开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边BH的长度应设计为 16 cm；现将BH调整为40cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于 33.6 cm．
解：如图1中，连接CH，过点H作HT⊥CG于T，则四边形BCTH是矩形．
∵CG＝CH＝CD＝AB＝56（cm），HT＝BC＝40cm，
∴BH＝CT＝＝＝16（cm），
如图2中，连接CH，过点G作GJ⊥CG′于J，过点B′作B′M⊥GH于M交BC于N．
∵∠HMB′＝∠B′NC＝∠CB′H＝90°，
∴∠B′HM+∠HB′M＝90°，∠HB′M+∠CB′N＝90°，
∴∠B′HM＝∠CB′N，
在△B′MH和△CNB′中，
，
∴△B′MH≌△CNB′（AAS），
∴MH＝NB′，MB′＝CN，
∵CH＝40cm，CG＝56cm，
∴HG＝＝＝8，
设HM＝x，则CN＝MB′＝x+8，
在Rt△MHB′中，则有x2+（x+8）2＝402，
∴x＝24（负值舍去），
∴CN＝32（cm），NB′＝24（cm），
∴tan∠BCB′＝＝，
∵∠B′CG′＝∠BCG＝90°，
∴∠GCG′＝∠BCB′，
∴tan∠GCG′＝，
∴sin∠GCG′＝，
∴GJ＝CG•sin∠GCG′＝56×＝33.6（cm），
∴可完全放入下方内桶的球体的直径不大于33.6cm，
故答案为：16，33.6．
16．（2022•沈河区二模）如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量可得BC＝10cm，AB＝20cm，当AB，BC转动到∠BAD＝∠ABC＝60°时，点C到AD的距离是 5 cm．（结果保留根号）
解：过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点C作CN⊥AD，垂足为N，过点C作CE⊥BM，垂足为E，
∴∠AMB＝∠BMD＝∠CNM＝∠CEM＝∠CEB＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN，
在Rt△ABM中，∠BAD＝60°，AB＝20cm，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAD＝30°，
∴BM＝AB•sin60°＝20×＝10（cm），
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABM＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝60°，
在Rt△BCE中，BC＝10cm，
∴BE＝BC•sin60°＝10×＝5（cm），
∴EM＝BM﹣BE＝10﹣5＝5（cm），
∴CN＝EM＝5cm，
∴点C到AD的距离是5cm．
故答案为：5．
17．（2022秋•惠山区期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中OA段可绕点O旋转，AB段可绕点A旋转．图1表示栏杆处于关闭状态，此时O、A、B在与地面平行的一直线上，并且点B接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状态，此时AB∥MQ，OA段与竖直方向夹角为30°．已知立柱宽度为30cm，点O在立柱的正中间，OM＝120cm，OA＝120cm，AB＝150cm．
（1）求栏杆打开时，点A到地面的距离；
（2）为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm的安全距离，问一辆最宽处为2.1m，最高处为2.1m的货车能否安全通过该入口？（本小题中取1.73）
解：（1）如图，在Rt△OAD中，OA＝120cm，∠OAD＝30°，
∴AD＝OA＝60（cm），
∴AC＝AD+CD＝（60+120）cm，
答：点A到地面的距离为（60+120）cm；
（2）如图，取FG距地面高为210cm，即HC＝210cm，
在Rt△AFH中，AH＝60+120﹣210＝（60﹣90）cm，∠FAH＝30°，
∴FH＝AH＝（60﹣30）cm，
∴FG＝FH+GH＝60﹣30+210＝270﹣30≈218.1（cm），
∵218.1＜210+10，
∴货车不能安全通过该入口，
答：货车不能安全通过该入口．
18．（2022秋•二道区校级月考）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为4米．
（1）当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE＝120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为 16 米．
（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
解：（1）如图，过点A作AG⊥CF，垂足为F．
由题意知：四边形AEFG是矩形．
∴FG＝AE＝4米，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．
∵∠CAE＝120°，
∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．
在Rt△AGC中，
∵sin∠CAG＝，AC的长度为24米，
∴CG＝AC×sin30°
＝24×
＝12（米）．
∴CF＝CG+GF
＝4+12
＝16（米）．
答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；
故答案为：16；
（2）如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．
当AC＝30米，∠CAE＝150°时，
∠HAC＝30°．
在Rt△AHC中，
∵cs∠HAC＝，
∴AH＝cs∠HAC×AC
＝cs30°×30
＝×30
＝15
≈1.7×15
＝25.5（米）．
∴HE＝AE+AH
＝4+25.5
＝29.5（米）．
由题意知，四边形HEFC是矩形，
∴CF＝HE＝29.5米，
∵29.5＞26，
∴该消防车能够实施有效救援．
考点04：解直角三角形的应用-坡度坡角问题
19．（2022秋•市中区期中）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（ ）
A．B．C．0.8sin20°D．0.8cs20°
解：∵O为跷跷板AB的中点，AB＝1.6 m，
∴OB＝0.8m，
在Rt△OCB中，sinB＝，
则OC＝OB•sinB＝0.8sin20°，
故选：C．
20．（2022秋•朝阳区校级期中）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A．3sin72°米B．米C．3cs72°米D．米
解：由题意可得，
∠ABC＝90°，AC＝3米，∠ACB＝72°，
∵sin∠ACB＝，
∴AB＝AC•sin∠ACB＝3•sin72°（米），
故选：A．
21．（2022•桥西区校级模拟）有一处斜坡如图所示，分为MO＝NO＝8m的两段，MO段的坡度为1：1，NO段的坡度为，则∠MON＝ 165 °．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm，则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为 65 级．（参考数据：，）
解：（1）如图，过点O作OA⊥MP，作OB⊥NP，
∵MO段的坡度为1：1，
∴∠MOA＝45°，
∵NO段的坡度为，
∴∠NOB＝30°，
∴∠MON＝45°+90°+30°＝165°；
（2）在Rt△MOA中，∵∠MOA＝45°，MO＝8m，
∴MA＝OA＝＝，
在Rt△ONB中，∵∠NOB＝30°，ON＝8m，
∴，
∴，，
答：这一阶梯的台阶数最少为65．
22．（2022春•绿园区校级月考）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高BD＝96.9米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角为31°，则拉索AB的长约为 172.8米 .（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cs31°≈0.857，tan31°≈0.60）
解：由题意得：BC＝BD﹣CD＝96.9﹣7.9＝89（米），
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵sinA＝＝sin31°≈0.515，
∴AB≈＝≈172.8（米），
答：拉索AB的长约为172.8米．
23．（2021秋•双阳区期末）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，堤高BC＝10米，则坡面AB的长度是 20 米．
解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：，
∴＝，
∴AC＝BC＝10（米），
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝20（米），
故答案为：20．
24．（2021秋•七里河区校级期末）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，求调整后滑滑板底部移动的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝4米，
sin45°＝，
解得AC＝，
∴BC＝AC＝米，
在Rt△ACD中，tan30°＝＝，
解得CD＝，
经检验，CD＝是原方程的解且符合题意，
∴BD＝CD﹣BC＝﹣2≈2.1（米）．
∴调整后滑滑板底部移动的距离约为2.1米．
25．（2022•南京模拟）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝4.5米，引桥水平跨度AC＝8米．
（参考数据：取sin37°＝0.60，cs37°＝0.80，tan37°＝0.75）
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．
解：（1）如图，延长BE交AC于点F．
由题意可知DE//AC，AD//BF，
∴四边形AFED是平行四边形．
∴DE＝AF．
在Rt△BFC中，，即，
∴（米），
∴DE＝AF＝AC﹣FC＝8﹣6＝2（米）．
答：水平平台DE的长度为2米．
（2）如图，延长DE交BC于点G，作DH⊥AC于点H．
由题意知∠DAH＝∠BEG＝37°，∠BGE＝∠DHA＝90°，
∴△DAH∽△BEG，
∴．
∵DH＝CG＝MN＝3，BC＝4.5，
∴，
∴AD：BE＝2：1．
答：两段楼梯AD与BE的长度之比为2：1．
考点05：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
26．（2022春•济南月考）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，则塔高为（ ）
A．15+5B．10+5C．10+5D．15+5
解：过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴AB＝CE，AE＝BC，
设AB＝xm，则DE＝（x﹣10）m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝AB＝xm，
∴AE＝BC＝xm，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，tan∠DAE＝，
即＝，
解得：x＝15+5，
经检验，x＝15+5是原方程的根，
∴塔高为（15+5）m，
故选：A．
27．（2022•朝阳区校级模拟）如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（ ）米．
A．50sin35°B．50cs35°C．D．
解：由题意可得，
∠A＝35°，BC＝50米，
∵∠C＝90°，
∴sinA＝，
∴AB＝＝（米），
故选：C．
28．（2022•承德二模）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为（ ）
A．200米B．米
C．米D．米
解：作BE⊥MD于点E，如图所示，
由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，
∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，AM＝BE，
∴＝2，
解得AM＝200米，
∴BE＝200米，
∵tan∠BDE＝，
∴tan30°＝，
解得DE＝200米，
∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）米，
故选：C．
29．（2022秋•江阴市校级月考）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为 2 千米．
解：如图，过该建筑物的顶端C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意得，∠CAB＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴BC＝AB＝4千米，
在Rt△BCD中，sin30°＝，
解得CD＝2，
∴该建筑物离地面的高度为2千米．
故答案为：2．
30．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼顶点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为 82 m．（结果保留整数，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
由题意得，BC＝60m，∠ADE＝28°，DE＝BF，DF＝BE，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴，
设DF＝4xm，则CF＝3xm，
由勾股定理得CD＝＝5xm，
∴5x＝45，
解得x＝9，
∴DF＝BE＝36m，CF＝27m，
∴DE＝BF＝60+27＝87（m），
在Rt△ADE中，tan28°＝≈0.53，
解得AE≈46.11，
∴AB＝AE+BE≈82m．
故答案为：82．
31．（2022•海门市二模）狼山位于江苏南通城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“中国佛教八小名山”，是江北著名的旅游佳地．如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45°，测得狼山底部点C的俯角为60°，此时无人机与BC的水平距离AD长为40m，那么亮亮同学测得狼山的高度BC约为 109 m（结果保留整数，≈1.73）．
解：由题意得，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝40m，
在Rt△ACD中，tan60°＝，
解得CD＝，
∴BC＝BD+CD≈109m．
故答案为：109．
32．（2022秋•市中区期中）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577秒后，神舟十四号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将陈东、蔡旭哲、刘洋3名航天员送人太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是5km，仰角为39°；约1.5s后火箭到达B点，此时测得仰角为45°（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.8）．
（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离．
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少千米/秒？
解：（1）在Rt△ARL中，RL＝AR•cs39°≈5×0.78＝3.90（km），
答：雷达站到发射处的水平距离为3.90km；
（2）在Rt△ARL中，AL＝AR•sin39°≈5×0.63＝3.15（km），
在Rt△BRL中，BL＝RL≈3.90（km），
∴AB＝BL﹣AL＝3.90﹣3.15≈0.75（km），
∴速度为0.75÷1.5＝0.5（km/s），
答：这枚火箭从A到B的平均速度为0.5km/s．
33．（2022秋•二道区校级期中）长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索AB与水平桥面的夹角是39°，点A处距离大桥立柱CD底端D的距离AD为97米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离BC为5米，求大桥立柱CD的高．（结果精确到1米）
[参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81]
解：在Rt△ABD中，∠BAD＝39°，AD＝97米，
∴BD＝AD•tan39°≈97×0.81≈78.57（米），
∵BC＝5米，
∴CD＝BC+BD＝5+78.57≈84（米），
∴大桥立柱CD的高约为84米．
考点06：解直角三角形的应用-方向角问题
34．（2022秋•市北区期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m
解：如图，AB＝1200m，BC＝500m，∠1＝90°﹣53°＝37°，∠4＝37°，
∴∠2＝∠1＝37°，
∵∠3＝90°﹣∠4＝53°，
∴∠2+∠3＝90°，即∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝1300（m），
即A，C两点之间的距离为1300m．
故选：D．
35．（2022秋•南岗区校级月考）如图，一条船从灯塔C南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船与灯塔C距离为（ ）海里．
A．4B．8C．16D．24
解：由题意得，∠BAC＝42°，∠BCA＝84°﹣42°＝42°，AB＝8海里，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝8海里，
即船与灯塔C距离为8海里．
故选：B．
36．（2022秋•工业园区期中）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需 小时到达事故船C处，（sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80，
∴CD＝AC＝40，
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，
∴BC＝≈＝50（海里），
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．
故答案为：．
37．（2022秋•清江浦区月考）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，则小红与爸爸的距离PQ＝ m ．（结果保留根号）
解：过点Q作QE⊥AD于点E，
由题意可得EQ＝AB，
在Rt△APM中，sin45°＝＝，
解得AM＝，
∵M为AB的中点，
∴AB＝EQ＝2AM＝m，
在Rt△EPQ中，sin60°＝，
解得PQ＝，
经检验，PQ＝是原方程的解且符合题意，
∴小红与爸爸的距离PQ＝m．
故答案为：m．
38．（2022•巴中）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 50 海里．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
在Rt△PAB中，sin37°＝≈，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
故答案为：50．
39．（2022秋•北碚区校级期中）如图，一艘位于码头C正东方向的货船D，沿正南方向行驶120千米到达码头A处，此时测得码头B位于码头A北偏西60°方向，货船以30千米/小时的速度匀速从码头A去码头B取货，再以相同的速度将货物送往码头C，此时测得码头B位于码头C南偏西15°方向，码头A位于码头C南偏东30°方向，（忽略货船取货时间，≈1.4，≈1.7，≈2.4）
（1）求码头A与码头C之间的距离（结果保留根号）
（2）货船能否在6小时内完成取货送货任务？请说明理由．
解：（1）由题意可知，∠CAD＝∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，AD＝120，∠BAD＝60°，
在Rt△ACD中，AD＝120，∠CAD＝30°，
∴AC＝＝80（千米），
答：码头A与码头C之间的距离为80千米；
（2）如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，
∵∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，
∴∠ACB＝30°+15°＝45°，
设CM＝x千米，则BM＝CM＝x千米，BC＝x千米，AM＝x千米，AB＝2x千米，
∵AC＝80，
即x+x＝80，
∴x＝120﹣40，
∴AB＝2x＝240﹣80≈104（千米），
BC＝x＝120﹣40≈72（千米），
∴需要时间为：（104+72）÷30≈5.8＜6（小时），
∴货船能在6小时内完成取货送货任务，
答：货船能在6小时内完成取货送货任务．
40．（2022•渝北区校级模拟）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
（参考数据：≈1.414，≈2.646）
解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得，∠BAC＝15°+45°＝60°，AB＝200米，AC＝300米，
在Rt△ABD中，sin60°＝，cs60°＝，
解得BD＝，AD＝100，
∴CD＝AC﹣AD＝200米，
∴由勾股定理得，BC＝＝≈265米．
∴B、C两地的距离约为265米．
（2）该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米，理由如下：
过点B作航道的垂线BE，
由题意得，AB＝200米，∠BAE＝45°，
在Rt△ABE中，sin45°＝，
解得BE＝≈141，
∵141＜150，
∴该条航道会被这片浅滩区域影响．
设BF＝150米，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝50（米），
根据对称性可知，被影响的航道长度为100米∠A
30°
45°
60°
sinA
csA
tanA
1
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，